1、浙江省普通高等学校招生临考冲刺原创卷（三） 数 学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 参考公式：参考公式： 如果事件,A B互斥，那么()( )( )P ABP AP B+=+ 如果事件,A B相互独立，那么()( )( )P A BP AP B= 如果事件A在一次试验中发生的概率是p， 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的 概率( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn = 球的表面积公式 2 4SR=，球的体积公式 3 4 3 VR=，其中R表示球的半径 棱柱的体积公式VSh=，其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 棱锥的体积公式 1 3 V
2、Sh=，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 棱台的体积公式 1122 1 () 3 Vh SS SS=+，其中 12 ,S S分别表示棱台的上、下底面积，h表 示棱台的高 选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答. 1. 已知集合 | 12Pxx= ， |13Qxx=，则() R C PQ =（ ） A.(, 1)2,) + B
3、.(,1)2,)+ C.(, 1)(3,) + D. 1,3 2. 双曲线 22 1 54 xy =的焦点到渐近线的距离是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3. 若 1 (4)nx x 的展开式中各项系数和为27，则展开式 中的常数项是（ ） A.16 B.16 C.48 D.48 4. 某三棱锥的三视图如图所示（单位：cm） ，则该三棱锥 的体积是（ ） A.1 B. 3 2 C.2 D.3 5. 春节小明准备去爷爷奶奶家拜年， 想带些水果和肉类给爷爷奶奶品尝. 若从苹果、 梨子、 香蕉、 瓯桔、车厘子 5 种水果和猪肉、羊肉、牛肉、鸡肉 4 种肉类中买 3 种水果和肉类，且要求水 果
4、、肉类至少选一种，则不同的选法共有（ ） A.50种 B.65种 C.70种 D.82种 6. 函数 22 ( )lnf xxx= +的图象大致为（ ） A B C D 7. 二次函数 2 ( )f xaxbxc=+，a为正整数，若(0)2f，(2)2f，( )f x有两个小于2的 不等正零点，则a的最小值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 8. 已知1a =，2b =，0a b=，若向量c满足234cba=，则c的最小值为（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 9. 已知二面角ABCD大小为，(0,) 2 ， 若6BC =，10ABACDBDC+=+=，BC 的中点为O，当四面体ABC
5、D的体积最大时，AOD与的大小关系为（ ） A.AOD B.AOD= C.AOD D.无法确定 10.已知数列 n a， 1 1a =，对任意2(*)Nnn都有 1 1 2n nn aa =，则 5 a的所有可能取值个 数为（ ） A.31 B.32 C.63 D.64 非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分，请在答题卡分，请在答题卡 指定区域内作答指定区域内作答. 11.设复数 2 1 i i z = + （i为虚数单位） ，复数z
6、的共轭复数记作z，则z的实部是 ， (1)zz+= . 12.在锐角ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，4,5,8 ABC abS=，则c = ， sin A= . 13.古时候，人们通过在绳子上打结来记录数量. 如图为一名猎人记录的自己打猎的天数，从右到 左依次排列的不同绳子上打结， 满五进一， 那么该猎人已经狩猎 天； 若狩猎 29 天， 则绳子上打有 个结. 14.随机变量的分布列是 1 2 3 P 1 5 m n 若( )2E=，则( )D= . 15.设实数, x y满足 20 240 20 xy xy y + ，则63zxy=的最大值为 ， 1 1y z
7、x + =的取 值范围为 . 16.已知, x y为正数， 19 1 8xy += + ，则xy的最小值是 . 17.已知函数 11 ( ) |f xxmxm xx =+，在定义域中有且仅有两个整数x使得( )f x取到 最小值2|m，则m的取值范围是 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 请请 在答题卡指定区域内作答在答题卡指定区域内作答. 18.（本小题满分 14 分）已知函数( )2 2sin sin()1 4 f xxx =+. （I）求函数( )f
8、x的最小正周期及单调递增区间； （II）若为锐角，且 3 2 () 25 f =，求cos. 19. （本小题满分 15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为菱形， 且60ABC=， 2,2 2PAABPBPD=，点E为PD的中点. （I）证明：/ /PB平面ACE； （II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 20.（本小题满分 15 分）已知公差大于零的等差数列 n a满足 1 1a =，且 234 ,1,2a aa+分别是等 比数列 n b的第一项、第二项、第三项. （I）求数列 n a， n b的通项公式； （II）记数列 n b的前n项和为 n T，求数列 nn
9、 aT的前n项和. 21. （本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 5 5 ， 被抛物线 2 4yx= 的准线所截得的弦长为 2 2b a . （I）求椭圆C的方程； （II） 若两条直线(1,2) i yk x i=交椭圆C于, ii M N， 椭圆上任意一点 00 (,)P x y（其中 0 0y ） 与长轴两端点的斜率之积为 1 2 k k，求四边形 1212 M M N N的面积. 22. （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( )lnf xxxax=在(1, (1)f处的切线l与2019xy=垂直. （I）求a的值及切线l的
10、方程； （II）若对于定义域内的任意x都有 2 ( )f xxx+恒成立，求的取值范围. 浙江省普通高等学校招生临考冲刺原创卷（三） 数学解析 1. B 【解析】 本题考查集合交集与补集的运算.由题可知1,2)PQ =， 则() R C PQ =(,1) 2,)+，故选 B. 熟练掌握集合的运算法则是解题的关键. 2. B【解析】本题考查双曲线的几何性质、点到直线的距离公式. 根据题意，双曲线的渐近线方程 为 2 5 5 yx= ， 焦点为(3,0),( 3,0)， 由双曲线的对称性取渐近线2 550xy=， 焦点(3,0)， 则 |2 53| 2 2025 d = + ，故选 B. 3. D
11、【解析】本题考查二项式定理. 令1x =，由题意得(4 1)27 n =，解得3n =，易知展开式 的通项公式为 3 3 33 2 133 1 (4)()4( 1) r rrrrrr r TCxCx x + = =，令 33 0 2 r =，得1r =，所以 常数项为 121 23 4( 1)48TC= = ，故选 D. 关于二项展开式各项系数和问题，通常利用赋值法，关于二项式的展开式特定项的问题，通常 是得到展开式的通项，再根据题意求解. 4. A【解析】本题考查几何体的三视图、三棱锥的体积. 由三视图可知，该三棱锥的高为 2，底面 是底边为 3，高为 1 的三角形，所以三棱锥体积 11 1
12、 3 21 32 V = =，故选 A. 熟练掌握三棱锥的体积公式是解题的关键. 5. C【解析】本题考查排列组合. 由题知，若水果选 1 种，肉类选 2 种有 12 54 30CC=种不同的选 法， 若水果选 2 种， 肉类选 1 种有 21 54 40CC=种不同的选法， 共有304070+=种不同的选法， 故选 C. 【一题多解】由题可知从所有水果和肉类中选 3 种共有 3 9 84C =种不同的选法，只选 3 种水果有 3 5 10C =种不同的选法，只选 3 种肉类由 3 4 4C =种不同的选法，则由题意得水果、肉类至少选 一种共有84 10470=种不同的选法，故选 C. 6.
13、A 【解析】 本题考查函数的图象与性质. 函数( )f x的定义域为(,0)(0,)+， 故排除 B、 D； 又由()( )fxf x=，则函数( )f x是偶函数，图象关于y轴对称，排除 C，故选 A. 7. A【解析】本题考查二次函数单调性、零点分布、基本不等式的特征. 因为a为正整数，所以 当a越大，( )yf x=的图象的开口越小，当a越小，( )yf x=的图象的开口越大，结合二次 函数图象的对称性知，当( )yf x=的图象的开口最大时，( )yf x=的图象过点(0,2),(2,2)两 点，a的取值符合题意，则2,422,1 2 b cabc a =+=，可得2ba= ，又 2
14、40bac， 解得2a ，因为a为正整数，所以a的最小值为3，故选 A. 8. A 【解析】 本题考查平面向量的数量积运算.由题可设(1,0),(0,2)ab=， 则32(3,4)ab+=， 设( , )cx y=， 因为|23 | 4cba=， 则 22 (3)(4)16xy+=， 所以|c最小值为 22 34+ 41=，故选 A. 9. B【解析】本题考查轨迹方程、二面角. 因为6BC =，10ABACDBDC+=+=，所以,A D 的运动轨迹均为椭圆的一部分，易知,A D均为相应椭圆短轴端点时，四面体ABCD的体积最 大， 此时,AOBC DOBC， 则AOD为二面角ABCD的平面角，
15、所以AOD=， 故选 B. 10.B【解析】本题考查数列递推关系. 由 1 1a = ，故 n a必为奇数，而 11 | |()( nnnn aaaa =+ 011 2211112211 )()| | 222n nnnnn aaaaaaaaaaa +=+ 21 n =，显然 n a可以取 (21),21 nn 内所以奇数，在 (21),21 nn 内的奇数个数为 2n个，故 5 a的所有可能取值个数为 5 232=，故选 B. 11.1 10【解析】本题考查复数的概念、共轭复数、复数的四则运算. 2 1 1 i i i z = + + ，所以 复数z的实部是 1，1 iz = ，则(1)(1)
16、 (2)3iiizz+=+=+，所以(1)10zz+=. 12.17 16 17 85 【解析】 本题考查正弦定理、 余弦定理、 三角形面积公式. 由 1 sin 2 ABC SabC = 10sin8C=， 得 4 sin 5 C =， 所以在锐角ABC中， 3 cos 5 C =.根据余弦定理 222 cab=+ 2cosabC，解得17c =，由正弦定理 sinsin ac AC =，得 16 17 sin 85 A=. 13.288 5【解析】本题考查进制数的转换. 3210 2 552 53 5288+ + =. 2 295a=+ 10 55bc+ ，当2a =时， 210 5552
17、9abc+ + ，所以1,0,4abc=，故共打 5 个结. 14. 2 5 【解析】本题考查离散型随机变量的方差. 由已知得 1 1 5 1 232 5 mn mn += += ，解得 3 5 1 5 m n = = ， 222 1312 ( )( ( )1)( ( )2)( ( )3) 5555 DEEE=+=. 15.18 5 ,) 8 +【解析】本题考查线性规划，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分 所示（含边界） ， 由图知目标函数63zxy=，过点(4,2)时 取得最大为 max 6 43 218z= =. 目标函数 1 1y z x + =表示0x 时，阴影部分内 的点与点
18、(0, 1)的连线的斜率，故 1 z有最小值 5 8 ，当阴影部分内的点 000 (,)(0)x yx 逐渐靠 近点(0,2)时，点 00 (,)xy与点(0, 1)的连线的斜率逐渐趋于+，所以 1 5 ,) 8 z +. 16.16 【解析】本题考查不等式的最值问题. 19 1828 8 xyxyxy xy += =+ + ，当 且仅当xy=时取等号，令(0)txy t=，则 2 28tt+，解得4t ，则当4xy=时，xy 取得最小值 16. 17. 55 (, 22, ) 22 【解析】本题考查绝对值的几何意义、对勾函数中的单调性与对称性.令 1 ( )g xx x =+，由绝对值的几何
19、意义可知原题等价于函数( )g x图象上的点到直线ym=与 ym= 的距离之和为2|m有且只有两个整数， 由函数( )g x的性质可知， 当1x = 时，| ( )|g x 取得最小值， 依题意知(1) |gm且(2) |gm， 解得 5 2 2 m或 5 2 2 m . （见图 （一） ） 图（一） 图（二） 【一题多解】 1111 | |()| 2|xmxmxmxmm xxxx +=（当 1 | |xm x +时 等号成立） ，所以题意可转化为 1 | |xm x +在定义域上有且仅有 2 个整数解，由对称性不妨令 0,0xm，题意转化为 1 (0,0)xm xm x +有且仅有 1 个整
20、数解，原不等式等价于 2 10(0)xmxx+ 仅有 1 个整数解，令 2 ( )1g xxmx=+，则()0 2 m g，所以2m 或 2m （舍去） ，所以1 2 m ，又(0)10g= ，所以1x =必为不等式的整数解，又( )0g x 在0x 上仅有 1 个整数解，所以(2)0g，所以 5 2 m ，综上可得 5 2 2 m.又由对称性可 知， 当0,0xm时， 必有 5 2 2 m ， 综上可得 5 2 2 m或 5 2 2 m . （见图 （二） ） 18.【名师指导】本题考查三角函数的图象与性质、同角三角函数基本关系、三角恒等变换. （I）利用三角恒等变换和三角函数的单调性求解即
21、可； （II）利用三角恒等变换及同角三角函数 基本关系求解. 解： （I） 22 ( )2 2sin sin()12 2sin (sincos )1 422 f xxxxxx =+ =+ 2 2sinsin21sin2cos22sin(2) 4 xxxxx =+ = （3 分） 最小正周期 2 2 T =. （5 分） 由222, 242 kxkkZ +， 得 3 , 88 kxkkZ +， ( )f x的单调递增区间为 3 , 88 kkkZ +. （8 分） （II） 3 2 ()2sin() 245 f =， 3 sin() 45 = （9 分） 0 2 ， 444 ， 2 4 cos(
22、)1sin () 445 = （11 分） 所以coscos()cos()cossin()sin 444444 =+= 42322 525210 =. （14 分） 19.【名师指导】本题考查线面平行、直线与平面所成角. （I）作辅助线，结合三角形中位线即线面平行的判定定理证明即可； （II）以A为原点建立空间 直角坐标系，求得相关点的坐标与向量，进而利用向量公式求解. 解： （I）证明：连接BD交AC于点O，连接EO. 由菱形ABCD，则O为BD的中点. 在PBD中，,O E分别为,BD PD的中点， （2 分） /PBEO， 又EO平面ACE，PB 平面ACE， / /PB平面ACE （6
23、 分） （II）由题得2,2 2PAABPB=， 所以 222 PAABPB+=，所以PAAB， 同理可得PAAD，又ABADA=，所以PA平面ABCD. 由四边形ABCD为菱形，且60ABC=， 则取BC的中点F，连接AF，可得,AFBC AFAD. 以点A为原点，分别以,AF AD AP所在直线 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （9 分） 则( 3, 1,0),( 3,1,0),(0,2,0), (0,0,2)BCDP， ( 3, 1, 2),( 3,1, 2),(0,2, 2)PBPCPD= =. 设平面PCD的法向量为( , , )nx y z=，则 0 0 PC n PD n
24、 = = ，所以 320 220 xyz yz += = ， 令1x =，得(1, 3, 3)n = （12 分） 设直线PB与平面PCD所成角为， 则 |2 342 sin|cos,| 14| |2 27 PB n PB n PBn = . 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 42 14 . （15 分） 20.【名师指导】本题考查等差、等比数列的通项公式、错位相减法求数列前n项和. （I）利用等比数列的性质结合题干求解； （II）先求出数列 nn a T的通项公式，利用错位相减 法与分组求和法求解. 解： （I）设等差数列 n a的公差为(0)d d . 234 ,1,2a aa+分
25、别是等比数列 n b的第一项、第二项、第三项， 2 324 (1)2aaa+=，即 2 (22)(1) 2(1 3 )ddd+=+ （2 分） 解得1d =或1d = （3 分） 经检验1d = 不符合题意，故1d =， 1 (1) n aandn=+=. （4 分） 1223 2,14baba=+ =，则2q =，2n n b =. 数列 n a的通项公式为 n an=，数列 n b的通项公式为2n n b =. （6 分） （II） 1 1(1 ) 22 1 n n n bq T q + = （8 分） 11 (22)22 nn nn a Tnnn + =， 记数列 1 2nn + 的前n
26、项和为 n S，则 2341 1 22 23 22n n Sn + = + + + 3452 21 22 33 22n n Sn + = + + + - 得 2 2341222 2 (1 2 ) 222222(1)24 1 2 n nnnn n Snnn + =+ = = （12 分） 2 (1) 24 n n Sn + =+ （13 分） 又数列2n的前n项和为 2 (22 ) 2 nn nn + =+ （14 分） 数列 nn a T的前n项和为 22 (1) 24. n nnn + + （15 分） 21.【名师指导】本题考查椭圆的方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系. （I）利用题中的
27、条件求解, ,a b c的值，进而得到椭圆的方程； （II）设直线 12 M M的方程，与椭 圆方程联立消元，根据根与系数的关系结合题干条件求得四边形 1212 M M N N的面积. 解： （I）由题可知，抛物线的准线为1x =，结合椭圆的对称性知 222 2 (1)abb aa =， 即 22 1ab =，又 222 abc=+，解得1c = （1 分） 由 5 5 c e a =，解得5a = （2 分） 222 abc=+，2b = （3 分） 椭圆C的方程为 22 1 54 xy += （5 分） （II）设 11122212 ( ,),(,),M x yMxyyy，直线 12: M
28、 Mxmyt=+ 与椭圆方程联立 22 222 1 (45)84200 54 xy mymtyt xmyt += += =+ ， 22222 (8)4(45)(420)80(45)0mtmtmt =+=+， 12 2 8 45 mt yy m += + ， 2 12 2 420 45 t y y m = + ， （7 分） 22 00 1 54 xy +=， 2 000 1 2 2 0 00 4 5555 yyy k k xxx = + （9 分） 2 1212 1 2 2222 121212 4204 ()5205 y yy yt k k x xm y ymt yyttm = + （10 分
29、） 即 22 245tm=+ （11 分） 12 2 22 12 222 1164420 | | |45 22(45)45 OM M m tt Styyt mm = = + （13 分） 由对称性得四边形 1212 M M N N的面积为4 5. （14 分） 若直线 12 M M平行于x轴时，易得四边形 1212 M M N N的面积为4 5. （15 分） 22. 【名师指导】 本题考查导数的几何意义、 导数在研究函数的单调性、 最值及恒成立问题的应用. （I）根据题意得切线l的斜率，根据导数的几何意义，求得a即可求解； （II）构造函数( )g x， 求出导函数( )g x，根据导函数对
30、进行分类讨论，逐步求解满足题意的的范围. 解： （I）( )ln1 2fxxax=+ （1 分） 由题可得(1)1f= ，解得1a = （2 分） 则切点为(1, 1)， 切线l方程为0xy+=. （4 分） （II）( )f x的定义域为(0,)+， 由题可知只需求ln(1)1xx x + +恒成立. 令( )(1)lng xxx x =+，即求( )1g x 恒成立， 则 2 (1)(1) ( ) xx g x x + =， （6 分） 若1 1 + ，即 1 1 2 ， 当(0,1)x时，( )0g x ，( )g x单调递增， 那么( )(1)210g xg=+ ，与( )1g x 矛
31、盾； （8 分） 若01 1 + ，即 1 0 2 ， 当(1,)x+时，( )0g x ，( )g x单调递增， 那么(1)21 1g=+ ，与( )1g x 矛盾； （10 分） 若0 1 + ，即0或1 ， 当0时，( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增， 那么 min ( )(1)21 1, ( )1g xgg x=+ 恒成立； （12 分） 当1 时，(1)21 1g=+ ，与( )1g x 矛盾； （14 分） 当1= 时， 2 1 ( ) x g x x + =，( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减， 那么( )(1)10g xg= ，与( )1g x 矛盾. 综上所述，的取值范围为0. （15 分）
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