1、第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换1半角公式sin=；cos=；tan=以上称之为半角公式，符号由所在象限决定2积化和差与和差化积公式（不要求记忆）（1）积化和差公式：sin+sin=2sin；sinsin=2；cos+cos=2cos；coscos=2sin（2）和差化积公式：sin cos =sin(+)+sin()；cos sin =sin(+)sin()；cos cos =cos(+)+cos()；sin sin =cos(+)cos()3辅助角公式asin x+bcos x=_,其中cos =,sin =其中称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定4三角函数式的化简
2、与证明（1）化简原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等（2）化简要求使三角函数式的项数_、次数_、角与函数名称的种类_；式子中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数等（3）化简方法异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；“1”的代换，三角公式的正用、逆用（4）化简技巧角的代换：常用拆角、拼角技巧，例如，2=（+）+（）；=（+）=（）+；=
3、（+2）（+）；（）+（）；15=4530；+=（）等公式变换tan tan =_；tan tan =_= 1；sin 2=；cos 2=常值代换1=；1=；1=；等K知识参考答案：3sin(x+) 4（2）最少 最低 最少（4）tan（）（1tan tan ） 1K重点1三角函数的化简；2三角函数的求值；K难点三角恒等变换的常用技巧；K易错通过恒等变换研究函数的性质等1三角函数的化简（1）化简三角函数式的要求：能求出值的应求出值；使三角函数的种类尽量少；使式子中的项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数（2）化简三角函数式的技巧：变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的
4、差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角：函数结构形式的差异，借助于以下几种途径进行变换（a）常值代换，如“1”的代换（b）变形公式，如tan tan = 1（c）升降幂公式，如1+cos =2cos2；1cos =2sin2；sin2=；cos2=；sin cos =sin 2【例1】化简：【答案】1【解析】解法一：原式=1解
5、法二：原式=1【例2】求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）4【解析】（1）原式=（2）原式=42三角函数的证明恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（由因导果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件及欲证式中左右两边三角函数式的区别和联系，灵活地使用条件变形得证【例3】求证：sin+sin=2sin【答案】证明详见解析【解析】令a=，b=，则=a+b，=absin（a+b）=s
6、inacosb+cosasinbsin（ab）=sinacosbcosasinb两式相加得：sin（a+b）+sin（ab）=2sinacosbsin+sin=2sin【例4】已知锐角，满足tan（）=sin2，求证：2tan2=tan+tan【答案】证明详见解析【解析】tan（）=sin2，去分母整理得：2tan2=tan+tan3辅助角公式的应用利用辅助角公式将含有两种三角函数的函数式化成含有一种三角函数的形式：asin+bcos=sin（+）（其中sin=，cos=）这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容【例5】已知函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（0
7、Da2函数y=cos2xsin2x的一条对称轴为Ax=Bx=Cx=Dx=3sin415cos415=ABCD4已知sin（）=，则cos（2+）=ABCD5已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x+），其中，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则Af（x）在上单调递减Bf（x）在上单调递减Cf（x）在上单调递增Df（x）在上单调递增6已知tana=3，则cos（2+）=ABCD7已知sin2，则2cos2（）=_8若sin+cos=，（，）则sincos=_9已知锐角，满足（tan1）（tan1）=2，则+的值为_10已知，则tan（+）的值为_
8、11已知，那么=ABCD12已知为锐角，且tan（+）=2，则sin2=ABCD13若，则的值为ABCD14已知，则=ABCD15函数f（x）=sin（x+）+cos（x）的最大值是ABC1D16若cos=2cos（+），则tan（+）=_17已知tan=2，则=_18已知若0，0），xR若f（x）在区间（，2）内没有零点，则的取值范围是A（0，B（0，1）C（0，D（0，262017山东卷理设函数f（x）=sin（x）+sin（x），其中00，且cos0，则sincos=故答案为：9【答案】【解析】由（tan1）（tan1）=2，可得：tantantantan+1=2，tan（+）=1，锐角
9、，+（0，），+=故答案为：10【答案】【解析】由，得，由，得，两式相除，得，则故答案为：11【答案】A【解析】已知，=2sin（2+）=2cos（2）=212=2（12）=，故选A12【答案】C【解析】为锐角，且tan（+）=2，tan2（+）=，又tan2（+）=tan（2+）=，=，解得tan2=7，sin2=7cos2，又sin22+cos22=1，由解得sin2=，又020），y=Acos（x+）（0），y=Atan（x+）（0）的三角函数问题的关键具体问题中，先将“x+”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解25【答案】D【解析】方法一：f（x）=（1cosx）+sin
10、x=sinxcosx=sin（x），当=时，f（x）=sin（x），x（，2）时，f（x）（，无零点，排除A，B；当=时，f（x）=sin（x），x（，2）时，f（）=0，有零点，排除C故选D方法二：由方法一，得f（x）=sin（x），因为函数f（x）在区间（，2）内没有零点，所以，即，所以或，解得（kZ），因为01，所以k=0，解得（kZ），因为01，所以k=0，0，综上，的取值范围是（0，26【解析】（1）因为f（x）=sin（x）+sin（x），所以f（x）=sinxcosxcosx=sinxcosx=（sinxcosx）=sin（x）由题设知f（）=0，所以=k，kZ故=6k+2，kZ
11、又03，所以=2（2）由（1）得f（x）=sin（2x），所以g（x）=sin（x+）=sin（x）因为x，所以x，当x=，即x=时，g（x）取得最小值27【解析】（1）f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x）+所以f（x）的最小正周期为T=（2）由（1）知f（x）=sin（2x）+由题意知xm所以2x2m要使得f（x）在，m上的最大值为，即sin（2x）在，m上的最大值为1，则有2m，即m，所以m的最小值为28【解析】（1）f（x）的定义域为x|x+k，kZf（x）=4tanxcosxcos（x）=4sinxcos（x）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x）所以f（x）的最小正周期T=（2）令z=2x，函数y=2sinz的单调递增区间是+2k，+2k，kZ由+2k2x+2k，得+kx+k，kZ设A=，B=x|+kx+k，kZ，易知AB=，所以，当x，时，f（x）在区间，上单调递增，在区间，上单调递减
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