1、2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题04 三角形一、选择题1（2019湖南邵阳）如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是（）A ABCABCB点C、点O、点C三点在同一直线上CAO：AA=1：2DABAB【答案】C【解析】解：以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，ABCABC，点C、点O、点C三点在同一直线上，ABAB，AO：OA1：2，故选项C错误，符合题意故选：C2（2019湖南益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连
2、接AC，BC，则ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【答案】B【解析】解：如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，故选：B3（2019湖南益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）Aasin+asinBacos+acosCatan+atanD+【答案】C【解析】解：在RtABD和RtABC中，ABa，t
3、an，tan，BCatan，BDatan，CDBC+BDatan+atan；故选：C4（2019湖南张家界）如图，在ABC中，C90，AC8，DCAD，BD平分ABC，则点D到AB的距离等于（）A4B3C2D1【答案】C【解析】解：如图，过点D作DEAB于E，AC8，DCAD，CD82，C90，BD平分ABC，DECD2，即点D到AB的距离为2故选：C5（2019湖南湘西州）如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cosBDC，则BC的长是（）A10B8C4D2【答案】D.【解析】解：C90，cosBDC，设CD5x，BD7x，BC2x，AB的垂直平分
4、线EF交AC于点D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故选：D6（2019湖南邵阳）如图，在RtABC中，BAC=90，B=36，AD是斜边BC上的中线，将ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则BED等于（）A120 B108 C72 D36 【答案】B【解析】解：在RtABC中，BAC90，B36，C90B54AD是斜边BC上的中线，ADBDCD，BADB36，DACC54，ADC180DACC72将ACD沿AD对折，使点C落在点F处，ADFADC72，BEDBAD+ADF36+72108故选：B7（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人
5、称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）AB2CD4【答案】B【解析】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B8（2019湖南常德）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A20B22C24D
6、26【答案】D【解析】解：如图，根据题意得AFHADE，（）2（）2设SAFH9x，则SADE16x，16x9x7，解得x1，SADE16，四边形DBCE的面积421626故选：D二、填空题9（2019湖南邵阳）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是_（不添加任何字母和辅助线）【答案】ABAC或ADCAEB或ABEACD【解析】解：AA，ADAE，可以添加ABAC，此时满足SAS；添加条件ADCAEB，此时满足ASA；添加条件ABEACD，此时满足AAS，故答案为ABAC或ADCAEB或ABEACD.10（2019湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72，则这个
7、等腰三角形的顶角为 【答案】36【解析】解：等腰三角形的一个底角为72，等腰三角形的顶角180727236，故答案为：3611（2019湖南株洲）如图所示，在RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF1，则AB 【答案】4【解析】解：E、F分别为MB、BC的中点，CM2EF2，ACB90，CM是斜边AB上的中线，AB2CM4，故答案为：412（2019湖南常德）如图，已知ABC是等腰三角形，ABAC，BAC45，点D在AC边上，将ABD绕点A逆时针旋转45得到ACD，且点D、D、B三点在同一条直线上，则ABD的度数是 【答案】22.5【解析】解：将A
8、BD绕点A逆时针旋转45得到ACD，BACCAD45，ADADADD67.5，DAB90ABD22.5故答案为：22.5.13（2019湖南娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 m【答案】3【解析】解：由题意得，CDAB，OCDOAB，即，解得AB=9 故答案为：914（2019湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，则点B的坐标是_【答案】（2，2）【解析】解：作BHy轴于H，如图，OA
9、B为等边三角形，OHAH2，BOA60，BHOH2，B点坐标为（2，2），等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，点B的坐标是（2，2）故答案为（2，2）15（2019湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x1处放置反光镜，在y轴处放置一个有缺口的挡板，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB1，在直线x1处放置一个挡板，从点O发出的光线经反光镜反射后，通过缺口AB照射在挡板上，则落在挡板上的光线的长度为 【答案】1.5【解析】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BFGH于点F，过点C作CEGH于点E，则OGHCGE，设GHa，则GF2a，则tanOG
10、HtanCGE，即：，即：，解得：a1，则45，GECE2，yC1+23，当光线反射过点A时，同理可得：yD1.5，落在挡板上的光线的长度CD31.51.5，故答案为1.5三、解答题16（2019湖南益阳）已知，如图，ABAE，ABDE，ECB70，D110，求证：ABCEAD【答案】见解析【解析】证明：由ECB70得ACB110又D110ACBDABDECABE在ABC和EAD中ABCEAD（AAS）17（2019湖南邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直AC=40cm，ADE=30，DE=
11、190cm，另一支架AB与水平线夹角BAD=65，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin650.91，cos650.42，tan652.14）【答案】18【解析】解：设OEOB2x，ODDE+OE190+2x，ADE30，OCOD95+x，BCOCOB95+x2x95x，tanBAD，2.14，解得：x9，OB2x1818（2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45方向上，距离A处30km在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救已知B处在A处的北偏东60方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km参考数据：1.414，
12、1.732，2.449）【答案】8.97km【解析】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则CDA90，由题意得：AC30km，CAD904545，BAD906030，ADCDAC15，ADBD，BD5，BCCDBD155151.41452.4498.97（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km19（2019湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30方向，试计算此段河面的宽度【答案】30米【解析】解：如图，作AD于BC于D由题意可
13、知：BC1.54060米，ABD30，ACD60，BACACDABC30，ABCBAC，BCAC60米在RtACD中，ADACsin606030（米）答：这条河的宽度为30米20（2019湖南张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿ABC路线对索道进行检修维护如图：已知AB500米，BC800米，AB与水平线AA1的夹角是30，BC与水平线BB1的夹角是60求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：1.732）【答案】943米【解析】解：如图，过点B作BHAA1于点H在RtABH中，AB
14、500，BAH30，BHAB（米），A1B1BH250（米），在RtBB1C中，BC800，CBB160，B1C400，检修人员上升的垂直高度CA1CB1+A1B1400+250943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米21（2019湖南娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60，测得B的方位角为南偏东45，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：141，245）【答案】100km【解析】解：过点C作CPAB于P，BCF=45，ACE=60，ABEF
15、，PCB=PBC=45，CAP=60，轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，BC=90，BC2=BP2+CP2，BP=CP=45，CAP=60，tan60= =，AP=15，AB=AP+PB=15+45=152.45+451.41100（km）答：小岛A与小岛B之间的距离是 100km22（2019湖南岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角ACG为45，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角AEH为62.3（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.30.89，
16、cos62.30.46，tan62.31.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB【答案】（1）（1.9a0.2）米；（2）36.1米【解析】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，GBCD1.7，HBEF1.5，GH0.2，在RtAHE中，tanAEH，则AHHEtanAEH1.9a，AGAHGH1.9a0.2，在RtACG中，ACG45，CGAG1.9a0.2，BD1.9a0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a0.2）米；（2）由题意得，1.9a0.2+a52，解得，a18，则AG1.9a0.234.4
17、，ABAG+GB36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米23（2019湖南常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB25cm，AB与墙壁DD的夹角DAB37，喷出的水流BC与AB形成的夹角ABC72，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE50cm，CE130cm问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70）【答案】160m【解析】解：
18、如图2，过点B作BGDD于点G，延长EC、GB交于点F，AB25，DE50，sin37，cos37，GB250.6015，GA250.8020，BF501535，ABC72，DAB37，GBA53，CBF55，BCF35，tan35，CF50，FE50+130180，GDFE180，AD18020160，安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置24（2019湖南衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1：（坡度i是
19、指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度（结果精确到0.1米）（参考数据：1.73，1.41）【答案】23.7米【解析】解：过D作DGBC于G，DHAB于H，交AE于F，作FPBC于P，如图所示：则DGFPBH，DFGP，坡面CD10米，山坡的坡度i1：，DCG30，FPDGCD5，CGDG5，FEP60，FPEP5，EP，DFGP5+10+10，AEB60，EAB30，ADH30，DAH60，DAF30ADF，AFDF+10，FHAF+5，AHFH10+5，ABAH+BH10+5+515+515+51.7323.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米25（2019湖南株洲）小强的爸
20、爸准备驾车外出启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MNl1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度【答案】（1）4.8m；（2）0.6米【解析】解：（1）由题意得，ABC，在RtABC中，AC
21、1.6，tanABCtan，BC4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DHBC于H，则四边形ADHC是矩形，ADCHBE0.6，点M是线段BC的中点，BMCM2.4米，EMBMBE1.8，MNBC，MNDH，EMNEHD，MN0.6，答：障碍物的高度为0.6米26（2019湖南常德）在等腰三角形ABC中，ABAC，作CMAB交AB于点M，BNAC交AC于点N（1）在图1中，求证：BMCCNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PEAB交CM于点E，作PFAC交BN于点F，求证：PE+PFBM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PEAB交CM的延长线于
22、点E，作PFAC交NB的延长线于点F，求证：AMPF+OMBNAMPE【答案】见解析【解析】证明：（1）ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90，在BMC和CNB中，BMCCNB（AAS）；（2）BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，PFAC，BFPBNC，+1，PE+PFBM；（3）同（2）的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90，MAC+ABN90，OMB90，MOB+ABN90，MACMOB，又AMCOMB90，AMCOMB，AMMBOMMC，AM（PEPF）OMBN，AMPF+OMBNAMPE27（2019湖南娄底）如图甲，在ABC中，
23、ACB=90，AC=4cm，BC=3cm如果点 P 由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 PC，将PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，当四边形 PQPC 为菱形时，求 t的值；（3）当 t 为何值时，APQ 是等腰三角形？【答案】（1）t 为秒时，S最大值为cm2；（2）当四边形PQPC为菱形时，t的值是s；（3）当 t 为s 或s 或s 时，APQ 是等腰三角
24、形【解析】解：（1）如图甲，过点 P 作 PHAC 于 H，C=90，ACBC，PHBC，APHABC，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，PH=3t，AQP 的面积为：S= AQPH=t（3t）=（t）2+，当 t 为秒时，S最大值为cm2（2）如图乙，连接 PP，PP交 QC于E，当四边形 PQPC 为菱形时，PE 垂直平分 QC，即 PEAC，QE=EC，APEABC，AE=t+4， QE=AEAQt+4t=t+4，QE=QC= （4t）=t+2， ，解得：t=，04，当四边形PQPC为菱形时，t的值是s；（3）由（1）知，PD=t+3，与（2）同理得：QD=ADAQ=t+4PQ=
25、，在APQ 中，当 AQ=AP，即 t=5t 时，解得：t1=；当 PQ=AQ，即=t 时，解得：t2=，t3=5；当 PQ=AP，即=5t 时，解得：t4=0，t5=；0t4，t3=5，t4=0 不合题意，舍去，当 t 为s 或s 或s 时，APQ 是等腰三角形28（2019湖南衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角
26、三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值【答案】（1）t3；（2）存在，t3；（3）DE3cm；（4）当t=时，AB的最小值为33【解答】解：（1）ABC是等边三角形，B60，当BQ2BP时，BPQ90，6+t2（6t），t3，t3时，BPQ是直角三角形（2）存在理由：如图1中，连接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如图2中，作PKBC交AC于KABC是等边三角形，BA60，PKBC，APKB60，AAPKAKP60，APK是等边三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）（4）如图3中，连接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值为33此时，点B落在AM上，即MPAB，所以AP=，即当t=时，AB的最小值为33
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