1、专题12图形的性质之解答题参考答案与试题解析一解答题（共31小题）1（2019南京）如图，D是ABC的边AB的中点，DEBC，CEAB，AC与DE相交于点F求证：ADFCEF【解答】证明：DEBC，CEAB，四边形DBCE是平行四边形，BDCE，D是AB的中点，ADBD，ADEC，CEAD，AECF，ADFE，ADFCEF（ASA）【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等2（2019无锡）如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别在AB、AC上，BDCE，BE、CD相交于点O（1）求证：DBCECB；（2）求证：OBOC【解答】（
2、1）证明：ABAC，ECBDBC，在DBC与ECB中，DBCECB（SAS）；（2）证明：由（1）知DBCECB，DCBEBC，OBOC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3（2019镇江）如图，四边形ABCD中，ADBC，点E、F分别在AD、BC上，AECF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H（1）求证：AGECHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由【解答】（1）证明：AGEF，CHEF，GH90，AGCH，ADBC，DEFBFE，AEGDEF，CFHBFE，AEGCFH，在
3、AGE和CHF中，AGECHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：AGECHF，AGCH，AGCH，四边形AHCG是平行四边形，线段GH与AC互相平分【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键4（2019扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在
4、直线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC中，AB5，T（AC，AB）3，则T（BC，AB）2；（2）如图2，在RtABC中，ACB90，T（AC，AB）4，T（BC，AB）9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A60，点D在AB边上，ACD90，T（AD，AC）2，T（BC，AB）6，求T（BC，CD），【解答】解：（1）如图1中，作CHABT（AC，AB）3，AH3，AB5，BH532，T（BC，AB）BH2，故答案为2（2）如图2中，作CHAB于HT（AC，AB）4，T（BC，AB）9，AH4，BH9，ACBCHACHB90，A+A
5、CH90，ACH+BCH90，ABCH，ACHCBH，CH6，SABCABCH13639（3）如图3中，作CHAD于H，BKCD于KACD90，T（AD，AC）2，AC2，A60，ADCBDK30，CDAC2，AD2AC4，AHAC1，DHADAH3，T（BC，AB）6，CHAB，BH6，DBBHDH3，在RtBDK中，K90，BD3，BDK30，DKBDcos30，CKCD+DK2，T（BC，CD）CK【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题5（20
6、19淮安）已知：如图，在ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点求证：BEDF【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，点E、F分别是ABCD边AD、BC的中点，DEAD，BFBC，DEBF，四边形BFDE是平行四边形，BEDF【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用6（2019宿迁）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，点E、F分别在AB、CD上，且BEDF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB4，BC2，CDAB4，ADBD2，CDAB，DB90，BEDF，CFAE4，
7、AFCE，AFCFCEAE，四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FHAB于H，则四边形AHFD是矩形，AHDF，FHAD2，EH1，EF【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键7（2019扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分DAB，已知CE6，BE8，DE10（1）求证：BEC90；（2）求cosDAE【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，ADBC，DCAB，DEAEAB，AE平分DAB，DAEEAB，DAEDEAADDE10，BC10，ABCDDE+CE16，CE2+BE262+82100BC2，BCE是直角三角形
8、，BEC90；（2）解：ABCD，ABEBEC90，AE8，cosDAEcosEAB【点睛】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明ADDE是解题的关键8（2019连云港）如图，在ABC中，ABAC将ABC沿着BC方向平移得到DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O（1）求证：OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由【解答】（1）证明：ABAC，BACB，ABC平移得到DEF，ABDE，BDEC，ACBDEC，OEOC，即OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四
9、边形AECD是矩形，理由是：ABAC，E为BC的中点，AEBC，BEEC，ABC平移得到DEF，BEAD，BEAD，ADEC，ADEC，四边形AECD是平行四边形，AEBC，四边形AECD是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键9（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点
10、，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长【解答】问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90
11、，ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和Rt
12、QIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，
13、PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP中，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG，PHFH，AE5，在RtABE中，BE3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，3，QEA
14、E，AQAE+QE，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，解得：AF，DF4，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，即，解得：FP，FHFP【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键10（2019无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC3，动点P从B出发，以每秒1个单位的
15、速度，沿射线BC方向移动，作PAB关于直线PA的对称PAB，设点P的运动时间为t（s）（1）若AB2如图2，当点B落在AC上时，显然PAB是直角三角形，求此时t的值；是否存在异于图2的时刻，使得PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t3时存在某一时刻有结论PAM45成立，试探究：对于t3的任意时刻，结论“PAM45”是否总是成立？请说明理由【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ABC90，AC，PCBACB，PBCABC90，PCBACB，PB24如图21中，当PCB90时，四
16、边形ABCD是矩形，D90，ABCD2，ADBC3，DB，CBCDDB，在RtPCB中，BP2PC2+BC2，t2（）2+（3t）2，t2如图22中，当PCB90时，在RtADB中，DB，CB3在RtPCB中则有：，解得t6如图23中，当CPB90时，易证四边形ABP为正方形，易知t2综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s（2）如图31中，PAM452+345，1+445又翻折，12，34，又ADMABM，AMAM，AMDAMB（AAS），ADABAB，即四边形ABCD是正方形，如图，设APBxPAB90x，DAPx，易证MDABAM（HL），BAMDAM，翻折，PABPAB90x，DA
17、BPABDAP902x，DAMDAB45x，MAPDAM+PAD45【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题11（2019盐城）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图；（）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B处，如图，两次折痕交于点O；（）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图【探究】（1）证明：OBCOED；（2）若AB8，设BC为x，OB2为
18、y，求y关于x的关系式【解答】解：（1）证明：由折叠可知，ADED，BCODCOADOCDO45BCDE，COD90，OCOD，在OBCOED中，OBCOED（SAS）；（2）过点O作OHCD于点H由（1）OBCOED，OEOB，BCx，则ADDEx，CE8x，OCOD，COD90CHCDAB4，OHCD4，EHCHCE4（8x）x4在RtOHE中，由勾股定理得OE2OH2+EH2，即OB242+（x4）2，y关于x的关系式：yx28x+32【点睛】本题是四边形综合题，熟练运用轴对称的性质和全等三角形的判定以及勾股定理是解题的关键12（2019苏州）已知矩形ABCD中，AB5cm，点P为对角线
19、AC上的一点，且AP2cm如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着ABC的方向匀速运动（不包含点C）设动点M的运动时间为t（s），APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图所示（1）直接写出动点M的运动速度为2cm/s，BC的长度为10cm；（2）如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着DCB的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时APM与DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）求动点N运动速度v（c
20、m/s）的取值范围；试探究S1S2是否存在最大值，若存在，求出S1S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由。【解答】解：（1）t2.5s时，函数图象发生改变，t2.5s时，M运动到点B处，动点M的运动速度为：2cm/s，t7.5s时，S0，t7.5s时，M运动到点C处，BC（7.52.5）210（cm），故答案为：2，10；（2）两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），当在点C相遇时，v（cm/s），当在点B相遇时，v6（cm/s），动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/sv6cm/s；过P作EFAB于F，交CD于E，如图3所示：则EFBC，EFBC10，AC5，解得
21、：AF2，DEAF2，CEBF3，PF4，EPEFPF6，S1SAPMSAPF+S梯形PFBMSABM42（4+2x5）35（2x5）2x+15，S2SDPMSDEP+S梯形EPMCSDCM26（6+152x）35（152x）2x，S1S2（2x+15）2x4x2+30x4（x）2，2.57.5，在BC边上可取，当x时，S1S2的最大值为【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、函数的图象、三角形面积公式、梯形面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，正确理解函数图象是解题的关键13（2019扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB20，BC10，以CD为一边向矩形
22、外部作等腰直角GDC，G90点M在线段AB上，且AMa，点P沿折线ADDG运动，点Q沿折线BCCG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQAB设PQ与AB之间的距离为x（1）若a12如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为3；在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围【解答】（1）解：P在线段AD上，PQAB20，APx，AM12，四边形AMQP的面积（12+20）x48，解得：x3；故答案为：3；当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，
23、0x10时，四边形AMQP面积的最大值（12+20）10160，当P在DG上运动，10x20，四边形AMQP为不规则梯形，作PHAB于M，交CD于N，作GECD于E，交AB于F，如图2所示：则PMx，PNx10，EFBC10，GDC是等腰直角三角形，DECE，GECD10，GFGE+EF20，GH20x，由题意得：PQCD，GPQGDC，即，解得：PQ402x，梯形AMQP的面积（12+402x）xx2+26x（x13）2+169，当x13时，四边形AMQP的面积最大169；（2）解：P在DG上，则10x20，AMa，PQ402x，梯形AMQP的面积S（a+402x）xx2x，对称轴为：x10
24、，0a20，101015，对称轴在10和15之间，10x20，二次函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，2022050，a5；综上所述，a的取值范围为5a20【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键14（2019泰州）如图，线段AB8，射线BGAB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使EAPBAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：AEPCEP；（2）
25、判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求AEF的周长【解答】解：（1）证明：四边形APCD正方形，DP平分APC，PCPA，APDCPD45，AEPCEP（SAS）；（2）CFAB，理由如下：AEPCEP，EAPECP，EAPBAP，BAPFCP，FCP+CMP90，AMFCMP，AMF+PAB90，AFM90，CFAB；（3）过点 C 作CNPBCFAB，BGAB，FCBN，CPNPCFEAPPAB，又APCP，PCNAPB（AAS），CNPBBF，PNAB，AEPCEP，AECE，AE+EF+AFCE+EF+AFBN+AFPN+PB+AFAB+CN+AFAB+BF+AF2AB16【点
26、睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明PCNAPB（AAS），是本题的关键15（2019常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n21+3+5+7+2n1；【运用】
27、（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y7当n4，m2时，如图4，y6；当n5，m3时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得yn+2（m1）（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立【解答】解：（1）有三个Rt其面积分别为ab，ab和c2直角梯形的面积为（a+b）（a+b）由图形可知：（a+b）（a+b）ababc2整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab2ab+c2，a2+b2c2故结论为
28、：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2c2（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1由图形可知：n21+3+5+7+2n1故答案为1+3+5+7+2n1（3）如图4，当n4，m2时，y6，如图5，当n5，m3时，y9方法1对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得yn+2（m1）方法2以ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC分割成3+2（m1）个互不重叠的小三角形以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把
29、四边形分割成4+2（m1）个互不重叠的小三角形故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m1）个互不重叠的小三角形故可得yn+2（m1）故答案为：6，3；n+2（m1）【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键16（2019徐州）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD（1）求证：ADOB；（2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由【解答】（1）证明：连接OC，D为的中点，BCDBOD，BACBOC，ADOB；（2）解：DE与O相切，理由：ADOB，AEOD，DE
30、AE，ODDE，DE与O相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键17（2019镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，BAC78，AC10小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）（1）ABC30；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长参考值：sin780.98，cos780.21，tan784.7【解答】解：（1）五边形ABDEF是正五边形，BAF108，ABCBAFBAC30，故答案为：30；（2）作CQAB于Q，在RtAQC中，sinQAC，QCACsinQAC100.989.8，在RtBQC中
31、，ABC30，BC2QC19.6，GCBCBG9.6【点睛】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形的应用，掌握正多边形的性质、正弦的定义是解题的关键18（2019南京）如图，O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD求证：PAPC【解答】证明：连接AC，ABCD，即，CA，PAPC【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键19（2019镇江）如图，在ABC中，ABAC，过AC延长线上的点O作ODAO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B（1）求证：直线AB与O相切；（2）若AB5，O的半径为12，则tanBDO【
32、解答】（1）证明：连接OB，如图所示：ABAC，ABCACB，ACBOCD，ABCOCD，ODAO，COD90，D+OCD90，OBOD，OBDD，OBD+ABC90，即ABO90，ABOB，点B在圆O上，直线AB与O相切；（2）解：ABO90，OA13，ACAB5，OCOAAC8，tanBDO；故答案为：【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键20（2019淮安）如图，AB是O的直径，AC与O交于点F，弦AD平分BAC，DEAC，垂足为E（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2
33、）若O的半径为2，BAC60，求线段EF的长【解答】解：（1）直线DE与O相切，连结ODAD平分BAC，OADCAD，OAOD，OADODA，ODACAD，ODAC，DEAC，即AED90，ODE90，即DEOD，DE是O的切线；（2）过O作OGAF于G，AF2AG，BAC60，OA2，AGOA1，AF2，AFOD，四边形AODF是菱形，DFOA，DFOA2，EFDBAC60，EFDF1【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型21（2019苏州）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E
34、、F（1）求证：DOAC；（2）求证：DEDADC2；（3）若tanCAD，求sinCDA的值【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以CADBAD，即CAB2BAD，而BOD2BAD，所以CABBOD， 所以DOAC；（2），CADDCB，DCEDCA，CD2DEDA；（3）tanCAD，设：DEa，则CD2a，AD4a，AE3a，3，即AEC和DEF的相似比为3，设：EFk，则CE3k，BC8k，tanCAD，AC6k，AB10k，sinCDA【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解22（2019泰州）如图，四边形AB
35、CD内接于O，AC为O的直径，D为的中点，过点D作DEAC，交BC的延长线于点E（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为5，AB8，求CE的长【解答】解：（1）DE与O相切，理由：连接OD，AC为O的直径，ADC90，D为的中点，ADCD，ACD45，OA是AC的中点，ODC45，DEAC，CDEDCA45，ODE90，DE与O相切；（2）O的半径为5，AC10，ADCD5，AC为O的直径，ABC90，AB8，BC6，BADDCE，ABDCDE45，ABDCDE，CE【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图
36、形是解题的关键23（2019扬州）如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于P，CPBC（1）求证：BC是O的切线；（2）已知BAO25，点Q是上的一点求AQB的度数；若OA18，求的长【解答】（1）证明：连接OB，OAOB，OABOBA，PCCB，CPBPBC，APOCPB，APOCBP，OCOA，AOP90，OAP+APO90，CBP+ABO90，CBO90，BC是O的切线；（2）解：BAO25，ABO25，APO65，POBAPOABO40，AQB（AOP+POB）13065；AQB65，AOB130，的长的长23【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的
37、性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键24（2019盐城）如图，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NEAB，垂足为E（1）若O的半径为，AC6，求BN的长；（2）求证：NE与O相切【解答】解：（1）连接DN，ONO的半径为，CD5ACB90，CD是斜边AB上的中线，BDCDAD5，AB10，BC8CD为直径CND90，且BDCDBNNC4（2）ACB90，D为斜边的中点，CDDADBAB，BCDB，OCON，BCDONC，ONCB，ONAB，NEAB，ONNE，NE为O的切线【点睛】本题考查切
38、线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型25（2019宿迁）在RtABC中，C90（1）如图，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F求证：12；（2）在图中作M，使它满足以下条件：圆心在边AB上；经过点B；与边AC相切（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【解答】解：（1）证明：如图，连接OF，AC是O的切线，OEAC，C90，OEBC，1OFB，OFOB，OFB2，12（2）如图所示M为所求作ABC平分线交AC于F点，作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即M为所求证明：M在BF的垂直平分线上，MFMB，MBFMFB，又BF平分ABC，M
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