1、【类型综述】特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题，其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。【方法揭秘】我们先思考三个问题：1已知 A、B 、C 三点，以 A、B、C、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形 ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形
2、ABCD 的对角线互相平分？图 1 图 2 图 3如图 1，过ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点 D如图 2，已知 A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1) ，如果四边形 ABCD 是平行四边形，怎样求点 D 的坐标呢？点 B 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A 重合，因为 BA 与 CD 平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 D(5, 4)如图 3，如果平行四边形 ABCD 的对角线交于点 G，那么过点 G 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点 A、 C 到这条直线的距离相等，点 B、D
3、 到这条直线的距离相等关系式 xAx Cx Bx D和 yA yCy By D有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图 4，点 A 是抛物线 yx 22x3 在 x 轴上方的一个动点， ABx 轴于点 B，线段 AB 交直线yx1 于点 C，那么点 A 的坐标可以表示为(x,x 22x3)，点 C 的坐标可以表示为(x, x 1)，线段 AB 的长可以用点 A 的纵坐标表示为ABy Ax 2 2x3，线段 AC 的长可以用 A、C 两点的纵坐标 图 4表示为 ACy Ay C(x 2 2x3) (x1)x 2x2 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点
4、的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离【典例分析】例 1 如图 1，直线 y3x 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 ya(x2) 2k 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1 ）求 a，k 的值；（2 ）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；（3 ）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A、C、M 、N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 】图 1 例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C (3, 0)、D(3, 4)以 A 为顶点的抛物线 y
5、 ax2bx c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 1例 3 如图 1，抛物线经过
6、A(1, 0)、B(5, 0)、C 三点设点 E(x, y)是抛物线上一动点，且在 x 轴下方，0(,)3四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）当点 E(x, y)运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值；（3 ）是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形？若存在，求点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由例 4 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax 3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y
7、轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图 1 备用图例 5 如图 1，已知抛物线 C：yx 2bx c 经过 A(3,0) 和 B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C
8、 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线 C 平移到抛物线 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N如果以点 M、N 、M 、N 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？图 1例 6 如图 1，已知抛物线 yx 2bx c 经过 A(0, 1)、B(4, 3) 两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 例 7 将抛物线 c1
9、： 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示23y（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式；（2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A、N、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 1【变式训练】1.（2017 四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发
10、现，对于平面直角坐标系内任意两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，可通过构造直角三角形利用图 1 得到结论：他还利用图 2 证明了线段 P1P2 的中点 P（x，y）P 的坐标公式： ，2 1 12x1y（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）已知点 M（2， 1） ，N（3，5） ，则线段 MN 长度为 ；直接写出以点 A（2，2） ，B（2，0） ，C （3，1） ，D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标： ；拓展：（3）如图 3，点 P（2，n）在函数 （x0）的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在43yOL、x 轴上分别找出点 E、F，
11、使PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值2.（2017 湖北省襄阳市）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（10，0） ，抛物线过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB 上的动点，设24yaxbCP=t（0t10） （1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交 BQ 于点 N，当四边形PMQN 为正方形时，请求出 t 的
12、值3.（2017 山东省枣庄市）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点21yxbcB 坐标为（6，0） ，点 C 坐标为（ 0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标4. (2017 湖北恩施第 24 题)如图 12，已知抛物线
13、过点 ， ，过定点 的直线2yaxc=+(),2-4,5()0,2F与抛物线交于 ， 两点，点 在点 的右侧，过点 作 轴的垂线，垂足为 .:2lykx=+ABABxC(1)求抛物线的解析式；(2)当点 在抛物线上运动时，判断线段 与 的数量关系 ( 、 、 )，并证明你的判断；BFBC=(3) 为 轴上一点，以 为顶点的四边形是菱形，设点 ，求自然数 的值；Py,BCP0,Pm(4)若 ，在直线 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 的面积最大，若存在，求出点 的坐标1k=l QBF Q及 的最大面积，若不存在，请说明理由.QBF5.（2017 山东临沂第 26 题）如图，抛物线 经过点 ，与
14、轴负半轴交于点 ，23yaxb2,3AxB与 轴交于点 ，且 .yC3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点 在 轴上，且 ，求点 的坐标；DDACD（3）点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是MNABMN平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.M6.（2017 湖北省襄阳市）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（10，0） ，抛物线过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB 上的动点，设24yaxbCP=t（0t10） （1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛
15、物线的解析式；（2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交 BQ 于点 N，当四边形PMQN 为正方形时，请求出 t 的值7.（2017 郴州第 25 题） 如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，且285yaxcx,AByC，直线 与 轴交于 点，点 是抛物线 上的一动点，(2,0),4)AC1:42lyxDP285yaxc过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .PExElF（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1） ，若点 在第三象限
16、，四边形 是平行四边形，求 点的坐标；PPCOFP（3）如图（2） ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ，HxA求证： 是直角三角形；ACD试问当 点横坐标为何值时，使得以点 为顶点的三角形与 相似？,HCD8.（2017 青海西宁第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 分别在 轴， 轴的OAB,xy正半轴上，且 .若抛物线经过 两点，且顶点在 边上，对称轴交 于点 ，点4,3OAC,ACBEF的坐标分别为 .,DE0,1（1）求抛物线的解析式；（2）猜想 的形状并加以证明；EDB（3）点 在对称轴右侧的抛物线上，点 在 轴上，请问是否存在以点 为顶点的四边形是MNx,AFMN平行四
17、边形？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.M9.（2017 湖北咸宁第 24 题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，cbxy21BA、 yC其对称轴交抛物线于点 ，交 轴于点 ，已知 .DxE6OCB求抛物线的解析式及点 的坐标；D连接 为抛物线上一动点，当 时，求点 的坐标；FB, EDBFAF平行于 轴的直线交抛物线于 两点，以线段 为对角线作菱形 ，当点 在 轴上，且xNM,NMPNQx时，求菱形对角线 的长.MNPQ2110. (2017 山东菏泽第 24 题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 12bxay交 y轴于点 A，交 x轴正半轴于点 0,4(B，与过 A点的直线相交于另一点 )25,3(D，过点 作 DC轴，垂足为 .（1）求抛物线的表达式；（2）点 P在线段 OC上（不与点 、 C重合） ，过 P作 xN轴，交直线 AD于 M，交抛物线于点 N，连接 M，求 面积的最大值；（3）若 是 x轴正半轴上的一动点，设 O的长为，是否存在，使以点 C、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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