1、第十一章 机械振动第3节 简谐运动的回复力和能量一、简谐运动的回复力1简谐运动的定义：如果质点所受的力与它偏离_的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力：力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是把物体_，这个力称为回复力。它可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，属于_。学科网3位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的_，是矢量，其最大值等于振幅。4回复表达式：F=kx，其中“”表示回复力与位移的方向相反，k是弹簧的劲度系数，x是弹簧振子的位移。二、简谐运动的能量1运动学特征：x、v、a均按_发生周期性变化（注意v、a的变化趋势相反）。2能量特征：系统的_，
2、振幅A不变。平衡位置位移 拉回到平衡位置 效果力 有向线段正弦或余弦规律 机械能守恒一、简谐运动的特征1受力特征：简谐运动的回复力满足F=kx，位移x与回复力的方向相反。由牛顿第二定律知，加速度a与位移的大小成正比，方向相反。2运动特征：当v、a同向时（即v、F同向，也就是v、x反向）时，v一定增大；当v、a反向时（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。当物体靠近平衡位置时，a、f、x都减小，v增大；当物体远离平衡位置时，a、f、x都增大，v减小。3能量特征：对弹簧振子来说，振幅越大，能量越大，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒。4周期特征：物体做简谐运动时，其位移、回复力
3、、加速度、速度、动量等矢量都随时间做周期变化，他们的周期就是简谐运动的周期T。物体动能和势能也随时间周期性变化，其周期为T/2。5对称性特征（1）速率的对称性：物体在关于平衡位置对称的两个位置具有相等的速率。（2）时间的对称性：物体通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。（3）加速度的对称性：物体在关于平衡位置对称的两位置具有等大、反向的加速度。【例题1】（2017宁夏育才中学高二月考）下列关于简谐运动的说法中正确的是A位移减小时，加速度减小，速度也减小B位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同C物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同D
4、水平弹簧振子从平衡位置开始朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同，朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反参考答案：C试题解析：位移减小时，振子靠近平衡位置，速度增加，根据，加速度减小，故A错误；根据，位移方向总跟加速度方向相反，但与速度方向可以相同、也可以相反，故B错误；物体的运动方向指向平衡位置时，是靠近平衡位置，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，是减速，速度方向跟位移方向相同，故C正确；水平弹簧振子朝左运动时，可能是远离平衡位置，也可能是靠近平衡位置，故加速度方向跟速度方向可能相反，也可能相同，故D错误。名师点睛：简谐运动中的回复力，加速度与位移关系为：，据此判断回复力与加速度/速度和位
5、移之间的关系。【例题2】如图所示，质量为M倾角为的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物体。压缩弹簧使其长度为3L/4时将物体由静止开始释放，且物体在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。学科网（1）求物体处于平衡位置时弹簧的长度；（2）选物体的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物体相对于平衡位置的位移，证明物体做简谐运动；（3）求弹簧的最大伸长量；（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）
6、？参考答案：（1） （2）见解析 （3） （4）（3）简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为l时将物体由静止开始释放，故其振幅为：故其最大伸长量为：（4）物体位移x为正时，斜面体受重力、支持力、压力、弹簧的拉力、静摩擦力，如图根据平衡条件，有水平方向：f+FN1sin Fcos =0竖直方向：FN2MgFN1cos Fsin =0又有：F=k（x+x），FN1=mgcos 联立可得：f=kxcos ，FN2=Mg+mg+kxsin 为使斜面体保持静止，结合牛顿第三定律，应该有|f|FN2，所以当x=A时，上式右端达到最大值，于是有：二、简谐运动的图象信息（1）由图象可以看出振幅、周期。（2）可
7、以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。（4）某段时间内指点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。【例题3】（2017湖北天门高二期中）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是At=0.2
8、 s时，振子在O点右侧6 cm处Bt=0.4 s和t=1.2 s时，振子的加速度完全相同Ct=0.8 s时，振子的速度方向向左Dt=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小参考答案：C学科试题解析：t=0.2 s时，振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，应在O点右侧大于6 cm处，A错误；t=0.4 s和t=1.2 s时，振子的加速度大小相同，方向相反，B错误；由图象乙知t=0.8 s时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，C正确；t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D错误。1（2017安徽黄山一中高二期中）如图所示，质量为m甲的物体
9、甲放置在质量为m乙的物体上，乙与弹簧相连，它们一起在光滑的水平面上做简谐运动，振动过程中甲、乙之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，甲、乙间摩擦力的大小等于A0 BkxC D2以下说法正确的是A简谐运动的质点是做匀变速直线运动B简谐运动的回复力一定是物体受到的合外力C简谐运动质点每次通过同一位置时，运动方向可能不同，但加速度一定相同D当存在摩擦和空气阻力时，物体在振动过程中机械能将减小，振幅减小，周期也减小3（2017宁夏育才中学高二期中）弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是A在平衡位置时它的机械能最大B在最大位移时它的机械能最大C从平衡位置
10、到最大位移处它的动能减小D从最大位移处到平衡位置它的机械能减小4做简谐运动的弹簧振子，每次通过平衡位置与最大位移处之间的某点时，下组物理量完全相同的是A回复力、加速度、速度B回复力、加速度、动能C回复力、速度、弹性势能D加速度、速度、机械能5（2017湖北华中师范大学一附中高二期中）如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A。在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面，第二次是当M运动到最大位移处C处时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，
11、则AA1=A2=A BA1A2=ACA1=A2A DA2”“”“”“=”）。 15如图所示，A、B叠放在光滑水平地面上，B与自由长度为L0的轻弹簧相连。当系统振动时，A、B始终无相对滑动，已知mA=3m，mB=m，当振子距平衡位置的位移x=时，系统的加速度为a，求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系。16有一实心立方体A，边长为L，从内部去掉一部分物质，剩余部分质量为m，一立方体B恰能完全填充A的空心部分，质量也为m，如图所示，即B的外表面与A的内表面恰好接触。整体放在一个盛有密度为的液体的容器里（容器无限大），刚开始，A漂浮在液面上，用外力使A向下产生位移b，平衡后由静止释放，A将要上下振动
12、（水的摩擦阻力不计）。可以证明该振动为简谐运动，振动过程中，A始终不离开液面，也不被液面埋没，已知重力加速度g，求：（1）物体B的最大速率；（2）在最高点和最低点A对B的作用力。17（2017宁夏育才中学高二月考）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A，B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是A弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用C振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D振子由O向B运动过程中，回复力的方向背离平衡位置18一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k，一端固定，另一端与质量为m、带电量为+q的小球相连，静止在
13、光滑绝缘的水平面上，当施加一水平向右的匀强电场E后（如图所示），小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，其中正确的是A小球的速度为零时，弹簧伸长qE/kB小球做简谐运动的振幅为qE/kC运动过程中，小球的机械能守恒D运动过程中，小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为零19（2017湖北武汉二中高二期末）如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板。现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，之后在斜面上做简谐运动，在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为，
14、则A简谐运动的振幅为B简谐运动的振幅为CB对C的最大弹力为DB对C的最大弹力为20一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，如图所示，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t=0）经过 周期，振子具有正方向的最大加速度，那么下列四个xt图象能正确反映运动情况的是21（2017贵州遵义航天高级中学高二月考）关于简谐运动的回复力和能量以下说法正确的是A简谐运动的回复力不可能是恒力B做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反C简谐运动公式F=kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度D做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零E做简谐运动的物体动能和势能相互转化，振动的总能量保持不变22如图所示，当一弹簧
15、振子在竖直方向上做简谐振动时，下列说法正确的是A振子经过同一位置时，速度大小一定相同B振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功C振子在从最低点向平衡位置运动过程中受到重力、弹力和回复力D振子在平衡位置时，其动能最大，弹簧的弹性势能最小23（2017河南新乡一中高二月考）如图所示为一个作简谐运动的振动图象，在t1与t2时刻，这个质点的A加速度相同 B位移相同C速度相同 D回复力相同24光滑的水平面上叠放有质量分别为m和m/2的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系
16、统的最大振幅为A BC D25（2017北京昌平高二期末）简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动。它具有如下特点：（1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比、方向与位移方向相反，即：F回=kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定。（2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。（1）如图所示，一光滑的水平杆，在杆上穿有两轻质弹簧，劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端固定于竖直墙上，中间系一质量为m的金属小球，此时两弹簧均处于原长，O为平衡位置。现将小
17、球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置做简谐运动。a写出小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式；b写出小球做简谐运动的周期T。26（2017北京卷）某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是At=1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值Bt=2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值Ct=3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零Dt=4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值27（2013上海卷）做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是A位移B速度C加速度 D回复力1D【解析】甲、乙整体做简谐运动，对整体，根据牛顿第二定律有，再对
18、甲，有：，所以选项D正确。【名师点睛】对整体分析由牛顿第二定律可得出回复力的表达式；再对甲分析，即可得出乙所受的摩擦力。2C【解析】简谐运动的质点是做非匀变速直线运动，A错误；简谐运动的回复力一定是物体受到的指向平衡位置的合力，B错误；简谐运动质点每次通过同一位置时，运动方向可能不同，但回复力一定相同，加速度一定相同，C正确；简谐运动的周期与振幅无关，故频率与振幅无关，故D错误。3C【解析】弹簧振子在做简谐运动的过程中机械能守恒，各个位置的机械能相等，故ABD错误；通过平衡位置时速度最大，动能最大，则从平衡位置到最大位移处它的动能减小，故C正确；故选C。5B【解析】根据两种情况下系统能量变化的
19、角度分析振幅的变化情况，振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能不变，故振幅不变，即；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为零，放上小物块后，系统的机械能的减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能总量减小，故弹簧的最大伸长（压缩）量减小，即振幅减小，所以，故，B正确。6B【解析】振动质点的位移是指离开平衡位置的位移，故经过平衡位置时位移一定为零，速度最大，故动能最大，故A错误；振动质点的位移是指离开平衡位置的位移，故经过平衡位置时位移一定为零，速度最大，故动能最大，势能最小，故B正确；简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，速度最大，故C错
20、误；单摆（下一节重点讲解）在最低点，速率最大，回复力为零，但拉力和重力的合力不为零，提供向心力，产生向心加速度，故D错误。7A【解析】回复力与位移成正比，在振子向着平衡位置运动的过程中回复力减小，A正确；振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，B错误；物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，C错误；由牛顿第二定律可知，加速度也减小，D错误；故选A。学科网8BC【解析】A、B两处位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A错误，C正确。在t=0.1 s和t=0.3 s时，质点离开平衡位置的位移最大，方向相反，由F=kx，可
21、知B正确。t=0.2 s时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大，而t=0.3 s时，速度为零，动能最小，故D错误。9B【解析】回复力满足F=kx的机械运动是简谐运动；根据牛顿第二定律，加速度为：，故ax图象是直线，斜率为负；故ACD错误，B正确；故选B。10C【解析】振子在振动过程中，速率相同时，振子经过同一位置，弹簧的长度相同，振子也可能经过关于平衡位置对称的两点，弹簧的长度不同，故A错误。振子在从M到O的运动过程中，弹簧弹力做正功；从O到N的运动过程中，弹簧弹力做负功，故B错误。振子在最大位移处，弹簧的形变量最大，势能最大，而速度为零，动能为零，为最小，故C正确。若M、N两点关于平衡位置
22、O对称，振子在M、N两点加速度大小相等，但方向相反，因此加速度不同，故D错误。【名师点睛】弹簧振子做简谐运动，速率相同时可能经过同一位置，也可能经过关于平衡位置对称的两点，振子位移最大时，势能最大，动能为零。加速度方向始终指向平衡位置，结合简谐运动的特征进行分析。11C【解析】根据回复力公式判断分析，简谐运动过程中回复力，随着质点的位移的变化而变化，故合力是变力，所以简谐运动属于变加速运动，C正确。【名师点睛】明确简谐运动中的位移、速度、加速度间的变化规律，知道图象中斜率的意义是解题的关键。13C【解析】振子在振动过程中，速度相同的位置在平衡位置两边，故弹簧的长度不等，故A错误；振子从最低点向
23、平衡位置运动过程中，弹力的方向与位移的方向同向，故弹力做正功，故B错误；振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供，故C正确；振子在振动过程中，只有重力与弹力做功，所以振子与弹簧构成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故D错误。【名师点睛】振子在弹簧作用下做简谐运动，当重力等于弹力处就是平衡位置，而回复力是由弹力与重力的合力提供的，仅有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒。14 【解析】 弹簧振子振动过程中，机械能守恒，振子经过平衡位置时，弹性势能为零，动能最大，从平衡位置运动到最大位移处时，动能转化为弹性势能。本题中，当粘胶脱开后，物块a与弹簧连接所构成的新的弹簧振子的机械
24、能减小，新振子到达最大位移处时的弹性势能减小，即振子振动的振幅减小；新的弹簧振子的振幅减小，振子从最大位移处加速运动到平衡位置的位移减小，运动中的加速度比原振子振动时的大，所以运动时间减小，振子振动的周期减小。15x【解析】设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置为时，有k=（mAmB）a由此可得k=当系统的位移为x时，A、B间的静摩擦力为Ff，此时A、B具有共同加速度a对系统有kx=（mAmB）a对A有Ff=mAa由得Ff=x16（1） （2）最高点：方向向下；最低点：，方向向上【解析】（1）物体刚开始
25、漂浮时：F浮=2mgA向下产生位移b时，撤掉外力的瞬间，整体所受的合力：由以上分析可知，可以将以后整体的运动等价成劲度系数，振幅为b的弹簧振子的简谐振动物体B与整体速度一样，根据弹簧振子的性质可知，整体回到平衡位置是速度最大，类似弹性势能全部转化为动能解得：（2）整体在最低点时，所受的合外力：由牛顿第二定律可知，整体向上的加速度，对B受力分析可知，B受A向上的力F1F1mg=ma，方向向上由对称性可知，在最高点B时的加速度依然是a，方向向下，受A向上的作用力F2mgF2 =ma，方向向下17A【解析】在水平方向上振动的弹簧振子所受力有重力、支持力、弹簧的弹力，故选项A正确，选项B错误；根据公式
26、，由于振子由A向O运动过程中，位移x减小，故回复力减小，故选项C错误；振子由O向B运动过程中，回复力的方向与位移方向相反，故指向平衡位置，故选项D错误。18BD【解析】小球的平衡位置为Eq=kx，解得x= qE/k，在此位置小球的速度最大，A 错误；小球做简谐运动的振幅为qE/k，B正确；运动过程中，由于电场力和弹力做功，故小球的机械能不守恒，C 错误；运动过程中，由于电场力和弹力做功，所以小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为零，D 正确。20D【解析】由题意，某一时刻作计时起点（），经周期，振子具有正方向最大加速度，由 知，此时位移为负方向最大，即在A点，说明时刻质点
27、经过平衡位置向左，则，在周期内向负方向的最大位移变化，故D正确。【名师点睛】根据某一时刻作计时起点（），经周期，振子具有正方向最大加速度，分析t=0时刻质点的位置和速度方向，确定位移的图象。21ABE【解析】根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为，不可能是恒力，故A正确；质点的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反；根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；物体做简谐运动时，受到的回复力为，k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量的长度，不是弹簧的长度。故C错误；做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力不一定为
28、零，如单摆时，小球在平衡位置（最低点）受到的合外力提供向心力，故D错误；做简谐振动的物体的振幅不变，总能量不变，即做简谐运动的物体动能和势能相互转化，振动的总能量保持不变，故E正确。22A【解析】振子在振动过程中，速度相同的位置在平衡位置两边，故弹簧的长度不等，故A正确；振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹力的方向与位移的方向同反，故弹力做正功，故B错误；振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供，故C错误；振子在平衡位置时，其动能最大，弹簧的弹性势能不是最小，当弹簧恢复到原长的时候，弹性势能最小，故D错误。【名师点睛】振子在弹簧作用下做简谐运动，当重力等于弹力处就是平衡位置，
29、而回复力是由弹力与重力的合力提供的，仅有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒。23ABD【解析】由振动图象看出，在t1和t2时刻，振子的位移大小，方向相同，则根据简谐运动的特征 和可知，加速度、回复力大小相等、方向相同，所以两个时刻位移、回复力和加速度都相同，ABD正确；t1时刻向最大位移处运动，速度方向指向最大位移处，t2时刻向平衡位置移动，速度方向指向平衡位置，所以速度不同，C错误；故选ABD。【名师点睛】解决本题的关键会分析物体做简谐运动的回复力是哪个力提供的，知道该题中最大振幅时两物体间的摩擦力达到最大静摩擦力。25（1）aF合=(k1+k2)x b【解析】（1）a设小球向右偏离平衡位置
30、的位移大小为x时，则此时右侧弹簧压缩，弹力为k2x，方向向左；左侧弹簧伸长，弹力为kx1，方向向左，则合外力F合的表达式；F合=(k1+k2)x；b结合F回=kx，可知k=k1+k2，根据可得振子的周期：。26A【解析】在t=1 s和t=3 s时，振子偏离平衡位置最远，速度为零，回复力最大，加速度最大，方向指向平衡位置，A正确，C错误；在t=2 s和t=4 s时，振子位于平衡位置，速度最大，回复力和加速度均为零，BD错误。【名师点睛】根据振动图象判断质点振动方向的方法：沿着时间轴看去，“上坡”段质点向上振动，“下坡”段质点向下振动。27B【解析】同一位置，说明相对平衡位置的位移相同，A错误。简谐运动的回复力和位移的关系F=kx，位移相同则回复力相同，D错误。根据牛顿第二定律，F=kx=ma，因此加速度也相同，C错误。经过同一位置，可能是远离平衡位置也可能是靠近平衡位置，速度方向不同，B正确。
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