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    2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

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    2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

    1、2020年高考理科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1已知,点满足,记点的轨迹为求轨迹的方程【答案】【解析】由可知:点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,由,故轨迹的方程为.【易错点】(1)对于双曲线的定义理解片面;(2)如果动点满足,则点的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“”只能表示点的轨迹是双曲线的右支,而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时,一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二 定值、定点问题例2已知椭圆C:1过A(2,0),B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x

    2、轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值【答案】(1)y21,e(2)2.【解析】(1)由题意得所以椭圆C的方程为y21.又c,所以离心率e.(2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00),则x4y4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y(x2).令x0,得yM,从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0,得xN,从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|从而四边形ABNM的面积为定值.【易错点】(1)想不到设出P(x0,y0)后,利用点斜式写出直线PA,PB的方程不会由直线PA,PB的方程求解|BM|,|AN|;(2)不知道四边形的面积可用

    3、S| AN|BM|表示;(3)四边形ABNM的面积用x0,y0表示后,不会变形、化简,用整体消参来求值【思维点拨】第(1)问由a2,b1,c,解第一问;第(2)问画草图可知ANBM,四边形ABNM的面积为|AN|BM|,设点P(x0,y0),得出PA,PB的方程,进而得出M,N的坐标,得出|AN|,|BM|,只需证明|AN|BM|是一个与点P的坐标无关的量即可例3已知椭圆C:1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点【答案】(1)y21(

    4、2)(2,1)【解析】(1)因为P3,P4,所以P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点又由知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上.故椭圆C的方程为y21.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),而k1k2.由题设k1k21,故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.当且仅当m1时,0,于是l:yxm,即y1(x2),所以l过定点(2,1). 【易错点】(1)观察不出P3,P4对称,忽视对称性导致判断失误;(2)不会用点的坐标代入方程判断P1,P2是否在椭圆

    5、上而滞做;(3)联立直线l与椭圆C的方程,计算化简失误而滞做;(4)利用k1k21运算变形不明确变形目标,导致化简不出k,m的关系【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质,易排除点P1(1,1)不在椭圆上,从而求椭圆方程;第(2)问分类讨论斜率是否存在,若存在,设l:ykxm,利用条件建立k,m的等量关系,消参后再表示出直线l的方程可证明题型三最值(范围)问题例4已知椭圆C:y21(a0),F1,F2分别是其左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范

    6、围是,求线段AB长的取值范围【答案】(1)y21(2)【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点,所以bc1,a,所以椭圆C的方程为y21(2)根据题意,直线A,B的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为yk(x1),与y21联立,消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1x2,x1x2,y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22),即M.则直线AB的垂直平分线为y,令y0,得xP,因为xP,即0,所以0k2,.1,|AB|【易错点】运算错误,由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差,都是出

    7、错原因。【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法:(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域题型四存在性问题例5.如图,椭圆E:1(ab0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且1.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由【答案】(1)1(2)3,理由见解析【解析】(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,b),(0

    8、,b)又点P的坐标为(0,1),且1,于是解得a2,b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykx1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0,所以x1x2,x1x2.从而,x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以,当1时,23.此时,3为定值当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,2.当1时,3,为定值综上,存在常数1,使得为定值3.【思维点拨】解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果

    9、推出矛盾就不存在,否则就存在。例6已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F2(2,0),点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由【答案】(1)1(2)不存在满足条件的直线l【解析】(1)法一:椭圆C的右焦点为F2(2,0),c2,椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a 2,解得a,b2a2c2642.椭圆C的标准方程为1.法二:椭圆C的右焦点为F2(2,0),c2,故a2b24,又点P在椭圆C上,则1,故1,化简得3b44b2200,得b22

    10、,a26.椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为yxt,由得x23(xt)260,即4x26tx(3t26)0,(6t)244(3t26)9612t20,解得2t2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2,x1x2,由于|F1M|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1EMN,故kF1E1,又F1(2,0),E,即E,kF1E1,解得t4.当t4时,不满足2tb0)的离心率为,点(2,)在C上(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【答案】(1)1(

    11、2)略【解析】(1)由题意有,1,解得a28,b24.所以C的方程为1(2)证明:设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)将ykxb代入1,得(2k21)x24kbx2b280故xM,yMkxMb于是直线OM的斜率kOM,即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点. 【答案】(1)x24y(2)略【解析】(1)由题意,得点M与点(0,1)的距离始终等于点M

    12、到直线y1的距离,由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点,直线y1为准线的抛物线,则1,p2.圆心M的轨迹方程为x24y(2)证明:由题知,直线l的斜率存在,设直线l:ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x2,y2),联立得x24kx80,kAC,则直线AC的方程为yy1(xx1),即yy1(xx1)xxx1x28,yxx2,故直线AC恒过定点(0,2)3.已知椭圆C:1(ab0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴,直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(均不在坐标轴上)(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,若AOB的面积为,试判断直线OA与OB的斜率之

    13、积是否为定值? 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由题意知解得椭圆C的标准方程为1(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k23)x28kmx4m2120,由(8km)216(4k23)(m23)0,得m24k23x1x2,x1x2,SOAB|m|x1x2|m|,化简得4k232m20,满足0,从而有4k2m2m23(*),kOAkOB,由(*)式,得1,kOAkOB,即直线OA与OB的斜率之积为定值题型三 最值(范围)问题1.已知平面内一动点M与两定点B1(0,1)和B2(0,1)连线的斜率之积等于.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设直线l:yxm(m0)与轨迹E交于A,

    14、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求PAB面积的最大值. 【答案】(1)y21(x0)(2)【解析】(1)设M的坐标为(x,y),1分依题意得,化简得动点M的轨迹E的方程为y21(x0)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)联立化简得3x24mx2m220(x0),有两个不同的交点,由根与系数的关系得x1x2,x1x2,(4m)212(2m22)0,即m且m1,0,1.设A,B的中点为C(xC,yC),则xC,yCxCm,C,线段AB的垂直平分线方程为y,令y0,得P点坐标为 则点P到AB的距离d,由弦长公式得|AB|,SPAB,当且仅当m2,即m(,)时,等号成立,P

    15、AB面积的最大值为2.已知椭圆1(ab0)离心率为,过点E(,0)的椭圆的两条切线相互垂直. (1)求此椭圆的方程;(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A,B两点,使得FAFB(F为右焦点),求t的取值范围. 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由椭圆的离心率e,得a2c,b2a2c23c2.不妨设在x轴上方的切点为M,x轴下方的切点为N,由椭圆的对称性知kME1,直线ME的方程为yx, 联立消去y,整理得7x28x2812c20,由(8)247(2812c2)0,得c1,a2,b,椭圆方程为1.(2)设l的方程为xmyt,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,整理得(3m24

    16、)y26mty3t2120,则y1y2,y1y2.又(x11,y1),(x21,y2),(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2(m21)y1y2(mtm)(y1y2)t22t10,(m21)(3t212)(mtm)(6mt)(t22t1)(3m24)0,化简得7t28t89m2.要满足题意,则7t28t89m2有解,7t28t80,解得t或t.t的取值范围为.3.已知椭圆1(ab0)的右焦点为F,直线PQ过F交椭圆于P,Q两点,且|PF|max|QF|min. (1)求椭圆的长轴与短轴的比值; (2)如图,线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M,与x轴,y轴分别交于D,E两点,

    17、求的取值范围【答案】(1)2(2)【解析】(1)设F(c,0),则|PF|maxac,|QF|minac,a2c2.b2c2a2,a24b2,长轴与短轴的比值为2a2b2.(2)由(1)知a2b,可设椭圆方程为1.依题意,直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ的方程为yk(xc),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y,得(4k21)x28k2cx4k2c24b20,则x1x2,y1y2k(x1x22c),M.MDPQ,设D(x3,0),k1,解得x3,D.DMFDOE,的取值范围为.题型四存在性问题1.如图,椭圆C:1(ab0)经过点P,离心率e,直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的

    18、方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1k2k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由【答案】(1)1(2)2【解析】(1)由P在椭圆上得,1.依题设知a2c,则b23c2.代入解得c21,a24,b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程并整理,得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2,x1x2.在方程中令x4得,M的坐标为(4,3k)从而k1,k2,k3k.由于

    19、A,F,B三点共线,则有kkAFkBF,即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1,又k3k,所以k1k22k3.故存在常数2符合题意2.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线ykx(k0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)1(2)P(2,0)或P(2,0)【解析】(1)设椭圆C的方程为1(ab0),因为椭圆的左焦点为F1(2,0),所以a

    20、2b24.由题可得椭圆的右焦点为F2(2,0),已知点B(2,)在椭圆C上,由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a,所以2a34.所以a2,从而b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(2,0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E,F,设点E(x0,y0)(不妨设x00),则点F(x0,y0)联立方程消去y得x2.所以x0,y0,所以直线AE的方程为y(x2)因为直线AE与y轴交于点M,令x0,得y,即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0),使得MPN为直角,则0.即t20,即t240.解得t2或t2.故存在点P(2,0)或P(2,0),无论非零实

    21、数k怎样变化,总有MPN为直角3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由【答案】(1)1(2)所以符合题意的直线l不存在【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2,所以b212.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点,所以(3t)243(t212)1443t20,解得4t4.另一方面,由直线OA与l的距离等于4,可得4,从而t2.由于2 4,4 ,所以符合题意的直线l不存在


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