1、专题05 四边形一、选择题1（2019山东淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）AB2C2D6【答案】B【解析】解：由题意可得，大正方形的边长为2，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为：（2）2，故选：B2（2019山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND【答案】A【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD对角线BD上的两点M、N满足BMDN，OBBMODDN，即OMON，四
2、边形AMCN是平行四边形，OMAC，MNAC，四边形AMCN是矩形故选：A3（2019山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置若四边形AECF的面积为20，DE2，则AE的长为（）A4B2C6D2【答案】D【解析】解：ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，ADDC2，DE2，RtADE中，AE故选：D4（2019山东威海）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）AABDDCEBDFCF CAEB
3、BCDDAECCBD【答案】C【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEBC，ABDCDB，ABDDCE，DCECDB，BDCE，BCED为平行四边形，故A正确；DEBC，DEFCBF，DEFCBF（AAS），EFBF，DFCF，四边形BCED为平行四边形，故B正确；AEBC，AEBCBF，AEBBCD，CBFBCD，CFBF，同理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；AEBC，DEC+BCEEDB+DBC180，AECCBD，BDEBCE，四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C5（2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点
4、P沿折线BCD从点B开始运动到点D设运动的路程为x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）ABCD【答案】D【解析】解：由题意当0x3时，y3，当3x5时，y3（5x）x+故选：D6（2019山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按ADC，ABC的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）ABCD【答案】A【解析】解：当0x2时，正方形的边长为2cm，ySAPQAQAPx2；当2x4时，ySAPQS正方形ABCDSC
5、PQSABQSAPD，22（4x）22（x2）2（x2）x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合故选：A7（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D【解析】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得
6、最小值，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长，在等腰直角BCP1中，CP1BC2，BP12，PB的最小值是2故选：D8（2019山东德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CEDF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=BC，连接CM有如下结论：DE=AF；AN=AB；ADF=GMF；SANF：S四边形CNFB=1：8上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A
7、. B. C. D.【答案】C【解析】解：四边形ABCD是正方形，AD=AB=CD=BC，CDE=DAF=90，CEDF，DCE+CDF=ADF+CDF=90，ADF=DCE，ADFDCE（ASA），DE=AF；故正确；ABCD，AF：FB=1：2，AF：AB=AF：CD=1：3，AC=AB，AN=AB；故正确；如图，作GHCE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=a，由CMDCDE，可得CM=a，由GHCCDE，可得CH=a，CH=MH=CM，GHCM，GM=GC，GMH=GCH，FMG+GMH=90，DCE+GCM=90，FEG=DCE，ADF=DCE，ADF
8、=GMF；故正确，设ANF的面积为m，AFCD，AFNCDN，ADN的面积为3m，DCN的面积为9m，ADC的面积=ABC的面积=12m，SANF：S四边形CNFB=1：11，故错误，故选：C二、填空题9（2019山东济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 【答案】140【解析】解：该正九边形内角和180（92）1260，则每个内角的度数140故答案为：14010（2019山东枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE图中，BAC 度【答案】36【解析】解：ABC108，ABC是等腰三角形，BACBCA36
9、度11（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，ABDC，过点C作CEBC，交AD于点E，连接BE，BECDEC，若AB6，则CD 【答案】3【解析】解：如图，延长BC、AD相交于点F，CEBC，BCEFCE90，BECDEC，CECE，EBCEFC（ASA），BCCF，ABDC，ADDF，DC故答案为：312（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接AC，BD若ACB90，ACBC，ABBD，则ADC 【答案】105【解析】解：作DEAB于E，CFAB于F，如图所示：则DECF，CFAB，ACB90，ACBC，CFAFBFAB，ABBD，DECFABBD，BADBDA，
10、ABD30，BADBDA75，ABCD，ADC+BAD180，ADC105；故答案为：10513（2019山东菏泽）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC8，AECF2，则四边形BEDF的周长是 【答案】8【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，四边形ABCD为正方形，BDAC，ODOBOAOC，AECF2，OAAEOCCF，即OEOF，四边形BEDF为平行四边形，且BDEF，四边形BEDF为菱形，DEDFBEBF，ACBD8，OEOF2，由勾股定理得：DE2，四边形BEDF的周长4DE48，故答案为：814（2019山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正
11、方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为 cm【答案】6【解析】解：设BFx，则FGx，CF4x在RtADE中，利用勾股定理可得AE根据折叠的性质可知AGAB4，所以GE4在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，所以（4）2+x2（4x）2+22，解得x2则FC4x6故答案为615（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 【答案】2【解析】解：如图，连接EC，四边形ABCD
12、为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E为AD中点，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，EC，FE2，故答案为：216（2019山东滨州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC60，AB2BC，连接OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
13、【答案】【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ODOB，OAOC，DCB+ABC180，ABC60，DCB120，EC平分DCB，ECBDCB60，EBCBCECEB60，ECB是等边三角形，EBBC，AB2BC，EAEBEC，ACB90，OAOC，EAEB，OEBC，AOEACB90，EOAC，故正确，OEBC，OEFBCF，OFOB，SAODSBOC3SOCF，故错误，设BCBEECa，则AB2a，ACa，ODOB，BDa，AC：BDa：a：7，故正确，OFOBa，BFa，BF2a2，OFDFa（a+a）a2，BF2OFDF，故正确，故答案为17（2019山东潍坊）如图，在矩形
14、ABCD中，AD2将A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB 【答案】【解析】解：四边形ABCD为矩形，ADCCB90，ABDC，由翻折知，AEDAED，ABEABE，ABEBABD90，AEDAED，AEBAEB，BEBE，AEDAEDAEB18060，ADE90AED30，ADE90AEB30，ADEADEADC30，又CABD90，DADA，DBADCA（AAS），DCDB，在RtAED中，ADE30，AD2，AE，设ABDCx，则BEBExAE2+AD2DE2，（）2+22（x+x）2，解得，x1（负值舍去），x2，故答案为
15、：18（2019山东泰安）在平面直角坐标系中，直线l：yx+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 【答案】（2n1）【解析】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8）， OA11，C1A22，C2A34，C3A48，前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1An）（1+2+4+8+2n1）
16、，设S1+2+4+8+2n1，则2S2+4+8+2n1+2n，则2SS2n1，S2n1，1+2+4+8+2n12n1，前n个正方形对角线长的和是：（2n1），故答案为：（2n1）三、解答题19（2019山东菏泽）如图，四边形ABCD是矩形（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC4，BAC30，求BE的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）如图所示：（2）四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，AEEC，CABACE30，ECB60，ECB30，BC4，BE20（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，
17、CBD75，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求DBF的度数【答案】（1）见解析；（2）45【解析】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）四边形ABCD是菱形，ABDDBCABC75，DCAB，ACABC150，ABC+C180，CA30，EF垂直平分线段AB，AFFB，AFBA30，DBFABDFBE4521（2019山东青岛）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么
18、数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，AGOB，OEG90，同理：CFOD，AGCF，EGCF，EGAE，OAOC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OEG90，四边形EGCF是矩形22（
19、2019山东滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G，连接CG（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB6，AD10，求四边形CEFG的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意可得，BCEBFE，BECBEF，FECE，FGCE，FGECEB，FGEFEG，FGFE，FGEC，四边形CEFG是平行四边形，又CEFE，四边形CEFG是菱形；（2）矩形ABCD中，AB6，AD10，BCBF，BAF90，ADBCBF10，AF8，DF2，设EFx，则CEx，DE6x，FDE90，22+（6x）2x2，
20、解得，x，CE，四边形CEFG的面积是：CEDF223（2019山东聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得AEDABC，ABFBPF求证：（1）ABFDAE；（2）DEBF+EF【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ABAD，ADBC，BOADAE，ABCAED，BAFADE，ABFBPF，BPADAE，ABFDAE，ABDA，ABFDAE（ASA）；（2）ABFDAE，AEBF，DEAF，AFAE+EFBF+EF，DEBF+EF24（2019山东泰安）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边A
21、D上一点（1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PEEC，如图，求证：AEABDEAP；（3）在（2）的条件下，若AB1，BC2，求AP的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解答】（1）证明：如图中，四边形ABCD是矩形，BAD90，AEBD，AED90，BAE+EAD90，EAD+ADE90，BAEADE，AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD，AGPAPG，APAG，PAAB，PFBD，BP平分ABD，PAPF，PFAG，AEBD，PFBD，PFAG，四边形AGFP是平行四边形，PAPF，四边形AGFP是菱形
22、（2）证明：如图中，AEBD，PEEC，AEDPEC90，AEPDEC，EAD+ADE90，ADE+CDE90，EAPEDC，AEPDEC，ABCD，AEABDEAP；（3）解：四边形ABCD是矩形，BCAD2，BAD90，BD，AEBD，SABDBDAEABAD，AE，DE，AEABDEAP；AP25（2019山东泰安）如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂足为点C（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【答案】（1）AGFG，理由见解析；（2）DHHG
23、，理由见解析【解析】解：（1）AGFG，理由如下：如图，过点F作FMAB交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形，ABBC，B90BADFMAB，MAD90，FGAD，四边形AGFM是矩形AGMF，AMFG，CEF90，FEM+BEC90，BEC+BCE90FEMBCE，且MB90，EFECEFMCEB（AAS），BEMF，MEBCMEABBC，BEMAMFAGFG；（2）DHHG，理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FGAD，CDAD，FGCD，且CHFH，GHHN，NCFGAGFGNC又ADCD，GDDN，且GHHNDHGH26（2019山东潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形E
24、CGF的边CE上，连接DG，过点A作AHDG，交BG于点H连接HF，AF，其中AF交EC于点M（1）求证：AHF为等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的长【答案】（1）见解析；（2）EM【解析】证明：（1）四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形DABC，ADCD，FGCG，BCGF90ADBC，AHDG，四边形AHGD是平行四边形AHDG，ADHGCD，CDHG，ECGCGF90，FGCG，DCGHGF（SAS），DGHF，HFGHGDAHHF，HGD+DGF90，HFG+DGF90DGHF，且AHDG，AHHF，且AHHFAHF为等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE
25、2，EF5ADEF，且DE2EM27（2019山东临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GHAG，与AE的延长线交于点H，连接CH显然AE是DAF的平分线，EA是DEF的平分线仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180的角平分线），并说明理由【答案】AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线；CH是DCN的平分线；GH是EGM的平分线；理由见解析【解析】解：过点H作HNBM于N，则HNC90，四边形ABCD为正方形，ADABBC，DDABBDCBDCM90，将ADE沿
26、AE所在的直线折叠得到AFE，ADEAFE，DAFEAFG90，ADAF，DAEFAE，AFAB，又AGAG，RtABGRtAFG（HL），BAGFAG，AGBAGF，AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线；由知，DAEFAE，BAGFAG，又BAD90，GAF+EAF9045，即GAH45，GHAG，GHA90GAH45，AGH为等腰直角三角形，AGGH，AGB+BAG90，AGB+HGN90，BAGNGH，又BHNG90，AGGH，ABGGNH（AAS），BGNH，ABGN，BCGN，BCCGGNCG，BGCN，CNHN，DCM90，NCHNHC9045，DCHDCMNCH45，DCH
27、NCH，CH是DCN的平分线；AGB+HGN90，AGF+EGH90，由知，AGBAGF，HGNEGH，GH是EGM的平分线；综上所述，AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线，CH是DCN的平分线，GH是EGM的平分线28（2019山东威海）如图，在正方形ABCD中，AB10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点FE点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒（1）求证：CEEF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求BEF面积的最大值【答
28、案】（1）见解析；（2）y2x2+5x（0x5）；（3）【解析】（1）证明：过E作MNAB，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90NFE+FEN，AEEF，AEFAEM+FEN90，AEMNFE，DBC45，BNE90，BNENAM，AEMEFN（AAS），AEEF，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE，DEDE，ADECDE（SAS），AECEEF；（2）解：在RtBCD中，由勾股定理得：BD，0x5，由题意得：BE2x，BNENx，由（1）知：AEMEFN，MEFN，ABMN10，MEFN10x，BFFNBN10x
29、x102x，y2x2+5x（0x5）；（3）解：y2x2+5x2（x）2+，20，当x时，y有最大值是；即BEF面积的最大值是29（2019山东潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，BAD60，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转（030），得到菱形ABCD，BC交对角线AC于点M，CD交直线l于点N，连接MN（1）当MNBD时，求的大小（2）如图2，对角线BD交AC于点H，交直线l与点G，延长CB交AB于点E，连接EH当HEB的周长为2时，求菱形ABCD的周长【答案】（1）15；（2）8【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BADBCD60，ABD，BCD是
30、等边三角形，MNBC，CMNCBD60，CNMCDB60，CMN是等边三角形，CMCN，MBND，ABMADN120，ABAD，ABMADN（SAS），BAMDAN，CADBAD30，DAD15，15（2）CBD60，EBG120，EAG60，EAG+EBG180，四边形EAGB四点共圆，AEBAGD，EABGAD，ABAD，AEBAGD（AAS），EBGD，AEAG，AHAH，HAEHAG，AHEAHG（SAS），EHGH，EHB的周长为2，EH+EB+HBBH+HG+GDBD2，ABAB2，菱形ABCD的周长为830（2019山东济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边
31、上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设AMx，DNy写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值； 是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）3；（2）yx2x+10，最小值2；存在，x=810或【解析】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC10，ABCD8，BBCD90，由翻折可知：ADAF10DEEF，设ECx，则DEEF8x在RtABF中，BF6，CFBC
32、BF1064，在RtEFC中，则有：（8x）2x2+42，x3，EC3（2）如图2中，ADCG，CG6，BGBC+CG16，在RtABG中，AG，在RtDCG中，DG10，ADDG10，DAGAGD，DMGDMN+NMGDAM+ADM，DMNDAM，ADMNMG，ADMGMN，yx2x+10当x4时，y有最小值，最小值2存在有两种情形：如图31中，当MNMD时，MDNGMD，DMNDGM，DMNDGM，MNDM，DGGM10，xAM810如图32中，当MNDN时，作MHDG于HMNDN，MDNDMN，DMNDGM，MDGMGD，MDMG，BHDG，DHGH5，由GHMGBA，可得，MG，xAM
33、8综上所述，满足条件的x的值为810或31（2019山东德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD=60，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由【答案】（1）HD：GC：EB=1：1；（2）HD：GC：EB=1：1；（3）有变化，结果为HD：GC：EB=1：2，理由见解析【解
34、析】解：（1）连接AG，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD=60，GAE=CAB=30，AE=AH，AB=AD，A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，HD=EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，GCMN，NGO=AGE=30，GC=2OG，HGND为平行四边形，HD=GN，HD：GC：EB=1：1（2）如图2，连接AG，AC，ADC和AHG都是等腰三角形，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG=30，DAH=CAG，DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：，DAB=HAE=60，DAH=BAE，DAHBAE（
35、SAS）HD=EB，HD：GC：EB=1：1（3）有变化如图3，连接AG，AC，AD：AB=AH：AE=1：2，ADC=AHG=90，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG，DAH=CAG，DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：，DAB=HAE=90，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=1：2，ADHABE，DH：BE=AD：AB=1：2，HD：GC：EB=1：232（2019山东淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB（1）试证明DMMG，并求的值（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，
36、设EAB2（090），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由【答案】（1）；（2）中的值有变化，【解析】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，DEACGF，EDMFHM，EMDFMH，EMFM，EDMFHM（AAS），DEFH，DMMH，DE2FG，BGDG，HGDG，DGHBGF90，MHDM，GMDM，DMMG，连接EB，BF，设BCa，则AB2a，BE2a，BFa，EBDDBF45，EBF90，EF，EMMF，BMEFa，HMDM，GHFG，MGDFa，（2）解：（1）中的值有变化理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于ODOOA，DGGB，GOAB，OGAB，GFAC，O，G，F共线，FGAB，OFABDF，DFAC，ACOF，DEOF，OD与EF互相平分，EMMF，点M在直线AD上，GDGBGOGF，四边形OBFD是矩形，OBFODFBOD90，OMMD，OGGF，MGDF，设BCm，则AB2m，易知BE2OB22msin4msin，BFAO2mcos，DFOB2msin，
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