1、2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题03 函数一、选择题1（2019湖南益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）Ay4xBy4xCyx4Dyx2【答案】B【解析】解：y4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，yx4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，yx2中，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选：B2（2019湖南娄底）一次函数 y=kxk（k0）的图象大致是（ ）A BC D【答案】A【解析】解：k0，k0，一次函数 y=kxk 的图象经过第一、二、四象限，故选：A3
2、（2019湖南邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2下列说法中错误的是（）Ak1=k2 Bb1b2 Cb1b2 D当x=5时，y1y2【答案】B【解析】解：将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，直线l1直线l2，k1k2，直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，b1b2，当x5时，y1y2，故选：B4（2019湖南衡阳）如图，一次函数y1kx+b（k0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m0）的图象都经过A（1，2），B（2，1），结合图象，则不等式kx+b的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0x2D
3、1x0或x2【答案】C【解析】解：由函数图象可知，当一次函数y1kx+b（k0）的图象在反比例函数y2（m为常数且m0）的图象上方时，x的取值范围是：x1或0x2，不等式kx+b的解集是x1或0x2故选：C5（2019湖南株洲）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y（k0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作ADy轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记AOD、BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）AS1S2+S3BS2S3CS3S2S1DS1S2S32【答案】D【解析】解：点A、B、C为反比例函数y（
4、k0）上不同的三点，ADy轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，S3k，SBOESCOFk，SBOESOMESCDFSOME，S1S2，S1S3，S2S3，A，B，C选项错误，故选：D6（2019湖南益阳）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ac0，b2a0，b24ac0，ab+c0，正确的是（）ABCD【答案】A【解析】解：图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a0，c0，ac0，故正确；对称轴x1，1，a0，b2a，b2a0，故正确图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b24ac0，故错误当x1时，y0，ab+c0，故错误；故选：A7（2019湖南岳阳）对于一个函
5、数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点如果二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x11x2，则c的取值范围是（）Ac3Bc2CcDc1【答案】B【解析】解：由题意知二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+cx的两个实数根，且x11x2，整理，得：x2+x+c0，则解得c2，故选：B8（2019湖南衡阳）如图，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与ABC的
6、重叠部分面积为S则S关于t的函数图象大致为（）ABCD【答案】C.【解析】解：在直角三角形ABC中，C90，ACBC，ABC是等腰直角三角形，EFBC，EDAC，四边形EFCD是矩形，E是AB的中点，EFAC，DEBC，EFED，四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离a时，S正方形的面积EEH的面积a2t2；当移动的距离a时，如图2，SSACH（2at）2t22at+2a2，S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C二、填空题9（2019湖南株洲）若二次函数yax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“”或“”或“”）【答案】【解析】解：二次函数yax2+bx的图象开口向下
7、，a0故答案是：10（2019湖南娄底）如图，M 为反比例函数 y=的图象上的一点，MA 垂直 y 轴，垂足为 A， MAO 的面积为 2，则 k 的值为 【答案】4【解析】解：MA 垂直 y 轴，SAOM=|k|，|k|=2，即|k|=4， 而 k0，k=4故答案为 411（2019湖南益阳）反比例函数y的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k 【答案】6【解析】解：点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n1），依题意得：k2n3（n1），解得：n3，k236，故答案为：612（2019湖南郴州）某商店今年6月初销售
8、纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶【答案】150.【解析】解：这是一个一次函数模型，设ykx+b，则有，解得，y5x+115，当x7时，y150，预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为15013（2019湖南邵阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4， 2），反比例函数（x0）的图象经过线段OA的中点B，则k= 【答案】2【解析】解：如图：ACBD，B是OA的中点，ODDC同理OFEFA（4，2）AC2，OC4ODCD2，BDOFEF1，B（2，1）代入y得
9、：k212故答案为：2.14（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y的图象上，已知菱形的周长是8，COA60，则k的值是 【答案】【解析】解：过点C作CDOA，垂足为D，COA60OCD906030又菱形OABC的周长是8，OCOAABBC2，在RtCOD中，ODOC1，CD，C（1，），把C（1，）代入反比例函数y得：k1，故答案为：15（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数y的图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为 【答案】8【
10、解析】解：A、C是两函数图象的交点，A、C关于原点对称，CDx轴，ABx轴，OAOC，OBOD，SAOBSBOCSDOCSAOD，又反比例函数y的图象上，SAOBSBOCSDOCSAOD42，S四边形ABCD4SAOB428，故答案为：816（2019湖南衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为 【答案】（1010，10102）【解析】解：A点坐标为（1，1），直线O
11、A为yx，A1（1，1），A1A2OA，直线A1A2为yx+2，解得或，A2（2，4），A3（2，4），A3A4OA，直线A3A4为yx+6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，10102），故答案为（1010，10102）三、解答题17（2019湖南岳阳）如图，双曲线y经过点P（2，1），且与直线ykx4（k0）有两个不同的交点（1）求m的值（2）求k的取值范围【答案】（1）2；（2）2k0【解析】解：（1）双曲线y经过点P（2，1），m212；（2）双曲线y与直线ykx4（k0）有两个不同的交点，kx4，整理为：kx24x20，（4）24k（2）0，k2，k的取值
12、范围是2k018（2019湖南常德）如图，一次函数yx+3的图象与反比例函数y（k0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且APC的面积为5，求点P的坐标【答案】（1）y；（2）（2，0）或（8，0）【解析】解：（1）把点A（1，a）代入yx+3，得a2，A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y，k122；反比例函数的表达式为y；（2）一次函数yx+3的图象与x轴交于点C，C（3，0），设P（x，0），PC|3x|，SAPC|3x|25，x2或x8，P的坐标为（2，0）或（8，0）19（2019湖南湘西州）如图，一次函数y
13、kx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB4（1）求函数y和ykx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0kx+b的解集【答案】（1）y2x4；（2）x3【解析】解：（1）把点A（3，2）代入反比例函数y，可得m326，反比例函数解析式为y，OB4，B（0，4），把点A（3，2），B（0，4）代入一次函数ykx+b，可得，解得，一次函数解析式为y2x4；（2）不等式组0kx+b的解集为：x320（2019湖南常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问
14、题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算【答案】（1）y甲20x；y乙10x+100；（2）见解析【解答】解：（1）设y甲k1x，根据题意得5k1100，解得k120，y甲20x；设y乙k2x+100，根据题意得：20k2+100300，解得k210，y乙10x+100；（2）y甲y乙，即20x10x+100，解得x10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；y甲y乙，即20x10x+100，解得x10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费一样；y甲y乙，即20x10x+100，解得x10，当入园次数大于10次时，选择
15、乙消费卡比较合算21（2019湖南郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y的图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧
16、的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2），；x3或x1；x3+x42；0a2【解答】解：（1）如图所示：（2）A（5，y1），B（，y2），A与B在y上，y随x的增大而增大，y1y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y|x1|上，观察图象可得x1x2；故答案为，；当y2时，2，x（不符合）；当y2时，2|x1|，x3或x1；P（x3，y3），Q（x4，y4）在x1的右侧，1x3时，点关于x1对称，y3y4，x3+x42；由图象可知，0a222（2019湖南娄
17、底）如图，抛物线 y=x2+mx+（m1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0）， x1x2，与 y 轴交于点 C（0，c），且满足 x12+x22+x1x2=7（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点 P，使POC=PCO？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）y=x22x3；（2）能，点 P 的坐标是（，），（，）【解析】解（1）依题意：x1+x2=m，x1x2=m1，x1+x2+x1x2=7，（x1+x2）2x1x2=7，（m）2（m1）=7， 即 m2m6=0，解得 m1=2，m2=3，c=m10，m=3 不合题意m=2抛物线的解析式是 y
18、=x22x3；（2）能.如图，设 P 是抛物线上的一点，连接 PO，PC，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D 若POC=PCO，则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线.C 的坐标为（0，3），D 的坐标为（0，）.P 的纵坐标应是.令 x22x3= ，解得，x1=，x2= .因此所求点 P 的坐标是（，），（，）.23（2019湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰OAB的边OB与反比例函数y（m0）的图象相交于点C，其中OBAB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CHx轴于点H（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB
19、上的一点，满足OCAP，过点P作PQx轴于点Q，连结OP，记OPQ的面积为SOPQ，设AQt，TOH2SOPQ用t表示T（不需要写出t的取值范围）；当T取最小值时，求m的值【答案】（1）：y2x；（2）T4t24t；【解析】解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：ykx得：42k，解得：k2，故一次函数表达式为：y2x，（2）过点B作BMOA，则OCHQPAOABABM，则tan，sin，OBAB，则OMAM2，则点A（4，0），设：APa，则OCa，在APQ中，sinAPQsin，同理PQ2t，则PAat，OCt，则点C（t，2t），TOH2SOPQ（OCsin）2（4t）2t4t24
20、t，40，T有最小值，当t时，T取得最小值，而点C（t，2t），故：mt2t24（2019湖南常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x+3；（2）10；（3）存在，且P点
21、坐标为（，）或（，）或（，）【解析】解：（1）二次函数表达式为：ya（x1）2+4，将点B的坐标代入上式得：04a+4，解得：a1，故函数表达式为：yx2+2x+3；（2）设点M的坐标为（x，x2+2x+3），则点N（2x，x2+2x+3），则MNx2+x2x2，GMx2+2x+3，矩形MNHG的周长C2MN+2GM2（2x2）+2（x2+2x+3）2x2+8x+2，20，故当x2，C有最大值，最大值为10，此时x2，点N（0，3）与点D重合；（3）PNC的面积是矩形MNHG面积的，则SPNCMNGM23，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n
22、于点H、G，即PHGH，过点P作PKCD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：yx+3，OCOD，OCDODC45PHK，CD3，设点P（x，x2+2x+3），则点H（x，x+3），SPNCPKCDPHsin453，解得：PHHG，则PHx2+2x+3+x3，解得：x，故点P（，），直线n的表达式为：yx+3x+，联立并解得：x，即点P、P的坐标分别为（，）、（，）；故点P坐标为：（，）或（，）或（，）25（2019湖南郴州）已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点D的
23、坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k，当k为何值时，CFAD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为yx22x+3，顶点D（1，4）；（2）；F点的坐标为（）或（2，2）【解析】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点A（3，0），B（1，0），解得：，抛物线解析式为yx22x+3；yx22x+3（x+1）2+4顶点D的坐标为（1，4）；（2）在RtAOC中，OA3，OC3，AC2OA2+OC218，D（1，4），C（0，3），A（3，0），CD212+122AD222+4220AC2+CD2AD2
24、ACD为直角三角形，且ACD90，F为AD的中点，在RtACD中，tan，在RtOBC中，tan，ACDOCB，OAOC，OACOCA45，FAOACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑：当AOFABC时，AOFCBA，OFBC，设直线BC的解析式为ykx+b，解得：，直线BC的解析式为y3x+3，直线OF的解析式为y3x，设直线AD的解析式为ymx+n，解得：，直线AD的解析式为y2x+6，解得：，F（）当AOFCAB45时，AOFCAB，CAB45，OFAC，直线OF的解析式为yx，解得：，F（2，2）综合以上可得F点的坐标为（）或（2，2）26（2019湖南衡
25、阳）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）即OP时，线段OE有最大值最大值是（3）存在，最大值是，此时M点的坐标为（）【解析】解：（1）抛物线
26、yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：，故抛物线函数关系表达式为yx22x3；（2）A（1，0），点B（3，0），ABOA+OB1+34，正方形ABCD中，ABC90，PCBE，OPE+CPB90，CPB+PCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，设OPx，则PB3x，OE，0x3，时，线段OE长有最大值，最大值为即OP时，线段OE有最大值最大值是（3）存在如图，过点M作MHy轴交BN于点H，抛物线的解析式为yx22x3，x0，y3，N点坐标为（0，3），设直线BN的解析式为ykx+b，直线BN的解析式为yx3，设M（a，a22a3）
27、，则H（a，a3），MHa3（a22a3）a2+3a，SMNBSBMH+SMNH，a时，MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）27（2019湖南怀化）如图，在直角坐标系中有RtAOB，O为坐标原点，OB1，tanABO3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到RtCOD，二次函数yx2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：ykxk+3与二次函数图象相交于M，N两点若SPMN2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形；当直线l绕着定点Q旋转时，PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式【答
28、案】（1）yx2+2x+3，点P（1，4）；（2）k2；证明见解析；：y2x2+4x+1【解析】解：（1）OB1，tanABO3，则OA3，OC3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：ya（x3）（x+1）a（x22x3），即：3a3，解得：a1，故函数表达式为：yx2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2（2k）xk0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x22k，x1x2k，则：y1+y2k（x1+x2）2k+66k2，同理：y1y294k2，ykxk+3，当x1时，y3，即点Q（1
29、，3），SPMN2PQ（x2x1），则x2x14，|x2x1|，解得：k2；点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k21，故PMPN，即：PMN恒为直角三角形；取MN的中点H，则点H是PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x1k，y（y1+y2）（6k2），整理得：y2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y2x2+4x+128（2019湖南邵阳）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1=m，
30、交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出t的值；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）4；（3）能构成，且t=4或6【解析】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y=x2+bx
31、+c，得：，解得.该二次函数的解析式为 （2）当y=m时， 解得：， 点A的坐标为（，m），点B的坐标为（，m）， 点D的坐标为（，0），点C的坐标为（，0） 矩形ABCD为正方形， -（）=m， 解得：m1=16（舍去），m2=4 当矩形ABCD为正方形时，m的值为4 （3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形 由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0） 设直线AC的解析式为y=kx+a（k0）， 将A（2，4），C（6，0）代入y=kx+a，得，解得，直线AC的解析式为y=-x+6 当x=2+t时，=，y=-
32、x+6=-t+4， 点E的坐标为（2+t，），点F的坐标为（2+t，-t+4） 以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQEF， AQ=EF，分三种情况考虑： 当0t4时，如图1所示，AQ=t，EF=， ， 解得：t1=0（舍去），t2=4； 当4t7时，如图2所示，AQ=t-4，EF=， ， 解得：t3=-2（舍去），t4=6； 当7t8时，AQ=t-4，EF=， ， 解得：（舍去），（舍去）综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或629（2019湖南益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已
33、知A（1，4），B（3，0）（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DEOA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）【答案】（1）yx2+2x3；（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；（3）点N（，）【解析】解：（1）函数
34、表达式为：ya（x1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0a（31）2+4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，DEAO，SODASOEA，SODA+SAOMSOEA+SAOM，即：S四边形OMADSOBM，SOMESOBM，S四边形OMADSOBM；（3）设点P（m，n），nm2+2m+3，而m+n1，解得：m1或4，故点P（4，5）；如图2，故点D作QDAC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（1，0）、P（4，5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：yx1，同理直线AC的表达
35、式为：y2x+2，直线DQCA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y2x+3，联立并解得：x，即点Q（，），点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，）30（2019湖南张家界）已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）
36、yx24x+3，顶点D（2，1）；（2）见解析；（3）点P（，）；（4）存在，且AQ+QC的最小值为【解析】解：（1）函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）；（2）OBOC4，OBCOCB45，AMMBABsin45ADBD，则四边形ADBM为菱形，而AMB90，四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x24x+3），则点H（x，x+3），则SPBCPHOB（x+3x2+4x3）（
37、x2+3x），0，故SPBC有最大值，此时x，故点P（，）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30的直线CH，过点A作AHCH，垂足为H，则HQCQ，AQ+QC最小值AQ+HQAH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：yx+3则直线AH所在表达式中的k值为，则直线AH的表达式为：yx+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：yx+，联立并解得：x，故点H（，），而点A（1，0），则AH，即：AQ+QC的最小值为31（2019湖南株洲）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，b2，c1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数ypx2+qx
38、+r（p0），满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数yax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设bc3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x10，x20，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OCOD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若，求二次函数的表达式【答案】（1）（1，2）；见解析；（2）yx24x2【解析】解：（1）a1，b2，c1yx22x1（x1）22该二
39、次函数图象的顶点坐标为（1，2）；证明：当yx时，x22x1x整理得：x23x10（3）241（1）130方程x23x10有两个不相等的实数根即二次函数yx22x1有两个不同的“不动点”（2）把bc3代入二次函数得：yax2+c3x+c二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x10，x20）即x1、x2为方程ax2+c3x+c0的两个不相等实数根x1+x2，x1x2当x0时，yax2+c3x+ccC（0，c）E（1，0）CE，AE1x1，BEx21DFy轴，OCODDFx轴EFCE，CF2AFCABC，AEFCEBAEFCEB，即AEBECEEF（1x1）（x21）1+c2展开得：1+c2x21x1x2+x11+c21c3+2ac2+2c+4a0 c2（c+2a）+2（c+2a）0（c2+2）（c+2a）0c2+20c+2a0，即c2ax1+x24a2，x1x22，CF22（x1x2）2（x1+x2）24x1x216a4+8ABx2x1AFCABC，PPPFCPBA解得：a11，a21（舍去）c
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