专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-20届高中数学同步讲义人教版（必修4）

1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角差的余弦公式（1）公式内容：对于任意角，有cos（）=_简记为C（）（2）公式推导：利用三角函数线推导利用向量法推导2两角和的余弦公式（1）公式内容：对于任意角，有cos（+）=_简记为C（+）（2）公式推导：在公式C（）中，将用来替换，并且注意到cos（）=cos ，sin（）=sin ，于是cos（+）=cos（）=cos cos（）+sin sin（）=cos cos sin sin 即cos（+）=cos cos sin sin 3两角和与差的正弦公式（1）公式内容：对于任意角，有sin（）=_简记为S（）（2）公式推导

2、：运用差角的余弦公式C（）及诱导公式，可得sin（+）=cos（+）=cos（）=cos（）cos +sin（）sin =sin cos +cos sin 运用差角的余弦公式C（+）及诱导公式，可得sin（）=cos（）=cos（）+=cos（）cos sin（）sin =sin cos cos sin 4两角和与差的正切公式（1）公式内容：tan（）=_（，+k，kZ）简记为T（）（2）公式推导：当cos（+）0时，将公式S（+），C（+）的两边分别相除，有tan（+）=，若cos cos 0，将上式的分子、分母分别除以cos cos ，得tan（+）=在T（+）中，将用来替换，可得tan（

3、）=tan+（）=5二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2：sin 2=_（2）C2：cos 2=cos2sin2=_=12sin2（3）T2：tan 2=_（k+且+，kZ）6二倍角公式的变形应用（1）倍角公式的逆用：S2：2sin cos =sin 2；sin =；C2：cos2sin2=2cos21=12sin2=cos 2；T2：=tan 2；=tan 2（）（2）配方变形：1sin 2=2sin cos =（sin cos ）2（3）因式分解变形：cos 2=cos2sin2=（cos +sin ）（cos sin ）（4）升幂公式：1+cos =2cos2；1cos =2sin2；

4、1+sin =（sin+cos）2；1sin =（sincos）2（5）降幂公式：sin2=；cos2=；sin cos =sin 2（6）三倍角公式：sin 3=3sin 4sin3；cos 3=4cos33cos ；（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）tan 3=K知识参考答案：1cos cos +sin sin 2cos cos sin sin 3sin cos cos sin 45（1）2sin cos （2）2cos21（3）K重点1熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余

5、弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；K难点会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；K易错掌握三角函数的和差公式，二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键1两角和与差的正、余弦公式【例1】cos的值为ABCD【答案】C【解析】cos=cos（）=cos+sin故选C【解题必备】S（）：sin（）=sin cos cos sin C（）：cos（）=cos cos sin sin 【例2】求值：sin460sin（160）+cos560cos（280）【答案】【解析】sin460sin（160）+cos560cos（280）=sin100sin160+cos200co

6、s280=sin80sin20cos20cos80=（cos80cos20+sin80sin20）=cos（8020）=cos60=2两角和与差的正切公式【例3】已知，则tan=_【答案】【解析】由，得tan=【解题必备】T（）：tan（）=（，+k，kZ）3二倍角的正弦、余弦、正切公式【例4】已知，则tan2=AB2CD【答案】D【解析】，cos2sin2=，又cos2+sin2=1，cos2=，sin2=，tan2=故选D【解题必备】S2：sin 2=2sin cos C2：cos 2=cos2sin2=2cos21=12sin2T2：tan 2=（k+且+，kZ）【例5】若tan（+）=

7、3，则cos2+2sin2=AB1CD【答案】B【解析】由tan（+）=3，解得tan=2，cos2+2sin2=+ +=1故选B4三角函数式的化简（1）三角函数式的化简原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等（2）三角函数式的化简要求使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；式子中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数等（3）三角

8、函数式的化简方法异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；“1”的代换，三角公式的正用、逆用【例6】已知cos（x）=，则cosx+cos（x）=A1B1CD【答案】B【解析】cos（x）=，cosx+cos（x）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x）=1故选B【例7】已知cos（+x）=，若x，求的值【答案】【解析】解法一：由x，得x+2又cos（+x）=，所以sin（+x）=，所以cosx=cos（+x）=cos（+x）cos+sin（+x）sin=，从而sinx=，tanx=7则=解法二：由解法一得tan（+x）=又sin2x=cos（+2x）=cos2

9、（+x）=2cos2（+x）+1=+1=则=sin2x=sin2xtan（x+）=（）=5求角时选择三角函数类型不当导致错误【例8】已知sin=，sin=，和都是锐角，则+=ABC或D【答案】A【解析】因为和都是锐角，且sin=，sin=，所以cos=，cos=，cos（+）=coscossinsin=又+（0，），所以+=故选A1sin15+cos15的值为ABCD2若sinsin=1，则cos（）的值为A0B1C1D13把可化简为ABCD4计算sin15sin75的结果是ABCD5已知，则=ABCD6已知直线3xy+1=0的倾斜角为，则tan（+）=A2BC2D7已知sin（+）=，则co

10、s2=ABCD8=ABCD9已知，为第二象限的角，cos（）=，sin（+）=，则sin（+）的值为ABCD10若2tan=1，tan=2，则tan（+）=_11若2tan=tan420，则=_12计算：sin163sin223+sin253sin31313已知sin（）=，则cos（+）+sin（+）=A0BCD14化简cos2（）cos2（+）=AsinxBsinxCcosxDcosx15已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（1，2），则tan2等于ABCD16若=3，则cos2=ABCD17已知sin（）=，则cos（2+）=ABCD18若，则的值为ABCD19

11、若，则sin2cos=ABCD20已知cos=，cos（）=，且0，那么=ABCD21若，则的值为ABCD22已知，（1）求的值；（2）求tan2的值23（1）设为锐角，若cos（）=，求sin（2）的值；（2）已知：cos（+）=3sin（），求的值24已知，（1）求tan2的值；（2）求的值25已知，都是锐角，sin=，sin（2）=（1）求cos的值；（2）求sin（）的值262017全国卷文已知sincos=，则sin2=ABCD272016山东卷理函数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）的最小正周期是ABCD2282016全国卷文已知是第四象限角，且sin（+）=，则

12、tan（）=_292018浙江卷已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值12345678913ABDBBAAABC14151617181920212627ADBDDBCBAB1【答案】A【解析】解法一：sin15+cos15=，故选A解法二：（sin15+cos15）2=，所以sin15+cos15的值为，故选A2【答案】B【解析】由sinsin=1，得coscos=0，cos（）=coscos+sinsin=0+1=1故选B3【答案】D【解析】=sinxcoscosxsin（sinxcos+c

13、osxsin）=2cosxsin=cosx故选D4【答案】B【解析】sin15sin75=sin15cos15=sin30=故选B5【答案】B【解析】，故选B6【答案】A【解析】直线3xy+1=0的倾斜角为，tan=3，则tan（+）=2，故选A7【答案】A【解析】sin（+）=cos，则cos2=2cos21=21=，故选A8【答案】A【解析】=sin30=故选A9【答案】B【解析】，为第二象限的角，cos（）=，sin（+）=，为钝角，+为钝角，sin（）=，cos（+）=，则sin（+）=sin（）+（+）=sin（）cos（+）+cos（）cos（）=+（）=，故选B10【答案】【解析

14、】2tan=1，tan，又tan=2，tan（+）=故答案为：11【答案】【解析】2tan=tan420=tan60=，tan=，=3，故答案为：12【答案】【解析】sin163sin223+sin253sin313=sin（18017）sin（180+43）+sin（180+73）sin（36047）=sin17sin43+sin73sin47=sin17sin43+cos17cos43=cos（17+43）=cos60=13【答案】C【解析】由于sin（）=，则=cos（）=，所以cos（+）+sin（+）=2cos（）=，故选C14【答案】A【解析】cos2（）cos2（+）=cosxc

15、os+sinxsin（cosxcossinxsin）=2sinxsin=2sinxsin=sinx，故选A15【答案】D【解析】角的终边经过点P（1，2），x=1，y=2，r=|OP|=，sin=，cos=，tan=2，则tan2=故选D16【答案】B【解析】若=3，则tan=8，cos2=，故选B17【答案】D【解析】sin（）=，则cos（2+）=cos（2+）=cos（2）=1+2，故选D18【答案】D【解析】sin（x）=sin（x）=，sin（x）=，sin（2x+）=sin（2x+）=cos（2x）=cos2（x）=12sin2（x）=12（）2=故选D19【答案】B【解析】由，可

16、得sin2coscos2sin=；由，可得sin2cos+cos2sin=两式相加，得2sin2cos=，所以sin2cos=故选B20【答案】C【解析】由0，得到0，因为cos=，cos（）=cos（）=，所以sin=，sin（）=sin（）=，则cos=cos（）+=cos（）cossin（）sin=（），所以=故选C21【答案】B【解析】，cos（）=，=cos2（）=故选B22【答案】（1）；（2）【解析】（1），sin，=coscos+sinsin；（2）tan=，tan2=23【解析】（1）因为为锐角，cos（）=，所以sin（）=，则sin（2）=2sin（）cos（）=2（2）

17、由已知得cos（+）=3sin（），则sin=3sin（），即sin=3sin（），所以sin（）=3sin（）+，所以，整理得：24【解析】（1）由，得cos=，；（2），25【解析】因为，都是锐角，所以，且，所以，（1）；（2）26【答案】A【解析】将sincos=的两边进行平方，得sin22sincos+cos2=，即sin2=，故选A27【答案】B【解析】通性通法由题意，得f（x）=3sinxcosxsin2x+cos2xsinxcosx=sin2x+cos2x=2sin（2x+）故该函数的最小正周期T=故选B光速解法由题意，得f（x）=2sin（x+）2cos（x+）=2sin（2x+）故该函数的最小正周期T=故选B28【答案】【解析】方法一：因为sin（+）=，所以cos（）=sin+（）=sin（+）=，因为为第四象限角，所以+2k2k，kZ，所以+2k2k，kZ，所以sin（）=，所以tan（）=方法二：因为是第四象限角，且sin（+）=，所以+为第一象限角，所以cos（+）=，所以tan（）=29【解析】（1）由角的终边过点P（，），得sin=，所以sin（+）=sin=（2）由角的终边过点P（，），得cos=，由sin（+）=，得cos（+）=由=（+），得cos=cos（+）cos+sin（+）sin，所以cos=或cos=