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    2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

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    2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

    1、2020年高考文科数学不等式选讲题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1 设函数(1)解不等式.(2)若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1); (2)实数的取值范围是【解析】(1)因为所以当时,解得;当时,无解;当时,解得.所以不等式 的解集为.(2)因为所以min1.因为恒成立,所以,即实数的取值范围是.【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标,以绝对值不等式求解与证明问题为背景,所涉及到的知识均为考生熟悉的,易于入手,可从不同角度思考分析,使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二 解绝对值三角不等式例1已知函数,若不等式对恒成立,求实数的范

    2、围.【答案】【解析】由且得.又因为,则有.解不等式得.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状,运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式,如和型不等式的解法有三种,几何解法和代数解法以及构造函数的解法,其中代数解法主要是分类讨论的思想方法,这也是函数解法的基础,这两种解法都适宜于前面系数不为类型的上述不等式,使用范围更广.题型三 利用绝对值不等式求参数范围例1设函数,(1)当时,求不等式的解集;(2)对任意恒有,求实数的取值范围【答案】或,【解析】(1)当时,所以的解集为 (2)由恒成立,有,解得,所以的取值范围是【易错点】

    3、本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【思维点拨】绝对值不等式的解法中,的解集是;的解集是,它可以推广到复合型绝对值不等式,的解法,还可以推广到右边含未知数的不等式.题型四 用放缩法、反证法证明不等式例1已知,且,求证:【证明】 方法一:(放缩法)因为,所以左边右边.方法二:(反证法)假设 ,则 .由 ,得 ,于是有.所以,这与矛盾.故假设不成立,所以.【思维点拨】 根据不等式左边是平方和及这个特点,选用重要不等式来证明比较好,它可以将具备 形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立,结合条件 ,得到关于的不等式

    4、,最后与数的平方非负的性质矛盾,从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【题型归纳】题型一 绝对值不等式、均值不等式1.【题干】已知函数,且的解集为.(1)求的值;(2)若,且,求证: .【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)当时,的解集为空集,不符合题意当时综上: 由题意得:(2) 题型二 绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法1.【题干】.已知函数(1)求不等式的解集;(2)若,对任意正实数,恒成立,求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)因为所以,不等式的解集为:(2)因为,且,为正实数,当且仅当时等号成立.因为对任

    5、意正实数,恒成立,所以当时不等式不成立;当时解集为;当时不等式恒成立解集. 综上不等式解集为.题型三 利用绝对值不等式求参数范围1.【题干】设函数(1)求不等式的解集;(2)若,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) ,(2) 【解析】(1),当当 , 当, 。综上所述 (2)易得,若,恒成立, 则只需解得,。,综上所述 2.【题干】已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.来源:学&科&网【答案】(1);(2)或.【解析】(1)原不等式等价于或或,解得:或或.即不等式的解集为.(2)不等式等价于,因为,所以的最小值为4,于是,即,所以或3.【题干】.已知函数(1)解关于的不等式;(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】(1)或; (2)或.【解析】(1),或 (2)当时,可知的最小值为,则此时; 当时,可知的最小值为,则此时 综上:或 .


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