1、2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1（3分）直线的倾斜角为 2（3分）若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是 m3（3分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是 4（3分）两平行直线2x+y0与4x+2y10之间的距离为 5（3分）过点（1，）且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为 6（3分）若将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为 cm27（3分）已知三个不同的
2、点O（0，0），A（sin，sin），B（8，5）在同一条直线上，则cos的值是 8（3分）将函数f（x）cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（0）的值为 9（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B，当ABC的面积等于时，b 10（3分）已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：若l，l，则； 若l，则l；若l，l，则； 若l，则l其中真命题为 （填所有真命题的序号）11（3分）点（5，2）到直线（
3、m1）x+（2m1）ym5的距离的最大值为 12（3分）如图，在边长为2的正方体中，M为楼AB的中点，则二面角B1CMB的正切值是 13（3分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，CC13，点D为侧棱BB1上的一个动点，当AD+DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 14（3分）已知关于x的方程sinxcos2x+1a0（aR）在区间0，3上共有n（nN*）个互不相同的实数根x1，x2，xn，当x1+x2+xn取得最小值时，实数a的取值集合为 二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15如图，在斜三
4、棱柱ABCA1B1C1中，CACB，D，E分别是AB，B1C的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）若DEAB，求证：ABB1C16已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c（1）求A的值；（2）若c，cosB，求a的值17已知函数f（x）2sin2x+2sinxcosx+a（其中aR），且f（0）（1）求a的值，并求f（x）在，上的值域；（2）若f（x）在0，上有且只有一个零点，0，求的取值范围18如图，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，APB90，M是CD的中点（1）在图中作出并指明平面P
5、AM和平面PBC的交线l；（2）求证：APBC；（3）当AP2时，求PC与平面ABCD所成角的正切值19国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警告如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s，一艘外轮在P点满足BAP，ABP（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当+时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？20已知直线l1：mxy+m0，l2：x+mym（m+1）0，l3：（m+1）xy+（m+1）0，记l1l2A，l2l3B，l3l1C（1）当m2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；（2）在ABC中，求BC边上中
6、线长的最小值；（3）求ABC面积的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1（3分）直线的倾斜角为【分析】由题意可得直线的方程可化简为：yx，进而得到直线的斜率k，再根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案【解答】解：由题意可得：将 可化为yx，可得直线的斜率k，所以故答案为：【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，解决此类问题的方法一般是首先将直线的方程化为斜截式方程，得到直线的斜率，进而根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案2（3分）若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是2m【分
7、析】根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径，从而可以解答本题【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为（rad），半径为r，则lr，即：r，解得，r2故答案为：2【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是明确弧长的计算公式3（3分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是【分析】由题意画出图形，求解三角形可得异面直线AA1和BD1所成角的余弦值【解答】解：如图，连接B1D1，AA1BB1，B1BD1为异面直线AA1和BD1所成角，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则，即异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法
8、，考查数形结合的解题思想方法，是基础题4（3分）两平行直线2x+y0与4x+2y10之间的距离为【分析】将两平行直线的x与y的系数化为相同，再用平行直线的距离公式可得【解答】解：由4x+2y10得2x+y0，由两平行直线的距离公式可得故答案为：【点评】本题考查了两条平行直线的距离，属基础题5（3分）过点（1，）且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为x+4y20【分析】根据题意，设直线在x轴上的截距为a，则其在y轴上的截距为，即可得直线的方程为+1，即+ay1，将点的坐标代入直线方程，计算可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设直线在x轴上的截距为a，则其在y轴上的截距为，（a0），则直
9、线的方程为+1，即+ay1，又由直线经过点（1，），则有+1，解可得a2，则直线的方程为+2y1，即x+4y20；故答案为：x+4y20【点评】本题考查直线的截距式方程，关键是设出直线的方程，属于基础题6（3分）若将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为8cm2【分析】根据题意知圆柱的底面圆半径r和母线长l，再计算圆柱的侧面积【解答】解：将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的底面圆半径为r2cm，母线长为l2cm则圆柱的侧面积为S侧2rl2228（cm2）故答案为：8【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题7（3分）已知三个不
10、同的点O（0，0），A（sin，sin），B（8，5）在同一条直线上，则cos的值是【分析】根据题意，由三点共线可得KOAKOB，即，变形可得cos，由二倍角公式分析可得答案【解答】解：根据题意，三个不同的点O（0，0），A（sin，sin），B（8，5）在同一条直线上，则KOAKOB，即，变形可得cos，则cos2cos21，故答案为：【点评】本题考查三点共线的问题，涉及直线的斜率计算，属于基础题8（3分）将函数f（x）cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（0）的值为【分析】将f（x）平移后得到g（x）cos（2x+），然后求出g（0）即可【解答】解：将
11、函数f（x）cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得，g（x）cos2（x+）cos（2x+），g（0）cos，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的平移变换和三角函数求值问题，属基础题9（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B，当ABC的面积等于时，b【分析】由acsinB，可求c4，由余弦定理可求b的值【解答】解：由题意，可得：acsinB，即 1c，c4，由余弦定理，得b2a2+c22accos1+16413，b故答案为：【点评】该题考查余弦定理及其应用，考查三角形面积公式，考查学生的运算能力，属于基础题10（3分）已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同
12、的直线，有如下四个命题：若l，l，则； 若l，则l；若l，l，则； 若l，则l其中真命题为（填所有真命题的序号）【分析】，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误【解答】解：对于，当l，l时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知，正确；对于，l，时，有l或l，错误；对于，l，l时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知，正确；对于，l，时，有l或l或l或l与相交，错误综上，以上真命题为故答案为：
13、【点评】本题考查了利用符号语言表示的线面、面面垂直与平行的应用问题，是基础题11（3分）点（5，2）到直线（m1）x+（2m1）ym5的距离的最大值为【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解【解答】解：化直线（m1）x+（2m1）ym5为m（x+2y1）xy+50，联立，解得直线（m1）x+（2m1）ym5过定点（9，4），点（5，2）到直线（m1）x+（2m1）ym5的距离的最大值为故答案为：【点评】本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题12（3分）如图，在边长为2的正方体中，M为楼AB的中点，则二面角B1CMB的正切值是【分析】以D为原点，DA为
14、x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1CMB的正切值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），M（2，1，0），（2，1，0），（2，0，2），设平面CMB1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），平面CBM的法向量（0，0，1），设二面角B1CMB的平面角为，则cos，tan二面角B1CMB的正切值为故答案为：【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题13
15、（3分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，CC13，点D为侧棱BB1上的一个动点，当AD+DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为【分析】将正三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，当AD+DC1最小时，BD，此时三棱锥DABC1的体积，由此能求出结果【解答】解：将正三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，ABBC2，BB1CC13，ABC60，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，BD，点C1到平面ABD的距离d，此时三棱锥DABC1的体积：2故答案为：【点评】
16、题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题14（3分）已知关于x的方程sinxcos2x+1a0（aR）在区间0，3上共有n（nN*）个互不相同的实数根x1，x2，xn，当x1+x2+xn取得最小值时，实数a的取值集合为，2【分析】本题可根据两个函数之间的对应关系由a反向去思考根的所有和的情况，再根据根的和的最小值可推出a的取值集合【解答】解：由题意，asin2x+sinx令tsinx，则af（t）t2+t（t+）2x0，3，sinx1，1，即t1，1af（t
17、）函数图象如下：tsinx函数图象如下：联系两个函数图象，对a分类谈论如下，当a2时，则t1，即sinx1，则此时有两个根：x1，x2x1+x23当0a2时，0t1，即0sinx1且sinx只有一个值则此时有四个根x1，x2，x3，x4且，x1+x2+x3+x46当a0时，则t1，或t0即sinx1，或sinx0则此时有五个根：x1，x20，x3，x42，x53x1+x2+x3+x4+x5当a0时，一个a对应两个t值：t1，t2且1t1t20则有sinx1t1，sinx2t1及sinx3t2，sinx4t2很明显x1+x2+x3+x46当a时，t，sinx，则此时有两个根：x1，x2很明显x1
18、+x23x1+x2+xn取得最小值为3，此时a或2故答案为：，2【点评】本题主要考查对应思想的应用，数形结合、分类讨论方法的掌握本题属较难题二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，D，E分别是AB，B1C的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）若DEAB，求证：ABB1C【分析】（1）连结BC1，AC1，由三角形中位线定理可得DEAC1，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得CDAB，结合DEAB，由线面垂直的判定定理可得AB平面CDE，再由线面垂直的性质可得结论【解答】证明：（
19、1）连结BC1，AC1，ABCA1B1C1是斜三棱柱，四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1 的中点，点D是AB的中点，DEAC1，又DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，DE平面ACC1A1；（2）连结CD，CACB，点D是AB的中点，CDAB，又DEAB，DECDD，DE平面CDE，CD平面CDE，AB平面CDE，B1C平面CDE，ABB1C【点评】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题16已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c（1）求A的值；（2）若c，
20、cosB，求a的值【分析】（1）由（sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c，利用正弦定理可得b2+c2a2bc，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得sinB的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得sinC的值，再由正弦定理可得结果【解答】解：（1）（sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c（a+b）（ab）（cb）c，b2+c2a2bc，在ABC中，由余弦定理得，将b2+c2a2bc代入上式，得，A（0，），A（2）由B（0，），得，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，由正弦定理得【点评】本题主要考查
21、了正弦定理，余弦定理和三角函数的化简求值等，考查了计算能力，属于中档题17已知函数f（x）2sin2x+2sinxcosx+a（其中aR），且f（0）（1）求a的值，并求f（x）在，上的值域；（2）若f（x）在0，上有且只有一个零点，0，求的取值范围【分析】（1）化简f（x），根据f（0），得出a的值；（2）根据x的范围得到的范围，由条件可得，解不等式即可【解答】解：（1）f（x）2sin2x+2sinxcosx+af（0），f（0），即a；（2）令f（x）0，则，x0，f（x）在0，上有且只有一个零点，的取值范围为：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属基础
22、题18如图，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，APB90，M是CD的中点（1）在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l；（2）求证：APBC；（3）当AP2时，求PC与平面ABCD所成角的正切值【分析】（1）延长AM与BC交于点Q，连接PQ，直线PQ即为所求交线l；（2）由正方形的性质可得ABBC，由面面垂直的性质可得，BC平面PAB，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点P作PHAB于点H，连接CH，由面面垂直的性质可得PH平面ABCD则PCH即为PC与平面ABCD所成的角，利用直角三角形的性质可得结果【解答】解：（1）如图，延长AM与BC交于点Q，连接PQ，直
23、线PQ即为所求交线l证明：（2）因为四边形ABCD是正方形，所以ABBC又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，所以BC平面PAB，又AP平面PAB，所以APBC解：（3）如图，过点P作PHAB于点H，连接CH，因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PHAB，PH平面PAB，所以PH平面ABCD所以PCH即为PC与平面ABCD所成的角，在APB中，APB90，AP2，AB4，所以PB2，PAB60，从而PH，BH3，在RtBCH中，CH5，所以tan【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题解答空
24、间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理19国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警告如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s，一艘外轮在P点满足BAP，ABP（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当+时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，先由正弦定理求得BP，再利用直角三角形的性质可得xPQ，根据xd即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以
25、及两角和与差的正弦公式将函数化为sin（2）+，然后解不等式sin（2）+，进而可得结果【解答】解：（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，在ABP中，sinAPBsin（）sin（+），由正弦定理得，所以BP，在RtBPQ中，xPQBPsin（）BPsin，当xd，即时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域（2）当+时，sinsin（）sin（cos）（sincos+sin2）sin（sin2+）sin（2）+，要使不被警告，则，即sin（2）+，解得sin（2），所以2k+22k+，kZ，即k+k+，kZ，又因为，所以当（，）时可以避免使外轮进入被警告区域【点评】本题主要考查正弦定理的
26、应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径20已知直线l1：mxy+m0，l2：x+mym（m+1）0，l3：（m+1）xy+（m+1）0，记l1l2A，l2l3B，l3l1C（1）当m2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；（2）在ABC中，求BC边上中线长的最小值；（3）求ABC面积的取值范围【分析】（1）当m2时，直线 l1 的方程为：l1 2xy+20，设原点
27、关于直线 l1 的对称点为 （x0，y0），利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）l1：mxy+m0 l2：x+mym（m+1）0 l3：（m+1）xy+（m+1）0 记：l1l2Al2l3Bl3l1C，先证明l1l2，可得ABC为直角三角形故ABC为直角三角形，且BC为斜边，中线长为BC，再求得得l1与 l3的交点C（1，0），得l3与l2的交点B（0，m+1），利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得得l1与l2的交点的坐标，可得AB长，再求得点C（1，0）到l2的距离d，求ABC的面积的取值范围则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果【解答】解：（1）当
28、m2时，直线 l1 的方程为：l1 2xy+20，且斜率k12，设原点关于直线 l1 的对称点为 （x0，y0），则由 斜率与中点坐标公式列方程得：，解得：，故所求点的坐标为（2）法一：由m1+（1）m0，得l1l2，故ABC为直角三角形，且BC为斜边，中线长为BC，由，得l1与 l3的交点C（1，0），由，得l3与l2的交点B（0，m+1），故中线长BC，即当m1时，中线长有最小值为法二：因为点B是y轴上动点，所以当BC垂直y轴时BC最短，此时中线长最小值为（3）由，得l1与l2的交点为：A，由两点间距离公式得AB，点C（1，0）到l2的距离
29、为：，三角形面积，当m0时，有 0，；当m0时，有 ；当m0时，所以，答：故答案为（1）所求点的坐标为（2）最小值（3）【点评】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型P（x，y）关于直线l的对称点p（m，n），利用，且 点 在对称轴l上，列方程组求解即可，求出对称点p（m，n）；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解（3）求面主要采用分类讨论，利用基本不等式求解，属于中档题，综合题
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