专题2.5 等比数列的前n项和-20届高中数学同步讲义人教版（必修5）

1、2.5 等比数列的前n项和1等比数列的前n项和公式若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前项和的公式为2等比数列前n项和公式的函数特性（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数3等比数列前n项和的性质设等比数列的前n项和为，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质：2分组求和法的应用

2、分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成的形式的数列求和问题，其中数列与是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列已知是等差数列，且，数列满足，且是等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，所以，设等比数列的公比为，由题意，得，解得所以，从而（2）由（1）知，因为数列的前n项和为，数列的前n项和为，所以数列的前n项和为【名师点睛】（1）本题采用了分组求和法，其实质是利用加法结合律对一个求和式子进行重新组合，合并“同类项”后，再分别求和（2）利用分组求和法解题的步骤：根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；分组求和，分别求出各个数列的和；得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题利用等比数列的前n项和公式时忽略对公比的讨论从而导致错误在数列中，若，求的前n项和