1、 平移与旋转【考点整理】1平移定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动称为图形的_图形平移有两个基本条件：图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后的图形对应点的方向；图形平移的距离就是连结一对对应点的线段的长度平移的性质：(1)平移不改变图形的_；(2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线_(或在同一条直线上)且相等2旋转定义：在平面内，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做_，这个固定的点叫做_图形旋转有三个基本条件
2、：旋转中心；旋转方向；旋转角度旋转的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形_；(2)对应点到旋转中心的距离_任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于_【解题秘籍】1判断图形是何种变换(平移，旋转) 方法：图形的平移或者旋转是指图形的整体变换，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这是得出图形平移的基本特征的依据；旋转前后图形上的每一点都绕着旋转中心转了同样的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等要正确利用平移、旋转的性质，抓住其中的不变量是解决问题的关键在网格中找旋转后的图形可以分部分进行2图形平移、旋转与其他知识的综合运用应用图形变换的概
3、念与性质探究几何图形的特征，可解决图形中的一些等量关系图形平移、旋转与代数，几何，函数综合运用是近年中考的热点试题【易错提醒】1在描述旋转时，必须指出它是顺时针还是逆时针旋转多少度，不能只说旋转多少度2图形平移是指图形的整体平移，平移只改变位置，不改变图形的大小【题型解析】1.图形的平移【例题1】（2019湖南邵阳3分）一次函数y1k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2k2x+b2下列说法中错误的是（）Ak1k2 Bb1b2 Cb1b2D当x5时，y1y22. 图形的旋转【例题2】（2019广西北部湾8分）如图，在平面直角坐标系中，已知
4、ABC的三个顶点坐标分别是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）将ABC向上平移4个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1;（2）请画出ABC关于y轴对称的A2B2C2;（3）请写出A1、A2的坐标.3. 利用平移、旋转和轴对称作图【例题3】（2019浙江宁波8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）4
5、. 旋转的综合应用【例题4】(2019浙江丽水12分)如图，在等腰RtABC中，ACB90，AB，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF(1)如图1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O求证：BD2DO(2)已知点G为AF的中点如图2，若ADBD，CE2，求DG的长若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由【同步检测】一、选择题：1. （2019浙江绍兴4分）在平面直角坐标系中，抛物线y（x+5）（x3）经变换后得到抛物线y（x+3）（x5），则这个变换可以是（）A向左平移2个单位B向右平移2个单
6、位C向左平移8个单位D向右平移8个单位2.【 2019甘肃省兰州市)如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（3，5），B（4，3），A1（3，3）.则点B1坐标为（ ）A. （1，2） B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）3. （2019浙江嘉兴3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）作菱形OABC关于y轴的对称图形OABC，再作图形OABC关于点O的中心对称图形OABC，则点C的对应点C的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（2，1）D（2，1）4. （2019南京2分）如图，
7、ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：1次旋转；1次旋转和1次轴对称；2次旋转；2次轴对称其中所有正确结论的序号是（）ABCD5. （2019，山东枣庄，3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置若四边形AECF的面积为20，DE2，则AE的长为（）A4B2C6D2二、填空题：6. （2019，山东淄博，4分）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角（0180）得到格点A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则 度7. （2019湖北十堰3分）如图，AB为半圆的
8、直径，且AB6，将半圆绕点A顺时针旋转60，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 8. （2019黑龙江哈尔滨3分）如图，将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，其中点A与A是对应点，点B与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若ACB45，AC3，BC2，则AB的长为三、解答题9. （2019四川省广安市8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33的正方形
9、方格画一种，例图除外）10. （2019浙江绍兴12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长11. 定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形(1)三等角四边形ABCD中，ABC，求A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形
10、纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH求证：四边形ABCD是三等角四边形；（1） 三等角四边形ABCD中，ABC，若CBCD4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长ABCDEFGH (2)抓住折叠这一词，根据对称性，就能构成等腰三角形，两底角相等，再利用邻补角关系，及平行四边形，得出平行线，得出同旁内角互补，可证明三个角相等，则四边形ABCD是三等角四边形；ABCDEFGH (3)这一题画图是第一步，画出的图形需ABC，且CBCD，其实不需要另起炉灶，如上图，我们可以在原图的础上，找到一个点，画AD的平行线，并且
11、使得CBCD，这样就可以理解了，画出图之后，我们可以发现，四边形ABCD在平行四边形内，相反的，四边形ABCD也可在在平行四边形外，并且可以猜测后面的图形AB最长，所以我们可以根据图形进行分类讨论，设ADx，ABy，易证DAEDCF，再利用相似比就可求出y与x的关系式，可求出最值，求出结果.【参考答案】【考点整理】：1.平移，形状和大小，平行；2.图形的旋转，旋转中心，全等，相等，旋转的角度；【题型解析】1.图形的平移【例题1】（2019湖南邵阳3分）一次函数y1k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2k2x+b2下列说法中错误的是（）A
12、k1k2 Bb1b2 Cb1b2D当x5时，y1y2【分析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断【解答】解：将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，直线l1直线l2，k1k2，直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，b1b2，当x5时，y1y2，故选：B【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系2. 图形的旋转【例题2】（2019广西北部湾8分）如图，在平面直角坐标系
13、中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）将ABC向上平移4个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1;（2）请画出ABC关于y轴对称的A2B2C2;（3）请写出A1、A2的坐标.【答案】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键3. 利用平移、旋转和轴对称作图
14、【例题3】（2019浙江宁波8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案【解答】解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形【点评】此题主要考查了中心
15、对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键4. 旋转的综合应用【例题4】(2019浙江丽水12分)如图，在等腰RtABC中，ACB90，AB，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF(1)如图1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O求证：BD2DO(2)已知点G为AF的中点如图2，若ADBD，CE2，求DG的长若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由【考点】三角形综合【分析】(1)如图1中，首先证明CDBDAD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题(2)作DTBC于点T，FHBC于
16、H证明DG是ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题分三种情形情形：如图31中，当DEG90时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H设ECx构建方程解决问题即可如图32中，当EDG90时，取AB的中点O，连接OG作EHAB于H构建方程解决问题即可如图33中，当DGE90时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可【解答】(1)证明：如图1，CACB，ACB90，BDAD，CDAB，CDADBD，CDCF，ADCF，ADCDCF90，ADCF，四边形ADFC是平行四边形，ODOC，BD2OD(2)解：如图2，作DTBC于点T，FHBC于H由题意：BDADCD7，B
17、CBD14，DTBC，BTTC7，EC2，TE5，DTEEHFDEF90，DET+TDE90，DET+FEH90，TDEFEH，EDEF，DTEEHF(AAS)，FHET5，DDBEDFE45，B，D，E，F四点共圆，DBF+DEF90，DBF90，DBE45，FBH45，BHF90，HBFHFB45，BHFH5，BF5，ADCABF90，DGBF，ADDB，AGGF，DGBF解：如图31中，当DEG90时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H设ECx AD6BD，BDAB2，DTBC，DBT45，DTBT2，DTEEHF，EHDT2，BHFH12x，FHAC，整理得：x212x
18、+280，解得x62如图32中，当EDG90时，取AB的中点O，连接OG作EHAB于H设ECx，由2可知BF(12x)，OGBF(12x)，EHDEDGDOG90，ODG+OGD90，ODG+EDH90，DGOHDE，EHDDOG，整理得：x236x+2680，解得x182或18+2(舍弃)，如图33中，当DGE90时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DTBC于T，FHBC于H，EKCG于K设ECxDBEDFE45，D，B，F，E四点共圆，DBF+DEF90，DEF90，DBF90，AOOB，AGGF，OGBF，AOGABF90，OGAB，OG垂直平分线段AB，CACB，O，G，C共线，由D
19、TEEHF，可得EHDTBT2，ETFH12x，BF(12x)，OGBF(12x)，CKEKx，GK7(12x)x，由OGDKEG，可得，解得x2综上所述，满足条件的EC的值为62或182或2【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题【同步检测】一、选择题：1. （2019浙江绍兴4分）在平面直角坐标系中，抛物线y（x+5）（x3）经变换后得到抛物线y（x+3）（x5），则这个变换可以是（）A向左平移2个单位B向右平移
20、2个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律【解答】解：y（x+5）（x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16）y（x+3）（x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16）所以将抛物线y（x+5）（x3）向右平移2个单位长度得到抛物线y（x+3）（x5），故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减2.【 2019甘肃省兰州市)如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（3，5），B（4，3），A1（3，3）.则点B1坐标为（ ）A
21、. （1，2） B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（3，5）到A1（3，3）得向右平移3（3）6个单位，向下平移532个单位.所以B（4，3）平移后B1（2，1）.故选B. 3. （2019浙江嘉兴3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）作菱形OABC关于y轴的对称图形OABC，再作图形OABC关于点O的中心对称图形OABC，则点C的对应点C的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（2，1）D（2，1）【分析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点
22、的特点即可得到点C的坐标，本题得以解决【解答】解：点C的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，1），点C的坐标的坐标为（2，1），故选：A【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4. （2019南京2分）如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：1次旋转；1次旋转和1次轴对称；2次旋转；2次轴对称其中所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC与ABC重合【解答】解：先将ABC绕着BC的中点旋转180，再将所得的三角形绕着BC的中点旋转180，即可得到ABC；先
23、将ABC沿着BC的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC；故选：D5. （2019，山东枣庄，3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置若四边形AECF的面积为20，DE2，则AE的长为（）A4B2C6D2【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案【解答】解：ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，ADDC2，DE2，RtADE中，AE2故选：D二、填空题：6. （2019，山东淄博，
24、4分）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角（0180）得到格点A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则90度【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即AEA190【解答】解：如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1ECC1，AA1的垂直平分线交于点E，点E是旋转中心，AEA190旋转角90故答案为：90【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键7. （2019湖北十堰3分）如图，AB为半圆的直径，且AB6，将半圆绕点A顺时针旋转60，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为
25、 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：6，故答案为：6【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8. （2019黑龙江哈尔滨3分）如图，将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，其中点A与A是对应点，点B与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若ACB45，AC3，BC2，则AB的长为【分析】由旋转的性质可得ACAC3，ACBACA45，可得ACB90，由勾股定理可求解【解答】解：将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，ACAC3，ACBACA45ACB90AB
26、故答案为【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键三、解答题9. （2019四川省广安市8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33的正方形方格画一种，例图除外）【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得【解答】解：如图所示【点评】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念10. （2019浙
27、江绍兴12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长【分析】（1）分两种情形分别求解即可显然MAD不能为直角当AMD为直角时，根据AM2AD2DM2，计算即可，当ADM90时，根据AM2AD2+DM2，计算即可（2）连接CD
28、首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2CD1即可【解答】解：（1）AMAD+DM40，或AMADDM20显然MAD不能为直角当AMD为直角时，AM2AD2DM2302102800，AM20或（20舍弃）当ADM90时，AM2AD2+DM2302+1021000，AM10或（10舍弃）综上所述，满足条件的AM的值为20或10（2）如图2中，连接CD由题意：D1AD290，AD1AD230，AD2D145，D1D230，AD2C135，CD2D190，CD130，BACA1AD290，BACCAD2D2AD1CAD2，BAD1CAD2，ABAC，AD2AD1，BAD2CAD1
29、（SAS），BD2CD130【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型11. 定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形(1)三等角四边形ABCD中，ABC，求A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH求证：四边形ABCD是三等角四边形；（2） 三等角四边形ABCD中，ABC，若CBCD4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长ABCDEFGH第23题【
30、逐步提示】(1)根据四边形内角和360，又ABC，判定1803A360，可求得结果 ；(2)抓住折叠这一词，根据对称性，就能构成等腰三角形，两底角相等，再利用邻补角关系，及平行四边形，得出平行线，得出同旁内角互补，可证明三个角相等，则四边形ABCD是三等角四边形；ABCDEFGH第23题 (3)这一题画图是第一步，画出的图形需ABC，且CBCD，其实不需要另起炉灶，如上图，我们可以在原图的础上，找到一个点，画AD的平行线，并且使得CBCD，这样就可以理解了，画出图之后，我们可以发现，四边形ABCD在平行四边形内，相反的，四边形ABCD也可在在平行四边形外，并且可以猜测后面的图形AB最长，所以我
31、们可以根据图形进行分类讨论，设ADx，ABy，易证DAEDCF，再利用相似比就可求出y与x的关系式，可求出最值，求出结果.【解析】(1)1803A360，60A120.(2) 四边形DEBF是平行四边形，EF, E+B180.由折叠，得EDAE, FDCF,DAEDCF,DAB+DAE180,DABB,DABDCBB，四边形ABCD是三等角四边形.(3)当60A90时，如图1所示，过点D作DF/AB交BC于点F，作DE/BC交AB于点E.四边形BEDF是平行四边形，DFCBDEA ，EBDF ，DEFB.ABC, DFCBDEA，ADEACDFC，DAEDCF，又ADDE，DCDF4，设ADx
32、，ABy，则AEy4，CF4x，由DAEDCF，得，. ，当x2时，y的最大值等于5.即当AD2时，AB的长最大，最大值是5. 图1当A90时，三等角四边形ABCD是正方形，则ADABCD4.当90A0, AB4.综上所述，当AD2时，AB的长最大，最大值是5.此时，AE1,如图3，过点C作CMAB于点M，过点D作DNAB于点N.DADE， DNAB.DANCBM ，DNACMB90，DANCBM.BM1，AM4，CM.图2【解后反思】第(1)(2)小题，可以轻松解决，而第(3)小题，根据题意构造出新的图形是难点，可以按照上述“逐步提示”说的去画，其实从第(2)题就可明白可以先画出平行四边形，再利用对称性就可以构造出图形了，这一题最关键的是构图能力.
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