专题2.3 等差数列的前n项和-20届高中数学同步讲义人教版（必修5）

1、2.3 等差数列的前n项和1数列前n项和的概念一般地，我们称_为数列的前n项和，用表示，即由此易得与的关系为2等差数列的前n项和公式首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为，或3等差数列前n项和公式的函数特性在等差数列中，令，可得，则（1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点；（2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点4等差数列前n项和的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）（2）若数列共有项，则，；若数列共有项，则，（3），（4）构成公差

2、为的等差数列（5）特别地，当时，；当，时，K知识参考答案：K重点等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算K难点等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题K易错解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项由前n项和求通项公式（1）已知求通项公式：利用即可求解；（2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式_【答案】【解析】当时，；当时，而，故数列的通项公式为已知数列的前n项和为，若，求证：是等差数列，并求【答案】证明见解析，【解析】当时，由，可得，因为，两边同时除以可得，所以数列是等差数列【名

3、师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件等差数列前n项和的基本量计算在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径在等差数列中，（1）若，则_；（2）若，则_；（3）若，则_【答案】（1）32；（2）54；（3）184【解析】（1）方法1：因为，所以，解得，所以方法2：因为，所以，即，所以，所以（2）方法1：因为，所以，所以方法2：因为，所以（3）根据已知条件利用等差中项可得，则【名师点睛】求数列的基本量的基本

4、方法是建立方程组，或者运用等差数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的等差数列前n项和的性质及应用一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为_【答案】【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，故方法2：易知数列成等差数列，设其公差为d，则前3项和为，即，又，所以，所以，所以方法3：设，则，解得，故，所以方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，三点共线，于是，将，代入解得方法5：因为，又，所以，所以方法6：利用性质：，可得方法7：利用性质：当，时，由于，可得【名师点睛】（1）通过一题多解可清晰地看到，虽然方法1是此类

5、问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度（2）对于方法4，我们可以证明：是等差数列，且，成等差数列，其实质是成等差数列（3）为等差数列为常数（1）设是等差数列的前n项和，若，则_；（2）若数列，的前n项和分别为，且，则_【答案】（1）；（2）【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得（2）由等差数列前n项和的性质得【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质（2）求解；涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理与等差数列有关的前n项和的最值问题设等差数列的首项为，公差为d，则