1、2018-2019学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知等差数列an，a12，a34，则公差d（）A2B1C1D22（4分）不等式|x1|1的解集为（）A（，2）B（0，2）C（1，2）D（，0）（2，+）3（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a：b：c3：4：5，则cosC的值为（）ABCD04（4分）设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，公比q2，则S4的值为（）A15B16C30D315（4分）若非零实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（）A
2、BCDa2+ab2+b6（4分）设an为等比数列，给出四个数列：2an，an2，2，log2|an|，其中一定为等比数列的是（）ABCD7（4分）若不等式mx2+（m1）x+m0对实数xR恒成立，则实数m的取值范围（）Am1或Bm1CD8（4分）已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A12B16C20D249（4分）已知Sn是等差数列an的前n项和，S80，S90若SnSk对nN*恒成立，则正整数k构成的集合是（）A4，5B4C3，4D5，610（4分）记maxa，b，c以为实数a，b，c中的最大值若实数x，y，z满足，则max|x|，|y|，|z|的最大值为（
3、）AB1CD二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分11（6分）若关于x的不等式x2ax+b0的解集是（1，2），则a ，b 12（6分）已知数列an的前n项和Sn3n1，则首项a1 ，通项公式an 13（6分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b2，则B ，ABC的面积S 14（6分）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为 ，体积为 15（4分）已知正实数xy满足x+y+3xy，则x+y的最小值为
4、16（4分）记，则函数的最小值为 17（4分）在ABC中，角B为直角，线段BA上的点M满足BM2MA2，若对于给定的ACM，ABC是唯一确定的，则sinACM 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a12，S414（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，求Tn19（15分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求角C的大小；（）若ab4，求c的最小值20（15分）已知函数f（x）x2（a+）x+1（xR）（）当a时，求不等式f（x）0的解集；（）若关于x
5、的不等式f（x）0有且仅有一个整数解，求正实数a的取值范围21（15分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b2，B2A（）求cosA的值；（）求c的值22（15分）正项数列an的前n项和Sn满足2anSnan2+2n（nN*）（）求a1的值；（）证明；当nN*，且n2时，Sn2Sn122n；（）若对于任意的正整数n，都有ank成立，求实数k的最大值2018-2019学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知等差数列an，a12，a34，则公差d（
6、）A2B1C1D2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：数列an是等差数列，a12，a34，a3a1+2d，即42+2d，解得d1故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题2（4分）不等式|x1|1的解集为（）A（，2）B（0，2）C（1，2）D（，0）（2，+）【分析】由|x1|1，可得1x11，解出x即可【解答】解：|x1|1，1x11，0x2，不等式的解集为（0，2）故选：B【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题3（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a：b：c3：4：5，则cosC的值为（）ABCD0【分析】由已知a：b：c3：4
7、：5，设a3x，b4x，c5x，x0，再由余弦定理加以计算，可得cosC的值【解答】解：由于a：b：c3：4：5，因此设a3x，b4x，c5x，x0，可得cosC0，故选：D【点评】本题给出三角形满足的关系式，求cosC的值着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题4（4分）设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，公比q2，则S4的值为（）A15B16C30D31【分析】根据条件及等比数列的前n项和公式即可求出S415【解答】解：等比数列an的首项a11，公比q2；故选：A【点评】考查等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式5（4分）若非零实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（）
8、ABCDa2+ab2+b【分析】根据不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可【解答】解：非零实数a，b满足ab，A取a1，b，则，故A不正确；B0ab，由基本不等式知，故B不正确；C非零实数a，b满足ab，即，故C正确；D取a1，b，则，故D不正确故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用，属基础题6（4分）设an为等比数列，给出四个数列：2an，an2，2，log2|an|，其中一定为等比数列的是（）ABCD【分析】可设等比数列an的公比为q，从而得出，这样即可得出，根据等比数列的通项公式及定义即可得出2an为等比数列，同样可判断为等比数列，从而选D【解答】解：设等比数列a
9、n的公比为q，则；，；2an是以2a1为首项，q为公比的等比数列；是以为首项，q2为公比的等比数列故选：D【点评】考查等比数列的定义，以及等比数列的通项公式7（4分）若不等式mx2+（m1）x+m0对实数xR恒成立，则实数m的取值范围（）Am1或Bm1CD【分析】讨论m0，m0，不成立；m0，0，解不等式可得所求范围【解答】解：不等式mx2+（m1）x+m0对实数xR恒成立，当m0时，即为x0，不恒成立；当m0时，不等式对实数xR不恒成立；当m0，0即（m1）24m20，解得m综上可得m故选：C【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题8（4分）已知各
10、个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A12B16C20D24【分析】由已知求出正方体的体对角线的长，得到球的直径，进一步得到半径，则球的表面积可求【解答】解：正方体的棱长为2，正方体的体对角线的长为2，即正方体外接球的直径为，半径为球的表面积为S4（）212故选：A【点评】本题考查球的体积与表面积，明确正方体的对角线就是球的直径是解题关键，是基础题9（4分）已知Sn是等差数列an的前n项和，S80，S90若SnSk对nN*恒成立，则正整数k构成的集合是（）A4，5B4C3，4D5，6【分析】由题意先判断等差数列an是递增数列，a4+a50，a50，可得Sn的最小值为
11、S4，或S5，由此得出结论【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，S80，S90，故等差数列an是递增数列S84（a4+a5）0，S99a50，所以（Sn）minS4S5若SnSk对nN*恒成立，则Sn的最小值为S4，或S5，则正整数k构成的集合为4，5，故选：A【点评】本题主要考查等差数列的性质，求递增数列前n项和的最小值，属于中档题10（4分）记maxa，b，c以为实数a，b，c中的最大值若实数x，y，z满足，则max|x|，|y|，|z|的最大值为（）AB1CD【分析】通过消元，结合二次方程有解的条件即可求得x，y，z的取值范围，进而得解【解答】解：，x2+3y2+6（x+y）23，整
12、理得，9y2+12xy+7x230，（12x）249（7x23）0，即x21，则|x|1；同理可求得，即；，即；max|x|，|y|，|z|的最大值为1故选：B【点评】本题考查消元思想在解题中的运用，考查了一元二次方程有解的条件，考查转化与运算能力，难度不大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分11（6分）若关于x的不等式x2ax+b0的解集是（1，2），则a1，b2【分析】根据题意，由不等式的解集为分析可得方程x2ax+b0的两个根为1和2，又由根与系数的关系分析可得，解可得a、b的值，即可得答案【解答】解：根据题意，关于x的不等式x2ax+b0的解集是（1
13、，2），则方程x2ax+b0的两个根为1和2，则有，解可得a1，b2；故答案为：1，2【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及应用，注意分析方程x2ax+b0的根，属于基础题12（6分）已知数列an的前n项和Sn3n1，则首项a12，通项公式an23n1【分析】利用公式直接求解【解答】解：数列an的前n项和Sn3n1，首项a1S1312，当n2时，anSnSn13n1（3n11）23n1当n1时，上式成立，通项公式an23n1故答案为：2，23n1【点评】本题考查数列的首项、通项公式的求法，考查数列的通项公式和前n项和的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（6分）ABC中，角A，B，
14、C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b2，则B，ABC的面积S【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合B的范围可求B的值，利用勾股定理可求c的值，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：A，a，b2，由正弦定理，可得：sinB1，B（0，），Bc1，SABCac故答案为：，【点评】本题主要考查了正弦定理，勾股定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（6分）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为，体积为【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，则四棱锥的最长棱长与体积可求
15、【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，则该几何体最长棱的长度为；体积为V故答案为：；【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题15（4分）已知正实数xy满足x+y+3xy，则x+y的最小值为6【分析】利用基本不等式可得x+y+3xy，解出x+y即可【解答】解：正实数xy满足x+y+3xy，x+y+3xy，x+y6，当且仅当xy3时取等号，x+y的最小值为6故答案为：6【点评】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属基础题16（4分）记，则函数的最小值为4【分析】利用绝对值不等式的
16、性质直接求解即可【解答】解：g（x）|x1|+|x2|+|x3|+|x4|x1|+|x4|+|x2|+|x3|x1（x4）|+|x2（x3）|4，当2x3时，等号成立故答案为：4【点评】本题考查绝对值不等式的性质，属基础题17（4分）在ABC中，角B为直角，线段BA上的点M满足BM2MA2，若对于给定的ACM，ABC是唯一确定的，则sinACM【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出 tanACB、tanNCB的值，再利用两角和差的三角公式，求得tantan（ACBMCB），可得sin的值【解答】解：设BCx，ACM，则为锐角，则tantan（ACBMCB）依题意，若对于给定的ACM，AB
17、C是唯一的确定的，可得x，此时，tan，再结合sin2+cos21，可得sin，故答案为：【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和差的三角公式，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a12，S414（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，求Tn【分析】（I）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的求和公式可得d，进而得到所求通项；（II），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（I）等差数列an的公差设为d，a12，S414可得42+43d14，解得d1，则ann+
18、1；（II）因为，所以Tn+，则【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（15分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求角C的大小；（）若ab4，求c的最小值【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得cosC，结合范围C（0，），可求；（II）由余弦定理，基本不等式即可求解【解答】解：（I）因为，又C（0，），所以；（II）由余弦定理可得：c2a2+b2ab，因为a2+b22ab，所以c2ab4，当且仅当ab2，c的最小值为2【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解
19、三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（15分）已知函数f（x）x2（a+）x+1（xR）（）当a时，求不等式f（x）0的解集；（）若关于x的不等式f（x）0有且仅有一个整数解，求正实数a的取值范围【分析】（）当时，不等式f（x）0即为，直接求解即可；（）原不等式可化为，分类讨论即可求得a的取值范围【解答】解：（）当时，不等式f（x）0即为，解得，当a时，不等式f（x）0的解集为；（）原不等式可化为，当，即a1时，原不等式的解集为；当，即a1时，此时不等式的解集为，又，所以1a2；当，即0a1时，此时不等式的解集为，所以只需，解得；综上所述，正实数a的取值范围为【点评】本
20、题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属基础题21（15分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b2，B2A（）求cosA的值；（）求c的值【分析】（）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（）易求sinA，sinB，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B），在ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值【解答】解：（）ABC中，a3，b2，B2A，由正弦定理得：，即，cosA；（）由（1）知cosA，A（0，），sinA，又B2A，cosBcos2A2cos2A1，B（0，），sinB，在ABC中，sinCsin（A+B）sinAco
21、sB+cosAsinB+，c5【点评】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦与诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题22（15分）正项数列an的前n项和Sn满足2anSnan2+2n（nN*）（）求a1的值；（）证明；当nN*，且n2时，Sn2Sn122n；（）若对于任意的正整数n，都有ank成立，求实数k的最大值【分析】（）由2a12a12+2，即可求解（）由2anSnan2+2n（nN*）2（SnSn1）Sn（SnSn1）2+2n，2n，（）2n，用累加法可得，an，单调递减，即可【解答】解：（）2a12a12+2，（）2anSnan2+2n（nN*）n2时，2（SnSn1）Sn（SnSn1）2+2n，2n，（）2n，用累加法可得，an，（n2）当n1时，上式成立单调递减，an0，an1对于任意的正整数n，都有ank成立，实数k1实数k的最大值为1【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求解方法，解题时要注意累加法和数列单调性的合理运用属于难题
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