1、第 1 页，共 17 页相似三角形的判定测试时间：100 分钟 总分： 100题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 如图，在 中，点 P 在边 AB 上，则在下列四个条件中： ； ；= =； ，能满足2=与 相似的条件是 ( )A. B. C. D. 2. 下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶44点都在格点上，则在网格图中的三角形与 相似的是 ( )A. B. C. D. 3. 如图所示，每个小正方形的边长均为 1，则下列 A、B、C、D 四个图中的三角形阴影部分 与 相似的是 (
2、) ( )A. B. C. D. 4. 如图，在 中， ， ，点 D 在 AC 上，且=8 =6，如果要在 AB 上找一点 E，使 与 相=2 似，则 AE 的长为 ( )A. B. C. 3 D. 或83 32 83 325. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 ，将 绕点 A 顺时针旋转 ，使点=45 90E 落在点 处，则下列判断不正确的是 ( )第 2 页，共 17 页A. 是等腰直角三角形 B. AF 垂直平分'C. D. 是等腰三角形' '6. 如图，在 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，
3、下列条件中不能判断 的是 ( )A. =B. =C. =D. =7. 如图，点 D，E 分别在 的 AB，AC 边上，增加下列条件中的一个： ， ， ，= = =， ，使 与 一定相似的=2= 有 ( )A. B. C. D. 8. 如图，在钝角三角形 ABC 中， ，=6，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点 E=12从 C 点出发到 A 点止 点 D 运动的速度为 秒，. 1/点 E 运动的速度为 秒 如果两点同时运动，那2/ .么当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 ( )A. 4 或 B. 3 或 C. 2 或 4
4、D. 1 或 64.8 4.89. 如图，在 中， ， ， ，将=78 =4 =6沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )A. B. C. D. 10. 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，且 于点 F，则下列结论中错误的是 ( )A. =12B. =C. 图中与 相似的三角形共有 4 个第 3 页，共 17 页D. =22二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）11. 如图，已知 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点， ， ，当 AP 的长度为_ 时，=12=8 =6和 相似12. 如图，在 中，
5、、E 分别为边 AB、AC 上的.点 ， ，点 F 为 BC 边上一点，添加一个.=3=3条件：_，可以使得 与 相似 只需写出.(一个 )13. 在 中， ， ，点 D 在边 AB 上，且 ，点 E 在边 AC 上，=6 =5 =2当 _时，以 A、D、E 为顶点的三角形与 相似= 14. 如图， ， ， ， ， ，点 p 在 BD 上=6=4=14移动，当 _ 时， 和 相似= 15. 如图，在 中，点 E，F 分别在 AB，AC 上，若 ，则需要增加的一个条件是 _ 写出 (一个即可 )16. 如图， 中，D、E 分别是 AB、AC 边上一点，连接请你添加一个条件，使 ，则你
6、添加的这. 一个条件可以是_ 写出一个即可 ( )17. 如图所示， 中，E，F 分别是边 AB，AC 上的点，且满足 ，则 与=12 的面积比是_ 18. 已知在 中， ， ，E 是边 AB 上一点，且 ，若 F 是 AC 边=3 =2 =1上的点，且以 A、E、F 为顶点的三角形与 相似，则 AF 的长为_第 4 页，共 17 页19. 如图，在 中， ， ， ，点 M 在 AB=9 =6 =12边上，且 ，过点 M 作直线 MN 与 AC 边交于点 N，使=3截得的三角形与原三角形相似，则 _ =20. 如图，在正方形网格上有 6 个三角形：， ， ， ， ， 在 中，与 相
7、似的三角形的个数是_ 三、计算题（本大题共 4 小题，共 24.0 分）21. 如图示，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF的斜边 EF 上，EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF求证： ； 求证： 22. 如图，在 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点， ，AD ： ：3， 的角平分=4 =6 =2 线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F请你直接写出图中所有的相似三角形；(1)求 AG 与 GF 的比(2)第 5 页，共 17 页23. 如图，已知 ， ，垂足分别为B、D，AD 与 BC 相交于点 E， ，垂足为F，试
8、回答图中， _ ， _ ， _ 24. 在图中， 的内部任取一点 O，连接 AO、BO、 CO，并在 AO、BO、CO 这三条线段的延长线上分别取点 D、E、F，使 ，画出 你认为=12 .与 相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？四、解答题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）25. 如图所示， ， ， ，点 P=90 =8=6从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以 的速度移动，点2/Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 的速度移动，如1/果 P、Q 分别从 B、C 同时出发，过多少时，以C、P、Q 为顶点的三角形恰与 相似？26. 如图
9、，四边形 ABCD 中，AC 平分 ， ， ，E 为 AB2=90的中点求证： ；(1) 与 AD 有怎样的位置关系？试说明理由；(2)若 ， ，求 的值(3)=4 =6第 6 页，共 17 页第 7 页，共 17 页答案和解析【答案】1. D 2. B 3. B 4. D 5. D 6. A 7. A8. B 9. C 10. C11. 4 或 9 12. ，或 / =13. 或 125 5314. 或 12cm 或 2cm 8.415. /16. =17. 1：9 18. 或 23 3
10、219. 4 或 6 20. 3 21. 证明： 正方形 ABCD，等腰直角三角形 EDF， ， ，=90 =，+=+，=在 和 中，= ；延长 BA 到 M，交 ED 于点 M， ，即 ，=+=+，=90，=，=，=，= 22. 解： ， ， ；(1)， ，(2)=46=23 =23，=又 ，= ，=为角平分线，= ，第 8 页，共 17 页，=23 =223. DAB；BCD；DCE 24. 解：相似 如图，.， ，= ，=12同理 ，=12 ，它们也具有位似形的特征 25. 解：设经过 y 秒后， ，此时 ， =2
11、=， ， ， =82 =8 = =6 ，=828 =6=2.4设经过 y 秒后， ，此时 ， =2 =82 ，=826 =8=3211所以，经过 秒或者经过 后两个三角形都相似 2.4321126. 解： 平分 ，(1) ，=又 ，2=： ：AB，= ；，(2)/理由： ，=90又 为 AB 的中点，=12=，=，=，=；/， ， ，(3)=4 =6 =12=3第 9 页，共 17 页，/， ，= ，=34 =74【解析】1. 解：当 ， ，= =所以 ；当 ， ，=所以 ；当 ，2=即 AC： ：AC， = =所以 ；当 ，即 PC： ：AB，= =而
12、，=所以不能判断 和 相似故选 D根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似2. 解：根据勾股定理， ， ，=22+22=22 =2所以，夹直角的两边的比为 ，222=2观各选项，只有 B 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故选：B可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法
13、，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键3. 解： 小正方形的边长为 1，在 中， ， ， ， =2 =2 =1+32=10A 中，一边 ，一边 ，一边 ，三边与 中的三边不能对应成=3 =2 =1+22=5 比例，故两三角形不相似 故 A 错误；.B 中，一边 ，一边 ，一边 ，=1 =2 =22+1=5有 ，即三边与 中的三边对应成比例，故两三角形相似 故 B 正确；21=22=105 .C 中，一边 ，一边 ，一边 ，三边与 中的三边不能对应成比例，=1 =5 =22 故两三角形不相似 故 C 错误；.D 中，一边 ，一边 ，一边 ，三边与 中的三边不能对应=2 =5 =32+
14、22=13 成比例，故两三角形不相似 故 D 错误.第 10 页，共 17 页故选：B根据相似三角形的判定，易得出 的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可本题考查了相似三角形的判定 识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确.找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比 本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比.例时常用的方法4. 解： 是公共角，当 ，即 时， ，= 8=26 解得： ；=83当 ，即 时， ，= 6=28 解得： ，=32的长为： 或 83 32故选 D由 是公
15、共角，分别从当 ，即 时， 与当 ，即= 8=26 =时， ，去分析求解即可求得答案6=28 此题考查了相似三角形的判定 注意分类讨论思想的应用.5. 解： 将 绕点 A 顺时针旋转 ，使点 E 落在点 处， 90， ，'='=90是等腰直角三角形，故 A 正确；'将 绕点 A 顺时针旋转 ，使点 E 落在点 处， 90，'=四边形 ABCD 是正方形，=90，=45，+=45，'+=45，'=，'=垂直平分 ，故 B 正确；， ，' =90，'+=+，'= ，故 C 正确；'，但 不一定等于 ，'
16、 ' '不一定是等腰三角形，故 D 错误；'故选 D由旋转的性质得到 ， ，于是得到 是等腰直角三角形，故'='=90 '第 11 页，共 17 页A 正确；由旋转的性质得到 ，由正方形的性质得到 ，推出'= =90，于是得到 AF 垂直平分 ，故 B 正确；根据余角的性质得到'=，于是得到 ，故 C 正确；由于 ，但 不一'= ' ' '定等于 ，于是得到 不一定是等腰三角形，故 D 错误' '本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分
17、线的判定，正确的识别图形是解题的关键6. 解： ，=当 或 时， ； = = 当 即 时， = 故选：A根据相似三角形的判定定理进行判定即可本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似7. 解： ， ，= = ， 正确；， ，= = ， 正确；， ，= ， 正确；由 ，或 不能证明 与 相似= 2= 故选：A由两角相等的两个三角形相似得出 正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出 正确；即可得出结果本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；(1)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(2)三边对应
18、成比例的两个三角形相似；(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边(4)对应成比例，那么这两个直角三角形相似8. 解：根据题意得：设当以点 A、D 、E 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 x 秒，若 ，则 AD： ：AC ， =即 x： ：12，6=(122)解得： ；=3若 ，则 AD： ：AB， =即 x： ：6，12=(122)解得： ；=4.8所以当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 3 秒或 秒 4.8故选 B根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式， 和 ，可求运动的时间是 3 秒或 秒 4.8此题考查了相似三角
19、形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题第 12 页，共 17 页9. 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键10. 解：A、 ，/ ，=，=12=12，故 A 正确，不符合题意；=12B、过 D 作
20、 交 AC 于 N，/， ，/四边形 BMDE 是平行四边形，=12，=，=于点 F， ， /，=，故 B 正确，不符合题意；=C、图中与 相似的三角形有 ， ， ， ， 共有 5 个，故 C 错误D、设 ， 由 ，有 = = =2，故 D 正确，不符合题意=22故选 C由 ，又 ，所以 ，故 A 正确，不符合题意；=12=12 / =12过 D 作 交 AC 于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 ，/ =12得到 ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B 正确，不符合题意；=根据相似三角形的判定即可求解，故 C 正确，不符合题意；由 ，得到 CD 与 AD 的大小关系，根据正
21、切函数可求 的值， 故 D 错误，符合题意本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键11. 解：当 时，=第 13 页，共 17 页，12=68解得： ，=9当 时，=，612=8解得： ，=4当 AP 的长度为 4 或 9 时， 和 相似 故答案为：4 或 9分别根据当 时，当 时，求出 AP 的长即可 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键12. 解： ，或 / =理由： ， ，=13 ，当 时， ，/ 当 时， ，= = 故答案为 ，或 / =结论： ，或 根据相似三角形的判定方法一一证明即可/ =.本题
22、考查相似三角形的判定和性质 平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学.知识解决问题，属于中考常考题型13. 解：当 时，=，= ，此时 ；=625=125当 时，=，= ，此时 ；=526=53故答案为： 或 125 53若 A，D，E 为顶点的三角形与 相似时，则 或 ，分情况进行讨论后=即可求出 AE 的长度本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论14. 解：由 ， ， ，=6=4=14设 ，则 ，=(14)若 ，第 14 页，共 17 页则 ，= 614即 ，614=4变形得： ，即 ，142=24 214+24=0因式分解得： ，(2
23、)(12)=0解得： ， ，1=2 2=12所以 或 12cm 时， ；=2 若 ，则 ，=即 ，解得： ，64= 14 =8.4，=8.4综上， 或 12cm 或 时， =2 8.4 故答案为： 或 12cm 或 2cm8.4设出 ，由 表示出 PD 的长，若 ，根据相似三角= 形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值，即为 PB 的长此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边
24、对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件15. 解：当 时， / 故答案为 /利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似16. 解： ，=当 时， = 故答案为 =利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似17. 解：，=12，=13又 ，= ，与 的面积比 ：9， =1故答案为：
25、1：9由已知条件易证 ，根据相似三角形的性质即可求出 与 的 面积比第 15 页，共 17 页本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键18. 解： ，=以 A、E、F 为顶点的三角形与 相似，有 和 两 种情况：如图 1：当 时， 时，即 ，解得： ；= 13=2 =23如图 2：当 时， 时，即 ，解得： = 12=3 =32所以 或 =23 32故答案为 或 23 32根据相似三角形的相似比求 AF，注意分情况考虑本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，分情况讨论是解决本题的关键19. 解：如图 1，当 时，/则
26、，故 ，=则 ，39=12解得： ，=4如图 2 所示：当 时，=第 16 页，共 17 页又 ，= ，=即 ，36=12解得： ，=6故答案为：4 或 6分别利用当 时以及当 时，得出相似三角形，再利用相似三角形的/ =性质得出答案此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键20. 解： ， ， ， ， ， ，=1 =2 =12+22=5 =1 =22 =2， ， ， ， ， ，=5 =25 =2 =2 =12+32=10=5， ， ，=51 =12 =225与 不相似；， ， ，=21 =222=2 =255=2 ；， ， ，=51 =102=5 =55=5 ；， ， ，=
27、21 =22=2 =105=2 ；， ， ，=2 =52=102 =35=355与 不相似故答案为 3先利用勾股定理计算出 ， ， ， ，=5 =22 =5 =25， ，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断=2 =10， ， ， ， 与 是否相似本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似 也考查了勾股.定理21. 由正方形 ABCD 与等腰直角三角形 DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用 SAS 即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到 ，再由对顶 =角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似
28、三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键第 17 页，共 17 页22. 可得到三组三角形相似；(1)先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明(2) ，则 ，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明= ，然后利用相似比和比例的性质求 的值本题考查了相似三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似23. 解： ， ，+=180，/，/， ，= ；， ，= ；， ，= ，故答案为：DAB；BCD；DCE由 AB 垂直于 BD，CD 垂直于 BD，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到 AB 与
29、CD 平行，同理 EF 与 AB 平行，且与 CD 平行，根据 EF 与 AB 平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，确定出三角形 DEF 与三角形 DAB 相似；同理得到三角形 BEF 与三角形 BCD 相似；由两直线平行得到两对内错角相等，得到三角形 ABE 与三角形 DEC 相似此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键24. 由 ，可得 ，再由相似得出对应边成比例，即可得=12 出 与 相似，由于它们有位似中心点 O，所以它们也具有位似形的特征本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的问题，应熟练掌握位似与相似之间的联系及区别25. 设经过 y 秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况： 与 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型26. 根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；(1)根据 ， ，即可得出 ，进而得到 ；(2) = = /先根据 ， ，判定 ，即可得出 ，(3) = =34进而得到 =74本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合
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