1、2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1（3分）一个三角形的两个内角分别是30和60，若30角所对的边长为2，则60角所对的边长为 2（3分）不等式x22x30的解集用区间形式表示为 3（3分）若点（a，1）在直线y2x+2的下方，则实数a的取值范围是 4（3分）在ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsinA，则角B 5（3分）已知函数f（x）x2+mx1，若对于任意的x0，1都有f（x）0，则实数m的取值范围是 6（3分）若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式一定成立的时 a2b2a3b37（3分）
2、已知x1，则函数的最小值为 8（3分）如图，用三根细绳OA、OB、OC悬挂重物G处于静止状态，现测得AOB120，细绳OC所受的拉力为，细绳OA所受拉力为2N，则细绳OB所受拉力为 N9（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x24x，则不等式f（x）x的解集为 10（3分）如图，在ABC中，B45，D是BC边上的一点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为 11（3分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）满足不等式|x|+|y|4，则目标函数z2xy的取值范围是 12（3分）在ABC中，AB3，AC2，BAC60，D为BC中点，cosBAD 13（3分）若实数x，y满足xy
3、0，且+1，则x+y的最小值为 14（3分）在ABC中，若sin（2A+B）2sinB，则tanB的最大值为 二、解答题（共6小题，满分0分）15不等式x2+2x80的解集为A，x2（m+1）x+3m60的解集为B（1）若m0，求AB；（2）若ABR，求实数m的取值范围16在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，B为锐角，且，（1）求内角C的值（2）若ABC的周长为30，求ABC的面积17已知函数f（x）ax+b（1）f（2）1，且a0，b0，求的最小值；（2）当x1，2时，0f（x）1恒成立，求f（4）的取值范围18如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，A
4、B1，ACCD，ACCD，记ABC（1）若45，求对角线BD的长度（2）当变化时，求对角线BD长度的最大值19如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪（1）当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由20已知函数f（x）x|xa|（1）若a4，解不等式f（x）3（2）若任意x1，2，使得f（x）2恒成立，求实数a的取值范围（3）若关
5、于x的方程f（x）7|x+a|有三个相异的实数解，求正实数a的取值范围2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1（3分）一个三角形的两个内角分别是30和60，若30角所对的边长为2，则60角所对的边长为2【分析】利用正弦定理列方程求得60角所对的边长是多少【解答】解：设60角所对的边长为x，由正弦定理得，x2，即60角所对的边长为2故答案为：2【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题2（3分）不等式x22x30的解集用区间形式表示为1，3【分析】直接解不等式，并用区间表示即可【解答】解：x22x30，
6、即（x3）（x+1）0，解得1x3，故不等式的解集为1，3故答案为：1，3【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题3（3分）若点（a，1）在直线y2x+2的下方，则实数a的取值范围是（）【分析】确定直线y2x+2的下方的点的坐标满足不等式y2x+2，然后将点（a，1）的坐标代入该不等式可求出实数a的取值范围【解答】解：直线y2x+2下方的点的坐标满足不等式y2x+2，由于点（a，1）在直线y2x+2的下方，所以，12a+2，解得a，故答案为：【点评】本题考查点与直线的位置关系，关键在于将直线下方区域用不等式表示出来，属于基础题4（3分）在ABC中，若角A，B，C的对边
7、分别为a，b，c，且a2bsinA，则角B或【分析】由a2bsinA，利用正弦定理可得：sinA2sinBsinA，sinA0，解得sinB，B（0，）即可得出【解答】解：a2bsinA，由正弦定理可得：sinA2sinBsinA，sinA0，解得sinB，B（0，）B或故答案为：或【点评】本题考查正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（3分）已知函数f（x）x2+mx1，若对于任意的x0，1都有f（x）0，则实数m的取值范围是（，0）【分析】根据二次函数f（x）的图象与性质，得出，由此求得实数m的取值范围【解答】解：函数f（x）x2+mx1的图象是开口向上的抛物线，要
8、使对于任意x0，1，都有f（x）0成立，则，解得m0，实数m的取值范围是（，0）故答案为：（，0）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题6（3分）若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式一定成立的时a2b2a3b3【分析】通过举反例，a1，b2，即可判断；a1，b1，即可判断；由yx3在R上递增，即可判断【解答】解：a，b是任意实数，且ab，不成立，比如，a1，b2；不成立，比如a1，b1；a2b2不成立，比如a1，b2；a3b3成立，由yx3在R上递增，可得故答案为：【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用不等式的性质和函数的单调性、反例法，考查推理能力，属于基础题
9、7（3分）已知x1，则函数的最小值为2+2【分析】根据题意，分析可得f（x）2（x1）+2，进而结合x的范围以及基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，2（x1）+2，又由x1，即x10，则f（x）22+2，即函数f（x）的最小值为2+2；故答案为：2+2【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对f（x）解析式的变形8（3分）如图，用三根细绳OA、OB、OC悬挂重物G处于静止状态，现测得AOB120，细绳OC所受的拉力为，细绳OA所受拉力为2N，则细绳OB所受拉力为3N【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算和余弦定理，即可求得对应的结果【解答】解：如图所示，
10、OA、OB、OC的拉力分别为，三根细绳OA、OB、OC悬挂重物G处于静止状态，合力为零，即+即（+）设OB所受的拉力为x，由余弦定理可得，（）22+x2+2xcos60，解得x3，即OB所受的拉力为3N故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的线性表示和余弦定理的应用问题，是基础题9（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x24x，则不等式f（x）x的解集为（5，0）（5，+）【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x0的解析式，解不等式即可【解答】解：若x0，则x0，当x0时，f（x）x24x，当x0时，f（x）x2+4x，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）x2+4xf（x）
11、，则f（x）x24x，x0，当x0时，不等式f（x）x等价为x24xx即x25x0，得x5或x0，此时x5，当x0时，不等式f（x）x等价为x24xx即x2+5x0，得5x0，当x0时，不等式f（x）x等价为00不成立，综上，不等式的解为x5或5x0，故不等式的解集为（5，0）（5，+），故答案为：（5，0）（5，+）【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键10（3分）如图，在ABC中，B45，D是BC边上的一点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为【分析】先根据余弦定理求出ADC的值，即可得到ADB的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：
12、在ADC中，AD5，AC7，DC3，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60在ABD中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理得 ，AB故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理属基础题11（3分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）满足不等式|x|+|y|4，则目标函数z2xy的取值范围是8，8【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得k值【解答】解：由动点P（x，y）满足不等式|x|+|y|4的可行域如图，由可行域可得A（2，0），B（2，0）由z2xy得：y2xz，显然直线过A
13、（2，0）时，z最小，z的最小值是8，直线过B（2，0）时，z最大，z的最大值是8，故答案为：8，8【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12（3分）在ABC中，AB3，AC2，BAC60，D为BC中点，cosBAD【分析】由余弦定理求得BC，由求得AD，在ABD中，由余弦定理得解【解答】解：在ABC中，AB3，AC2，BAC60，D为BC中点，在ABD中，BD2AD2+AB22ADABcosBAD，cos故答案为：【点评】本题考查了余弦定理、向量运算，属于中档题13（3分）若实数x，y满足xy0，且+1，则x+y的最小值为【分析】实数x，y满足xy0，且+1
14、，可得x+y，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数x，y满足xy0，且+1，则x+y当且仅当y，x时取等号故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（3分）在ABC中，若sin（2A+B）2sinB，则tanB的最大值为【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得tanC3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式，基本不等式可求tanB的最大值【解答】解：sin（2A+B）2sinB，sin（A+B）cosB+cos（A+B）sinB2sin（A+C）2sinAcosC+2cosAsinC，sinCcosBcosCsi
15、nB2sinAcosC+2cosAsinC，可得：sinCcosA3sinAcosC，tanC3tanA，tanBtan（A+C），当且仅当，即tanA时取等号，则tanB的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题二、解答题（共6小题，满分0分）15不等式x2+2x80的解集为A，x2（m+1）x+3m60的解集为B（1）若m0，求AB；（2）若ABR，求实数m的取值范围【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，解出集合A，B，再根据交集的定义即可求出；（2）由x
16、2（m+1）x+3m60，可得（x3）（xm+2）0，再根据ABR，可得m24，解不等式即可【解答】解：（1）x2+2x80，解得x4或x2，A（，42，+），m0，x2x60，解得2x3，B2，3，AB2，3；（2）x2（m+1）x+3m60，（x3）（xm+2）0，ABR，m24，解得m2【点评】此题主要考查集合的定义及集合的交集并集的运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握16在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，B为锐角，且，（1）求内角C的值（2）若ABC的周长为30，求ABC的面积【分析】（1）由cosCcos（A+B）（coss
17、AcosBsinAsinB）可得C（2）可得sinA，sinB，sinC，a：b：c5：3：7，利用周长求得a10，b6，c14即可得ABC的面积S【解答】解：（1），A（0，），sinA，且B为锐角，cosBcosCcos（A+B）（cossAcosBsinAsinB）（，C（2）可得sinA，sinB，sinC，由正弦定理得，a：b：c5：3：7，设a5k，b3k，c7k，a+b+c15k30，k2a10，b6，c14ABC的面积S15【点评】本题主要考察了两角和与差的余弦，三角形面积公式的应用，属于基础题17已知函数f（x）ax+b（1）f（2）1，且a0，b0，求的最小值；（2）当x1
18、，2时，0f（x）1恒成立，求f（4）的取值范围【分析】（1）根据题意，由f（2）1可得2a+b1，则有（2a+b）（）4+，由基本不等式的性质分析可得答案；（2）根据题意，分析可得，即，又由f（4）4a+b2（a+b）+3（2a+b）3f（2）2f（1），结合不等式的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）ax+b，且f（2）1，则有2a+b1，则（2a+b）（）4+，又由a0，b0，则+24，当且仅当b2a时等号成立，则4+4+48，即的最小值为8；（2）当x1，2时，0f（x）1恒成立，则，即，又由f（4）4a+b2（a+b）+3（2a+b）3f（2）2f（1），则2f（
19、4）3，即f（4）的取值范围为2，3【点评】本题考查基本不等式的应用以及不等式的性质，（2）中关键是分析f（4）与f（1）、f（2）的关系18如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB1，ACCD，ACCD，记ABC（1）若45，求对角线BD的长度（2）当变化时，求对角线BD长度的最大值【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求出（2）先根据余弦定理求出AC232cos，再根据正弦定理可得sinACB，再用诱导公式可得cosBCD，再根据余弦定理可得BD25+4sin（），根据正弦函数的图象和性质即可求出最值【解答】解：（1）在ABC中，AB1，BC，ABC45，由余
20、弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC1，AC1，ABC为等腰直角三角形，BCD135，在BCD中，BC，CDAC1，BCD135，由余弦定理可得：BD2BC2+CD22CDBCcosBCD5，BD（2），在ABC中，AB1，BC，ABC，由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC32cos，又由正弦定理可得，即，sinACB，cosBCDcos（+ACB）sinACB，在BCD中，BC，CDAC，由余弦定理可得：BD2BC2+CD22CDBCcosBCD5+2（sincos）5+4sin（），当时，（BD2）max9，则BDmax3【点评】本题考查了正弦定理和
21、余弦定理的应用，以及正弦函数的图象和性质，属于中档题19如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪（1）当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由【分析】（1）当EFP时，由条件得EFPEFDFEP可得FNBC，四边形MNPE为矩形即可得出（2）解法一：设，由条件，知EFPEFDFEP可得，四边形MNPE面积为，化简利用基本不等式的
22、性质即可得出解法二：设BEtm，3t6，则ME6t可得PEPF，即，NP3T+，四边形MNPE面积为，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）当EFP时，由条件得EFPEFDFEP所以FPE所以FNBC，四边形MNPE为矩形3分所以四边形MNPE的面积SPNMN2m25分（2）解法一：设，由条件，知EFPEFDFEP所以， 8分由得所以四边形MNPE面积为12分当且仅当，即时取“”14分此时，（*）成立答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2 16分解法二：设BEtm，3t6，则ME6t因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即所以， 8分由得所以四边形MNPE面积为
23、12分当且仅当，即时取“” 14分此时，（*）成立答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2 16分【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）x|xa|（1）若a4，解不等式f（x）3（2）若任意x1，2，使得f（x）2恒成立，求实数a的取值范围（3）若关于x的方程f（x）7|x+a|有三个相异的实数解，求正实数a的取值范围【分析】（1）去绝对值分别求解（2）可转化为x由x+，可得实数a的取值范围（3）关于x的方程f（x）7|x+a|有三个相异的实数解x|
24、xa|+|x+a|70有三个相异的实数解分以下情况：当xa时，原方程无解，当xa时，原方程方程在a，+）必有一实数解，解得a当axa时，原方程在（a，a）必有两个实根，解得3【解答】解：（1）a4，x|x4|3原不等式化为：或，解得：1x3或x故原不等式解集为：x|1x3或x（2）任意x1，2，使得f（x）2恒成立x|xa|2|xa|，x，当x1，2时，x+，（x时取等号），函数在1，2单调递增，实数a的取值范围为（1，2）（3）关于x的方程f（x）7|x+a|有三个相异的实数解x|xa|+|x+a|70有三个相异的实数解当xa时，原方程化为x2+x+7+a（1x）0，a0，xa0，方程x2+x+7+a（1x）0无解，当xa时，原方程化为x2（a1）x+a70a0，要使原方程有三个实根，则方程x2（a1）x+a70在a，+）必有一实数解a2（a1）a+a70，解得a当axa时，原方程化为x2（a+1）xa+70，由题意原方程x2（a+1）xa+70，在（a，a）必有两个实根令xh（x）x2（a+1）xa+70，解得，综上正实数a的取值范围为：（3，）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，方程的根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于难题
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