1、第一章 三角函数1.5 函数的图象一、对函数的图象的影响1对函数的图象的影响（其中0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当0时）平行移动个单位长度而得到的.2对函数的图象的影响函数（其中0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当01时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.3对函数的图象的影响函数（其中A0）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A0，0)的方法：（1）先平移后伸缩：（2）先伸缩后平移：二、函数(其中)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关：A：它表示做简谐运动的物体离开平
2、衡位置的最大距离，称为 （amplitude of vibration）.T：,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).f：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency).：称为 (phase).学-科网：x=0时的相位，称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤（1）函数ysin x到ysin(x)的图象变换称为相位变换；（2）函数ysin x到ysin x的图象变换称为周期变换；（3）函数ysin x到yAsin x的图象变换称为振幅变换（4）函数ysin x到yAsin(x)的图象的变换途径为相位变换周期
3、变化振幅变换或周期变换相位变化振幅变换K知识参考答案：一、1右 左2缩短 3A二、振幅 周期 频率 相位 初相K重点函数图象的变换以及由图象确定函数解析式K难点函数的性质的应用K易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数，或y=Acos(x)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为x|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（3）确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确
4、定出的值. （4）由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.【例1】要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】B【解析】因为ysin(4x)sin4(x)，所以要得到ysin4(x)的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位故选B【例2】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A BC D【答案】C【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得故选
5、C【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与的符号之间的对应，横坐标的变化与的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误.2由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(x)B(A0，0)的方法：（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求，已知函数的周期T，则.（3）求，常用方法有：【例3】如图是函数yAsin(x)A0，0，|的图象的一部分，求此函数的解析式【解析】(逐一定参法)由图象知A3，T，2，y3sin(2x)点在函数图象上，03sin，2k，得k(kZ)|0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_【答案】【解析】由图可知：A，所以T，2.又函数图
6、象经过点(，0)，所以2，则，故函数的解析式为f(x)sin(2x)，所以f(0)sin.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现.确定一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.3函数的性质的应用函数（A0,0）的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)的图象的对称
7、轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)函数yAcos(x)对称轴方程的求法：令cos(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称函数yAcos(x)对称中心的求法：令c
8、os(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例5】已知函数f(x)sin(x)(0，|0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值【解析】由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，当x0时f(x)取得最值，即sin1或1.依题设0，解得.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin()0，解得，kZ.又f(x)在0，上是单调函数，T，即，2.又0，当k1时，；当k2时，2.故，2或.【名师点睛】此类题目是函数yAsin(x)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称
9、性、最值等求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式4不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数ycos(2x)的图象，只需将函数ysin2x的图象A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【错解】选Bycos(2x)sin(2x)sin2(x)，因此向右平移个长度单位，故选B【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是ycos(2x)的图象【答案】A【试题解析】ycos(2x)sin(2x)sin(2x)sin2(x)，因此将函数ysin2x的图象向左平移个长度单位即可故选A1要得到y=sin2x的图象，只需将y=cos2x的
10、图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位2将函数y=2sin（x+）（0）的图象向右移个单位后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为A2B1CD3已知函数f（x）=sin（2x+）（0，|0,00，0，|0，0，|）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（0m0，0）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数（1）求f（x）
11、的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意x0，f 2（x）（2+m）f（x）+2+m0恒成立，求实数m的取值范围25（2018新课标）若f（x）=cosxsinx在0，a是减函数，则a的最大值是ABCD26（2017新课标）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长
12、度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C227（2016新课标）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A11 B9 C7 D528（2016新课标）将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为Ay=2sin(2x+) By=2sin(2x+) Cy=2sin(2x) Dy=2sin(2x)29（2016新课标）函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则Ay2sin(2x)By2sin(2x)Cy2sin(x)Dy2sin(x)30（2016新课标）若将函数y=2sin 2x的图
13、象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为Ax=(kZ) Bx=(kZ) Cx=(kZ) Dx=(kZ)31（2018江苏）已知函数y=sin（2x+）（0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，则的最小值为_123451011121314152627282930BBBCABCAACBDBDAB1【答案】B【解析】y=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+）所以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2（x）+=sin2x的图象，故选B2【答案】B【解析】将函数y=2sin（x+）（0）的图象向右移个单位后，可得y=2sin（x+）的图象，再根据所得图象关于y轴对
14、称，+=k+，kZ，即=，当k=1时，取得最小值为1，故选B4【答案】C【解析】f(0)1，2sin1，sin，又|，又2，2，f(x)2sin(2x)5【答案】A【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象,再向左平移个长度单位，得到的图象.将选项代入验证可知A选项符合.6【答案】【解析】由题意可知，函数f(x)的最小周期T2()2，1，f(x)sin(x)又x是函数f(x)的图象的一条对称轴，k，kZ，k，kZ.0，.7【解析】（1）振幅A3，周期T，初相.（2）先将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到ysin(x)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩
15、短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin(3x)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f(x)3sin(3x)的图象8【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，5)，得A(ymaxymin)(35)4，b(ymaxymin)(35)1，即T.由T，得2.y4sin(2x)1.2+2k，kZ，又|0，0)的图象可看作把yAsin(x)(其中A0，0)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个长度单位得到的由图象可知，取最大值与最小值时相应的x值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A、b，进而再求、.9【解析】（1）f(x)的最小正周
16、期为.(x0，y0)是最大值点，令2x2k，kZ，结合图象得x0，y03.（2）因为x，所以2x，0于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.10【答案】B【解析】由题可知，正弦型为，其中，A代表振幅，用来控制函数的横坐标变化，用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩短为原来的倍，得到，故选B【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是
17、先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 11【答案】C【解析】根据函数的图象，设可得，再根据五点法作图可得 故可以把函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，故选C12【答案】A【解析】依题意得，当时，x，所以，即函数g(x)的值域是【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量而言.13【答
18、案】A【解析】由于是上的偶函数，且，故，由图象关于点对称，则，即，所以，又因为在区间上是单调函数，且，所以，故，故选A【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法：（1）利用最值求出；（2）利用周期公式求出；（3）利用特殊点或对称性求出.在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性. 14【答案】C【解析】将的图象向左平移个单位长度得到的图象,故B错；在区间上有增有减，故D错；图象关于点对称，故A错误，C正确，故选C15【答案】B【解析】由图象可知，所以，当（）时，因为值域里有，所以，选B【名师点睛
19、】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解，所以.已知函数的图象求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.16【答案】【解析】由函数，的最大值是，得；又其图象经过点，或，；或，又，.故答案为17【解析】（1）由已知得当时，取得最小值，此时，即，故取最小值时的集合为（2）当时，所以，从而，即的值域为（3）即求函数的单调递减区间令，解得，故的单调增区间为18【解析】（1）00200根据表格可得 再根据五点法作图可得，故解析式为.（2）令，所以函数的单调递增区间为，.（3）因为，所以，所以. 所以当，即时，在区间上的最小值为. 当，即时，在
20、区间上的最大值为.【名师点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数在区间上的最大值和最小值.（2）由（1）可得，由，得，的单调递增区间为，的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.（1）由
21、已知可得，进而求解值，再根据的图象关于对称，求解的值，即可求得函数的解析式；（2）由（1）可得，利用三角函数的图象与性质，即可求解的单调递增区间以及时的取值范围. 学-科网21【解析】（1）由2xk，得函数的对称轴方程是x，kZ.所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x.（2）将函数y2cos的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象的解析式是y2cos.因为y2cos的图象关于原点对称，所以2k.所以，kZ.所以的最小正值是22【解析】（1）依题意，A，T44，T4，0，.ysin.曲线上的最高点为，sin1.2k，kZ.，.ysin.（2）令2kx2k，kZ，4kx4k，kZ.函数f
22、(x)的单调递增区间为4k，4k(kZ)令2kx2k，kZ，4kx4k，kZ.函数f(x)的单调递减区间为4k，4k(kZ)23【解析】（1）由图象知，周期T=（）=，=2点（，0）在函数图象上，Asin（2+）=0，即sin（）=0，又，从而=又点（0，1）在函数图象上，1=Asin，A=2故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）令2x+=k+，kZ，解得x=+，kZ即为函数f（x）图象的对称轴方程（2）依题意，得g（x）=2sin（x+），g（x）=2sin（x+）的周期T=2，g（x）=2sin（x+）在x，内有2个周期令x+=k（kZ），则x=+k（kZ），即函数g（x）=
23、2sin（x+）的对称轴为x=+k（kZ）又x，则x+0，4，且0m2，所以g（x）=m，（0m2）在x内有4个实根，不妨从小到大依次设为xi（i=1，2，3，4），则，关于x的方程g（x）=m（0m2）在x时，所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=24【解析】（1）由可得=2，则f（x）=sin（2x+）+b，又为奇函数，且0，则，故（2）结合（1）的结论可得对称轴满足，据此可得对称轴方程为，函数的增区间满足，故增区间为（3）因为，所以，而f 2（x）（2+m）f（x）+2+m0恒成立，整理可得，由，得，故，即m取值范围是25【答案】C【解析】f（x）=cosxsinx=（sinxcos
24、x）=sin（x），由+2kx+2k，kZ，得+2kx+2k，kZ，取k=0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在0，a是减函数，得a则a的最大值是故选C26【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题
25、目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：的单调区间长度是最小正周期的一半;若的图象关于直线对称,则或.28【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.29【答案】A【解析】由题图知，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定值30【答案】B【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则平移后函数图象的对称轴为，即，故选B.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加或减多少值，而不是依赖于x加或减多少值31【答案】D【解析】由图象可知，解得，所以，令，解得,故函数的单调减区间为（，）,故选D31【答案】【解析】y=sin（2x+）（）的图象关于直线x=对称，2+=k+，kZ，即=k，0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0，则的最小值为：故答案为：
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