1、2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线yx2的倾斜角是，则的值为 2（5分）在等比数列an中，已知，则a6的值为 3（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（1，0），（1，4），则直线l的方程是 4（5分）已知为锐角，且，则sin2的值为 5（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，则四个侧面PAB，PBC，PCD，PAD中，有 个直角三角形6（5分）不等式的解集为 7（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长
2、为3，则此圆锥的体积为 8（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，则角A的大小为 9（5分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，记异面直线AB1，与BD所成的角为，则cos的值为 10（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B若，则直线l的方程是 11（5分），为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 （填上所有正确命题的序号）若，m，则m；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若，n，mn，则m12（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a2b2（acosB
3、+bcosA）2，且ABC的面积为50，则ABC周长的最小值为 13（5分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为 14（5分）已知正实数x，y满足x2+xy2y21，则5x2y的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my2m0（m0）（1）若直线l的斜率为1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值16（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是A
4、B1的中点N是BC1与B1C的交点，ACB1C，求证：（1）MN平面ACC1A1；（2）BC1平面AB1C17（15分）在ABC中，已知点D在BC边上，且2BDDC，AB2，（1）若ADBC，求tanBAC的值；（2）若，求线段AC的长18（15分）已知函数f（x）x2+axb（a，bR）（1）若b1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b1a时，解关于x的不等式f（x）0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a，b的值19（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱上
5、底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少20（15分）已知an是公差不为零的等差数列，bn是等比数列，且a2b21，a31b3，a41b4（1）求数列an，bn的通项公式；（2）记cnanbn，求数列cn的前n项和Sn；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小
6、题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线yx2的倾斜角是，则的值为【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系即可求出【解答】解：直线yx2的倾斜角是，则tan1，即，故答案为：【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题2（5分）在等比数列an中，已知，则a6的值为3【分析】利用等比数列求出q2，由此能求出a6的值【解答】解：在等比数列an中，己知，a63故答案为：3【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（1，0），（1，
7、4），则直线l的方程是y2x+2【分析】直接根据两点式方程可得【解答】解：根据两点式方程可得，即y2x+2，故答案为：y2x+2【点评】本题考查了两点式方程，属于基础题4（5分）已知为锐角，且，则sin2的值为【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解【解答】解：锐角，且，sin，sin22sincos2故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，则四个侧面PAB，PB
8、C，PCD，PAD中，有4个直角三角形【分析】首先由线面垂直得PAAB，PAAD；再证BC平面PAB，得到PBC为直角三角形，同理得另一个也是【解答】解：PA平面ABCDPAAB，PAADPAB，PAD为直角三角形事实上，BCPA，BCABBC平面PABBCPBPBC为直角三角形同理PDC为直角三角形四个侧面三角形均为直角三角形【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大6（5分）不等式的解集为0，2）【分析】根据分式不等式，符号法则即可求解【解答】解：不等式，等价于x（x2）0，0x2，x2不等式的解集为：0，2）故答案为：0，2）【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式
9、的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题7（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则此圆锥的体积为【分析】由题意画出图形，求出圆锥的高，再由圆锥的体积公式求解【解答】解：如图，OA1，PA3，则OP圆锥的底面积S12，体积V故答案为：【点评】本题考查圆锥的体积求法，是基础的计算题8（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，则角A的大小为【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可得B为锐角，利用特殊角的三角函数值及三角形内角和定理可求A的值【解答】解：，由正弦定理可得：sinB，bc，B为锐角，BACB故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，大
10、边对大角，特殊角的三角函数值及三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题9（5分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，记异面直线AB1，与BD所成的角为，则cos的值为【分析】由BDB1D1，得AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），由此利用余弦定理能求出cos【解答】解：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，BDB1D1，AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），设，AD1AB12，B1D1，记异面直线AB1异面直线AB1，与BD所成的角为，则cos故答案为：【点评】本题考查
11、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B若，则直线l的方程是x+2y30【分析】直线l的方程为：y1k（x1），（k0），可得A（1，0），B（0，1k）利用，即可得出k【解答】解：设直线l的方程为：y1k（x1），（k0），可得A（1，0），B（0，1k），（11，1）2（1，1k1），即（，1）（2，2k）2，12k解得k直线l的方程为：y1（x1），化为：x+2y30故答案为：x+2y30【点评】本题考查了直线
12、的方程、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分），为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）若，m，则m；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若，n，mn，则m【分析】在中，由面面平行的性质定理得m；在中，m与n平行或异面误；在中，由线面垂直的判定定理得n；在中，若m与相交、平行或m【解答】解：由，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在中，若，m，则由面面平行的性质定理得m，故正确；在中，若m，n，则m与n平行或异面，故错误；在中，若m，mn，则由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，若，n，mn，则m与相交、平行
13、或m，故错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a2b2（acosB+bcosA）2，且ABC的面积为50，则ABC周长的最小值为【分析】由已知利用余弦定理可得a2b2+c2，由勾股定理可得A，利用三角形面积公式可得bc100，利用基本不等式可求三角形周长的最小值【解答】解：a2b2（acosB+bcosA）2（a+b）2c2，可得：a2b2+c2，可得：A，ABC的面积为50，即：bc50，可得：bc100，可得a2b2+c22b
14、c200，可得：a10，当且仅当bc时等号成立，b+c20，ABC周长la+b+c，当且仅当bc时等号成立故答案为：20+10【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题13（5分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为【分析】由（），运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，结合等差数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：数列an的通项公式为，由（），可得S15（1+）+（2+4+6+14）77+71649故答案为：【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等差数列的求和公式和裂项相消求和
15、方法，考查运算能力，属于中档题14（5分）已知正实数x，y满足x2+xy2y21，则5x2y的最小值为4【分析】与已知可得（x+2y）（xy）1，令mx+2y，nxy，则mn1，由x，y都是正实数，得m0，则n0，则5x2y（x+2y）+4（xy）m+4n，然后利用基本不等式求最值【解答】解：x2+xy2y21，（x+2y）（xy）1，令mx+2y，nxy，mn1，x，y都是正实数，m0，则n0，5x2y（x+2y）+4（xy）m+4n当且仅当m4n，即m2，n，也就是x1，y时，5x2y有最小值为4故答案为：4【点评】本题考查曲线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，
16、是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my2m0（m0）（1）若直线l的斜率为1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值【分析】（1）由已知可得直线l的斜率，即可得出（2）求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由题意可得：1，解得m1（2）由m0，x0时，y2；y0时，x2m；则围成的三角形面积为2，解得m1【点评】本题考查了直线的方程、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计
17、算能力，属于基础题16（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是AB1的中点N是BC1与B1C的交点，ACB1C，求证：（1）MN平面ACC1A1；（2）BC1平面AB1C【分析】（1）推导出MNAC，由此能证明MN平面ACC1A1（2）推导出ACCC1，ACB1C，B1CBC1，由此BC1平面AB1C【解答】证明：（1）由四边形BCC1B1是菱形，可得N为B1C中点，又因为M为AB1，中点，可得MNAC，又因为MN平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，故MN平面ACC1A1；（2）由四边形ACC1A1为矩形，可得ACCC1，又因为AC
18、B1C，CC1平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，CC1B1CC，可得AC平面BCC1B1，则ACBC1，由四边形BCC1B1是菱形，可得B1CBC1，因为ACB1C，B1CBC1，AC平面AB1C，B1C平面AB1C，ACB1CC，故BC1平面AB1C【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（15分）在ABC中，已知点D在BC边上，且2BDDC，AB2，（1）若ADBC，求tanBAC的值；（2）若，求线段AC的长【分析】（1）由ADBC，利用勾股定理可求BD的值，进而由题意可求DC，
19、可求tanBAD1，tanCAD2，利用两角和的正切函数公式即可计算得解tanBAC的值（2）在三角形ABD内由余弦定理可求BD23BD+20，解得BD1或2，分类讨论由余弦定理可求AC的值【解答】解：（1）ADBC时，由DC2BD，可得，则tanBAD1，tanCAD2，可得：tanBACtan（BAD3；（2）三角形ABD内由余弦定理，则，即BD23BD+20，解得BD1或2，当BD1时，BC3，三角形ABC内，由余弦定理；当BD2时，BC6，三角形ABC内由余弦定理则AC2，或【点评】本题主要考查了勾股定理，两角和的正切函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的
20、应用，属于中档题18（15分）已知函数f（x）x2+axb（a，bR）（1）若b1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b1a时，解关于x的不等式f（x）0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a，b的值【分析】（1）b1时，f（x）x2+ax+1，利用判别式转化求解即可（2）b1a时，f（x）x2+ax+a1（x+1）（x+a1），通过a的范围，求解不等式的解集（3）二次函数f（x）开口响上，对称轴，通过单调性列出不等式，转化求解a的范围即可【解答】解：（1）b1时，f（x）x2+ax+1，由函数f（x）有零点，可得a240，即a2或a2；（
21、2）b1a时，f（x）x2+ax+a1（x+1）（x+a1），当11a即a2时，f（x）0的解集为1，1a，当11a即a2时，f（x）0的解集为1，当11a即a2时，f（x）0的解集为1a，1；（3）二次函数f（x）开口响上，对称轴，由a2可得f（x）在1，+）单调递增，x1，+）时f（x）0恒成立，当且仅当f（1）0，即1+ab0，即ab1，由，可得，则，由0可得b24b+40，即（b2）20，则b2，此时1a1，则a1【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力19（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（
22、如图），网箱上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少【分析】（1）求出网箱的高，隔栏与四周总面积，然后求解y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）利用基本不等式，转化求解最值即可【解答】解：（1）网箱的高为米，由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点，隔栏与四周总面积为平方米，底部面积为20x平方米，则，定义域为（0，+）；（2），由x0可得，当且仅当即x20时
23、等号成立，答：，定义域为（0，+）；网箱上底面的另一边长x为20米时，制作网箱的总费用最少【点评】本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力20（15分）已知an是公差不为零的等差数列，bn是等比数列，且a2b21，a31b3，a41b4（1）求数列an，bn的通项公式；（2）记cnanbn，求数列cn的前n项和Sn；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值【分析】（1）设an的公差为d，bn的公比为q，利用已知条件列出方程组，得dq2，然后求解通项公式（2）化简，通过错位相减法求解数列的和即可（3）不等式可化为，即，判断n1，mN*时一定成立，则n2时
24、，满足的n共有两个，令，n2，则n2时，c3c2，n3时，cn+1cn，说明n2时，cn中最大的三项值为，可得，求解即可【解答】解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，a3a2+d1+d，b3b2qq；a4a2+2d1+2d，；由a31b3，a41b4可得1+d1q，1+2d1q2，由d0，q0可得dq2，则a1a2d1，则an2n3，；（2），21+（2n3）2n2（2n5）2n2+（2n3）2n1作差可得22122n2+（2n3）2n1，则；（3）不等式可化为，即，即，n1，mN*时一定成立，则n2时，满足的n共有两个，此时2n30，m+80，即满足的n共有两个，令，n2，则n2时，c3c2，n3时，cn+1cn，则n2时，cn中最大的三项值为，由n2时满足的n共有两个，可得，由m0解得，则正整数m3【点评】本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查转化思想以及计算能力
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