1、【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 几何中关于圆的综合题大致可分为： （1）以几何知识为主体的综合题； （2）代数、几何知识相结合的综合题； （3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，
2、不确定的要素要用含有 x 的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 dR 列方程如图 1，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，圆 O 的半径为 1，点 C 在 y 轴的正半轴上，43y如果圆 C 既与直线 AB 相切，又与圆 O 相切，求点 C 的坐标“既，又”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个假设圆 C 与直线 AB 相切于点 D，设 CD3m ，BD 4m，BC5m，那么点 C 的坐标为(0,45m)罗列三要素：对于圆 O，r1；对于圆 C，R3m；圆心距 OC45m分类列方程：两圆外切时，45m 3m 1；两圆内切时， 45m3m1把这个问题再拓展一下，如果点
3、 C 在 y 轴上，那么还要考虑点 C 在 y 轴负半轴相同的是，对于圆 O，r1；对于圆 C，R3m；不同的是，圆心距 OC5m4图 1【典例分析】例 1 如图 1，直线 AB 与 x 轴交于点 A(4, 0)，与 y 轴交于点 B(0, 3)点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动同时将直线 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移，交34xOA 于点 C，交 OB 于点 D，设运动时间为 t（0t5）秒（1）证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形；（2）当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？请指出此时以点 D 为圆心、OD 长为
4、半径的圆与直线 AB的位置关系并说明理由图 1 思路点拨1用含 t 的式子把线段 OD、 OC、CD、AP 、AC 的长都可以表示出来2两条直线的斜率相等，这两条直线平行3判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小满分解答（2）如图 3，如果四边形 ACDP 为菱形，那么 ACAP所以 40.8tt解得 t 209此时 OD0.6t 所以 BD 3435作 DEAB 于 E在 Rt BDE 中，sinB ，BD ，所以 DEBD sinB 5343因此 ODDE ，即圆心 D 到直线 AB 的距离等于圆 D 的半径所以此时圆 D 与直线 AB 相切于点 E（如图 4） 图 2
5、 图 3考点伸展在本题情境下，点 P 运动到什么位置时，平行四边形 ACDP 的面积最大？S 平行四边形 ACDPACDO 43()5t21+5t215()3t当 时，平行四边形 ACDP 的面积最大，最大值为 352t此时点 P 是 AB 的中点（如图 5） 图 4 图 5例 2 如图 1，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ QB 1，动点 A 在圆 O 的上半圆上运动（包含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（如图 1） ；（2）设AOB ，当线段 AB 与圆 O 只有一个
6、公共点（即 A 点）时，求 的范围（如图 2，直接写 出答案） ；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长（如图 3） 图 1 图 2 图 3思路点拨1过点 B 画圆 O 的切线，可以帮助理解第（ 1） 、 （2）题的题意2第（3）题发现 AO/MQ 很重要，进一步发现 NO、MQ 是中位线就可以计算了满分解答此时等边三角形 ABC 的高为 ，所以 SABC 3sin60234图 4 图 5 图 6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图 7，过点 B 画圆 O 的切线，切点为 G如图 8，弧 上的每一个点（包括点 G、Q ）都是符合题
7、意的点 A，即线段 AB 与圆 O 只有一个公共:GQ点（即 A 点） 如图 9，弧 上的每一个点 A（不包括点 Q）与点 B 连成的线段 AB，与圆 O 都有两个交点 A、M P图 7 图 8 图 9例 3 在 RtABC 中，C90，AC6， ，B 的半径长为 1，B 交边 CB 于点 P，点 O53sin是边 AB 上的动点（1）如图 1，将B 绕点 P 旋转 180得到M，请判断M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长； （3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的N 和以 OA 为半径的O 外切，
8、设NBy，OA x，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域图 1 图 2 图 3思路点拨1B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求 y 关于 x 的函数关系式，作OBN 的边 OB 上的高，把 OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答（1）在 RtABC 中，AC6， ，53sinB所以 AB10，BC8过点 M 作 MDAB，垂足为 D在 Rt BMD 中，BM 2， ，所以 3sin5MB65D因此 MDMP，M 与直线 AB 相离 图 4（2）如图 4，MOMD MP，因此不存在 M
9、OMP 的情况如图 5，当 PMPO 时，又因为 PBPO，因此BOM 是直角三角形在 Rt BOM 中，BM 2， ，所以 此时 4cos5BOM85425OA如图 6，当 OMOP 时，设底边 MP 对应的高为 OE在 Rt BOE 中，BE ， ，所以 此时 32csE1868图 5 图 6图 7 图 8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图 8，在 Rt BMF 中，BM2， ， 65MF8B在 Rt OMF 中，OF ，所以 8410x2246()(5Ox在 Rt BPQ 中，BP 1， ， 35PQ在 Rt OPQ 中，OF ，所以 460x22463()(5Px当 MOMP1 时
10、，方程 没有实数根2()(15当 POPM1 时，解方程 ，可得2463x425xOA当 OMOP 时，解方程 ，可得 2()(52)(568例 4 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC4，cosA ，点 P 是边 AB 上的动点，以 PA 为半14径作P （1）若P 与 AC 边的另一个交点为 D，设 APx ，PCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，求 AP 的长；（3）若C 的半径等于 1，且 P 与C 的公共弦长为 ，求 AP 的长2图 1 备用图思路点拨1PCD 的底边 CD 上的
11、高，就是弦 AD 对应的弦心距2若P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等3C 的半径等于 1，公共弦 MN ，那么CMN 是等腰直角三角形在四边形 CMPN 中，利用2勾股定理列关于 x（P 的半径）的方程满分解答（1）如图 2，在 RtABC 中， AC4，cosA ，所以 AB16，BC 1415设弦 AD 对应的弦心距为 PE，那么 AE AP x，PE AP x5所以 yS PCD 12CDPE15(4)2x216定义域是 0x8（2）若P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距 PFPE因此四边形 AEPF 是正方形（如图 3） ，
12、设正方形的边长为 m由 SABC S ACP S BCP ，得 ACBCm (ACBC )所以 m 415+3027此时 AE ，AP4AE 302154728157图 2 图 3图 4 图 5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于 PF BP ，由 PEPF，得 解得14(6)x1(6)4x8157x例 5 如图 1，抛物线 yax 2bx c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2)(,)6a（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设
13、P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N (x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标图 1思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值2等腰三角形 AMN 存在三种情况，其中 MAMN 和 NANM 两种情况时，点 P 的纵坐标是相等的满分解答所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交图 2 图 3如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM2 此时 xOH 2 所以点 P 的纵坐标为 3 21(3)(1)43x如图 5，当 NANM 时，点 P 的纵坐标为也为 4图 4 图 5考点伸展如果点
14、P 在抛物线 上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点 P 运动的过程214yx中，P 始终与直线 y1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 2(,)x已知 B(0, 1)，所以 22211()()144Bxxx而圆心 P 到直线 y1 的距离也为 ，所以半径 PB圆心 P 到直线 y1 的距离所以在点P 运动的过程中，P 始终与直线 y1 相切【变式训练】1.(2017 北京第 29 题)在平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在xOyPMM一点 ，使得 两点间的距离小于或等于 1，则称 为图形 的关联点QP、（1）当 的半径为 2 时，O:
15、在点 中， 的关联点是_1235,0,0O:点 在直线 上，若 为 的关联点，求点 的横坐标的取值范围PyxPP（2） 的圆心在 轴上，半径为 2，直线 与 轴、 轴交于点 若线段 上的所有C: 1yxyAB、点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围C【答案】 （1） ， x 或 x ， （2）2x1 或 2x223,P23本题解析： （1） ,1235,0,OPP点 与的最小距离为 ，点 与的最小距离为 1，点 与的最小距离为 ，2 3P12的关联点为 和 23（2）y=-x+1 与轴、轴的交点分别为 A、B 两点， 令 y=0 得，-x+1=0,解得 x=1，令得 x=0 得，y
16、=0， A(1,0) ,B (0,1) , 分析得：如图 1，当圆过点 A 时，此时 CA=3, 点 C 坐标为，C ( -2,0) 如图 2，当圆与小圆相切时，切点为 D，CD=1 ,如图 4,当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3,在 Rt OCB 中，由勾股定理得 OC= , C 点坐标为 (2 ,0)2312考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.2. （2017 广东广州第 25 题）如图 14， 是 的直径， ，连接 ABO:,2ACBAC（1）求证： ；045CAB（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 所在的直线与 所在lO:lD,BAAC的直线相交
17、于点 ，连接 ED试探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；A 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由BCD【答案】 （1）详见解析；（2） AE2BCD（2）如图所示，作 于 FBl由（1）可得， 为等腰直角三角形.AC是 的中点. 为等腰直角三角形.OOABAC又 是 的切线， l:ll四边形 为矩形 BE22FDBF303075DFABA，159157CE，,AEE当 为钝角时，如图所示，同样， ABD1,302BFDC8151509052ECEA， ，E考点：圆的相关知识的综合运用3. (2017 湖南湘潭第 26 题)如图，动点 M在以 O为圆心， AB为直径的半圆弧
18、上运动（点 M不与点AB、及 :的中点 F重合），连接 .过点 作 E于点 ，以 E为边在半圆同侧作正方形CDE，过 M点作 O的切线交射线 DC于点 N，连接 、 N.（1）探究：如左图，当 动点在 :A上运动时；判断 N:是否成立？请说明理由； 设 Ek， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设 MB， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点 在 :FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)成立，理由见解析；为定值 1； 为定值 45；（2）不发生变化.试题解析：
19、（1）成立，理由如下：过点 M 作 MEAB 于点 E，以 BE 为边在半圆同侧作正方形 BCDE，MEO=MDN=90，MOE+EMO=90过 M 点的 O:的切线交射线 DC 于点 N，OMN=90，DMN+EMO=90MOE=DMNOEMMDNk 是定值 1，理由如下：过点 B 作 BGMN,过 M 点的 O:的切线交射线 DC 于点 N，OMN=90，BGMN,BGM=90， 为定值 45，理由如下：由知：OBM=MBG, BNGBCN,GBN=CBN,正方形 BCDE，EBC=90，MBN= 01452EBC(2)不发生变化.4. （2017 湖南株洲第 26 题）已知二次函数 y=
20、x2+bx+c+1，当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，与 y 轴的正半轴交于点M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 ，求二次函数的表达式3DEF【答案】.二次函数的对称轴的方程为 x= ； .b 为 2+ 或 2 时，二次函数的图象12与 x 轴相切；. 二次函数的表达式为 y=x2+ x+13出OAM OMB，得出 OM2=O
21、AOB，由二次函数的图象与 x 轴的交点和根与系数关系得出 OA=x1，OB=x 2，x 1+x2，=b，x 1x2=（c +1） ，得出方程（c+1） 2=c+1，得出 c=0，OM=1，证明BDE BOM，AOMADF ，得出 ， ，得出 OB=4OA，即DEBOMOAFDx2=4x1，由 x1x2=（c +1）= 1，得出方程组 ，解方程组求出 b 的值即可124x试题解析：二次函数 y=x2+bx+c+1 的对称轴为 x= ，当 b=1 时， = ，b21当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程为 x= 12AB 是半圆的直径， AMB=90，OAM +OBM=90，AOM=MOB
22、=90 ，OAM +OMA=90， OMA=OBM ，OAM OMB， ，OM 2=OAOB，OMAB二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，OA= x1，OB=x 2，x 1+x2，=b，x 1x2=（c +1） ，OM=c+1，（c+1） 2=c+1，解得：c=0 或 c=1（舍去） ，c=0，OM=1，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F ，且满足 ，13DEFAD=BD，DF=4DE，DFOM，BDEBOM，AOMADF， ，DE= ，DF= ， 4，OB=4OA，即 x2=4x1，,DEBOMAFDBOAD
23、BOx 1x2=（c +1）=1， ，解得： ，b= +2= ，124x12x123二次函数的表达式为 y=x2+ x+13考点：二次函数综合题；二次函数的性质5 （2017 哈尔滨第 26 题）已知： 是 的弦，点 是 的中点，连接 、 ， 交 于点ABOC:ABOBCAB.D(1)如图 1，求证： ；AD=(2)如图 2，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，点 是 上一点，连接 、 ，求证：BOCMP:ACAPB.90APM- (3)如图 3，在(2)的条件下，连接 、 ，延长 交 于点 ，若 ， ，求DPOQ6MD=3sin5O=的值.Q【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
24、） .518PMQ试题解析：（1）如图 1，连接 OA，C 是 的中点， ，AOC=BOC，OA=OB，ODAB，AD=BD；:AB:CB（2）如图 2，延长 BO 交O 于点 T，连接 PTBT 是O 的直径，BPT=90，APT=APBBPT=APB90，BM 是O 的切线，OBBM，又OBA+MBA=90，ABO=OMB，又ABO=APT，APB90=OMB，APBOMB=90；考点：圆的综合题6. （2017 年贵州省黔东南州第 24 题）如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y= x+4 与 x 轴交于点
25、B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D（2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线 l 是M 的切线；（3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）y= x2 x+ （2）证明见解析（3） 941650412试题解析：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x2）（x+4），将点 M 的坐标代入得：9a=2，解得：a=29抛物线的解析式为 y= x2 x+ 9416（2）连接
26、 AM，过点 M 作 MGAD，垂足为 G把 x=0 代入 y= x+4 得：y=4，12MAG=ABOOAB+ABO=90，MAG+OAB=90，即MAB=90l 是M 的切线（3）PFE+FPE=90，FBD+PFE=90，FPE=FBDtanFPE= 12PF：PE：EF= ：2：15PEF 的面积= PEEF= PF PF= PF251考点：二次函数综合题7. （2017 年四川省内江市第 27 题）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点N，连接 AC，点 E 在 AB 上，且 AE=CE（1）求证：AC 2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC
27、 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值【答案】 （1）证明见解析；（2）PB=PE；（3） 4213【解析】试题分析：（1）证明AECACB ，列比例式可得结论；（2）如图 2，证明PEB=COB=PBN ，根据等角对等边可得： PB=PE；（3）如图 3，先确定线段 PQ 的最小值时 Q 的位置：因为 OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小，先求 AE 的长，从而得 PB 的长，最后利用勾股定理求 OP的长，与半
28、径的差就是 PQ 的最小值试题解析：（1）如图 1，连接 BC，CD 为O 的直径，ABCD， ，A=ABC，EC =AE，A=ACE，ABC =ACE，A=A，:BCAECACB ， ，AC 2=AEAB；E（3）如图 3，N 为 OC 的中点， ON= OC= OB，RtOBN 中，OBN=30，COB=60，12OC=OB，OCB 为等边三角形， Q 为O 任意一点，连接 PQ、OQ，因为 OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时， PQ 最小，当 P、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，Q 为 OP 与O 的交点时，PQ最小，A= COB=30，PEB=2A=60，ABP=9
29、030=60，PBE 是等边三角形，12RtOBN 中， BN= = ，AB=2BN = ，设 AE=x，则 CE=x，EN= x，RtCNE 中，2434323，x= ，BE=PB = = ，Rt OPB 中，OP= =22(3)x82PBO= ，28()41PQ= 4= 则线段 PQ 的最小值是 324213考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题8. （2017 年浙江省杭州市第 23 题）如图，已知ABC 内接于O，点 C 在劣弧 AB 上（不与点 A，B 重合），点 D 为弦 BC 的中点，DEBC，DE 与 AC 的延长线交于点 E，射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与O 交
30、于点G，设GAB=，ACB=，EAG+EBA=，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 40 50 60 120 130 140 150 150 140 130 120猜想： 关于 的函数表达式， 关于 的函数表达式，并给出证明：（2）若 =135，CD=3，ABE 的面积为ABC 的面积的 4 倍，求O 半径的长【答案】 （1）=+90，=+180（2）5试题解析：（1）猜想：=+90，=+180连接 OB，由圆周角定理可知：2BCA=360BOA，OB=OA，OBA=OAB=，BOA=1802，2=360（1802），=+90，D 是 BC 的中点，DEBC，OE 是线段 BC 的垂直平分线，BE=CE，BED=CED，EDC=90BCA=EDC+CED，=90+CED，CED=，CED=OBA=，O、A、E、B 四点共圆，EBO+EAG=180，EBA+OBA+EAG=180，+=180；设 CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，BCE=45，
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