1、2018-2019学年江苏省南京市玄武区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共4小题每小题5分计20分，不需写出解答过程，请把答案填涂在答题纸指定位置上1（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）|x|，g（x）Bf（x）x2，g（x）Cf（x）x，g（x）2Df（x）lgx2，g（x）2lgx2（5分）方程2x2x的根所在区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）3（5分）下列函数中在（，0）上单调递减的是（）Af（x）（x+1）2Bf（x）Cf（x）2xDf（x）log（x）4（5分）设集合A1，2，集合B1，2，3，4，若AC，CB，则满足题意的集合C的个
2、数有（）A3个B8个C9个D12个二、填空题：本大题共10小题每小题5分计50分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上5（5分）已知幂函数的图象过点（4，2），则这个函数的单调区间是 6（5分）设函数f（x）3ax+11（a0，a1）恒过定点（m，n），则m+n 7（5分）已知函数f（x）log2|x+m|是偶函数，则f（4） 8（5分）函数的定义域是 9（5分）已知ae2，blog3，clog56，则a，b，c三个数从小到大依次排列为 10（5分）化简：（ab）6b2 11（5分）求值：（log63）2+log62log63+log62 12（5分）已知奇函数yf（x），当x0时
3、，图象是一个如图所示的二次函数的图象的一部分，则当x0时，f（x）的解析式为f（x） 13（5分）已知函数f（x），若方程f（x）a0有两个不同的解，则实数a的取值范围是 14（5分）已知函数f（x）x|x|+1og2+x2，x（3，3），若f（a）+f（a2）2a24a+4，则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，记90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）设UR，Ax|lgx1，Bx|（）x求：（1）AB；（2）（UA）（UB）16（14分）已知函数f（x）x+a|x1|（1）把f（x）写成分段函数的形式；（2）当a2时，
4、画出函数f（x）的图象；（3）若函数f（x）在（，+）上单调递增，求实数a的取值范围17（14分）已知函数f（x）（a0，a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明：对任意xR，都有1f（x）118（16分）如图所示，某企业在一边靠墙的地方（原有墙足够长），用建墙来围成一块矩形场地，根据场地内不同功能的需要，在场地中间要再建3道隔墙，把所围场地分成4个面积相等的小矩形，设所建墙的总长度为200米，如果新建墙的人工费为100元/米，场地内地面整理费50元/米2，用原有墙的部分无人工费，所建墙的宽度忽略不计，设与原有墙垂直的矩形的一边长为x米，建场地的总人工费为y元（1）写出y（单位：元）关
5、于边长x（单位：米）的函数解析式，并求出定义域；（2）是否存在人工费为95000元的建墙方案？并说明理由；（3）该企业至少需要预备多少人工费，才能保证无论怎么建墙都够这项支出？19（16分）已知数f（x）lnx，g（x）2（1）当x2，+）时，求函数yfg（x）的值域；（2）证明：函数h（x）f（x）+g（x）有唯一零点20（16分）已知函数f（x）x2+ax+b，x1，1（1）当ba时，求f（x）的最小值g（a）；（2）设|f（x）|的最大值为，求a，b的值2018-2019学年江苏省南京市玄武区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共4小题每小题5分计20分，不需写出解
6、答过程，请把答案填涂在答题纸指定位置上1（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）|x|，g（x）Bf（x）x2，g（x）Cf（x）x，g（x）2Df（x）lgx2，g（x）2lgx【分析】通过求函数的定义域，可发现选项B，C，D的两函数的定义域不同，不是同一函数，从而判断B，C，D都错误，只能选A【解答】解：Af（x）|x|的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，表示同一函数；Bf（x）x2的定义域为R，的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数；Cf（x）x的定义域为R，的定义域为（0，+），定义域不同，不是同一函数；Df（x）lgx2的定义域为x|x0，g（x）2
7、lgx的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数故选：A【点评】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同2（5分）方程2x2x的根所在区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】利用函数零点的判定定理即可判断出【解答】解：令f（x）2x+x2，则f（0）1210，f（1）2+1210，f（0）f（1）0，函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，又2x0，ln20，f（x）2xln2+10，函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点综上可知：函数f（x）2x+x2在R有且只有一个零点x0，且x0（0，1）即方程2x2x的根所在区间是（0，
8、1）故选：B【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键属于基础题3（5分）下列函数中在（，0）上单调递减的是（）Af（x）（x+1）2Bf（x）Cf（x）2xDf（x）log（x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）（x+1）2，为二次函数，在（，1）上单调递减，（1，+）上递增，不符合题意，对于B，f（x），设t1x，则y，设（，0）上，t1x为减函数，y为减函数，则f（x）在（，0）上单调递增，不符合题意；对于C，f（x）2x，在（，0）上单调递减，符合题意；对于D，f（x）log（x），设tx，y，在tx在（
9、，0）上为减函数，y在（0，+）上为减函数，则f（x）log（x）在（，0）上上为增函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及复合函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题4（5分）设集合A1，2，集合B1，2，3，4，若AC，CB，则满足题意的集合C的个数有（）A3个B8个C9个D12个【分析】根据条件CB，AC，列出子集即可【解答】解：AC，CB，C1，2，1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，1，2，3，4，共12个故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键二、填空题：本大题
10、共10小题每小题5分计50分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上5（5分）已知幂函数的图象过点（4，2），则这个函数的单调区间是0，+）【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，再判断它的单调区间【解答】解：设幂函数的解析式为yx，R，其图象过点（4，2），42，解得，y，x0，+），则这个函数的单调区间是0，+）故答案为：0，+）【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题6（5分）设函数f（x）3ax+11（a0，a1）恒过定点（m，n），则m+n1【分析】运用指数函数的性质可解决此问题【解答】解：根据题意，令x+10则，x1，f（1）312，f（x）3ax+11（
11、a0，a1）恒过定点（1，2），m1，n2，m+n1+21，故答案为：1【点评】本题考查指数函数的性质的简单应用7（5分）已知函数f（x）log2|x+m|是偶函数，则f（4）2【分析】根据偶函数的性质得m0，再代入x4可得【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）f（x），即log2|x+m|log2|x+m|，即|x+m|x+m|，即4mx0对定义域内的任意x都成立所以m0，所以f（x）log2|x|，所以f（4）log2|4|2，故答案为：2【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题8（5分）函数的定义域是0，1）（1，+）【分析】根据函数有意义的条件可得，解不等式可求答案【
12、解答】解：根据函数有意义的条件可得，即故答案为：0，1）（1，+）【点评】本题主要考查了含有根式与分式的函数的定义域的求解，属于基础试题9（5分）已知ae2，blog3，clog56，则a，b，c三个数从小到大依次排列为bac【分析】利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质分别半径a，b，c与0和1的大小得答案【解答】解：0ae2e01，blog3，clog56log551，bac故答案为：bac【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题10（5分）化简：（ab）6b2a3【分析】直接由有理指数幂的运算性质求解即可【解答】解：（ab）6b2a3b2b2a3故答案为：a3【点
13、评】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题11（5分）求值：（log63）2+log62log63+log621【分析】利用对数性质及运算法则直接求解【解答】解：（log63）2+log62log63+log62log63（log63+log62）+log62log63+log621故答案为：1【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）已知奇函数yf（x），当x0时，图象是一个如图所示的二次函数的图象的一部分，则当x0时，f（x）的解析式为f（x）x23x2【分析】据题意可得出，x0时，f（x）的图象是二次函数图象的一部分，并且过点
14、（1，0），（2，0），（0，2），从而可设x0时，f（x）ax2+bx+c，将三点（1，0），（2，0），（0，2）带入解析式即可得出关于a，b，c的方程，解出a，b，c即可【解答】解：根据题意知，x0时，f（x）的图象是二次函数图象的一部分，且过点（1，0），（2，0），（0，2）；设x0时，f（x）ax2+bx+c；解得a1，b3，c2；x0时，f（x）x23x2故答案为：x23x2【点评】考查奇函数图象的对称性，二次函数的一般形式，待定系数法求函数的解析式13（5分）已知函数f（x），若方程f（x）a0有两个不同的解，则实数a的取值范围是0a1【分析】方程f（x）a0的解的个数即函数f
15、（x）的图象与直线ya的交点个数，作出yf（x）的图象，再画直线ya，观察即可求解【解答】解：方程f（x）a0的解的个数即函数f（x）的图象与直线ya的交点个数，由上图可知，函数f（x）的图象与直线ya的交点个数为2个时，实数a的取值范围是：0a1，故实数a的取值范围是：0a1，故答案为：0a1【点评】本题考查了方程与函数的相互转化，重点考查了作图能力，属中档题14（5分）已知函数f（x）x|x|+1og2+x2，x（3，3），若f（a）+f（a2）2a24a+4，则实数a的取值范围是（1，1）【分析】根据题意，设g（x）x|x|+1og2，分析可得g（x）为奇函数且在在（3，3）上为减函数，
16、又由f（a）+f（a2）g（a）+g（a2）+a2+（a2）2g（a）+g（a2）+2a24a+4，则f（a）+f（a2）2a24a+4g（a）+g（a2）0，结合函数g（x）的奇偶性与单调性可得g（a）+g（a2）0g（a）g（a2）g（a）g（2a），解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：函数f（x）x|x|+1og2+x2，设g（x）x|x|+1og2，有g（x）（x）|x|+1og2（x|x|+1og2）g（x），则g（x）在（3，3）上为奇函数，g（x），则g（x）为减函数；又由f（a）+f（a2）g（a）+g（a2）+a2+（a2）2g（a）+g（a2）+2a24a+4，则f（
17、a）+f（a2）2a24a+4g（a）+g（a2）0，则g（a）+g（a2）0g（a）g（a2）g（a）g（2a），解可得：1a1；故a的取值范围为（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查的奇偶性以及单调性的应用，注意函数的定义域，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，记90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）设UR，Ax|lgx1，Bx|（）x求：（1）AB；（2）（UA）（UB）【分析】（1）由指数，对数不等式的解法可得：A（，+），B（，2，则AB（，2，（2）由集合的运算（UA）（UB）U（AB），结合（1）可得：（UA
18、）（UB）（，（2，+）【解答】解：（1）因为lgx1，所以x，即A（，+），因为（）x，所以x2，即B（，2，故AB（，2，（2）因为（UA）（UB）U（AB），又因为AB（，2，所以（UA）（UB）（，（2，+），故（UA）（UB）（，（2，+）【点评】本题考查了指数，对数不等式的解法及集合的混合运算，属简单题16（14分）已知函数f（x）x+a|x1|（1）把f（x）写成分段函数的形式；（2）当a2时，画出函数f（x）的图象；（3）若函数f（x）在（，+）上单调递增，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，由函数的解析式分析，将函数的解析式写成分段函数的形式即可得答案；（2）根据题意，
19、当a2时，f（x）x+2|x1|，作出其图象即可得答案；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）x+a|x1|，写成分段函数的形式为f（x），（2）当a2时，f（x）x+2|x1|，其图象如图：；（3）若函数f（x）在（，+）上单调递增，必有，解可得：1a1，即a的取值范围为（1，1）【点评】本题考查分段函数的解析式以及单调性的判定，注意分段函数分段分析17（14分）已知函数f（x）（a0，a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明：对任意xR，都有1f（x）1【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f（x）（）f（x）
20、，即可得函数的奇偶性；（2）根据题意，将函数的解析式变形可得ax，结合指数函数的性质可得0，解可得y的取值范围，即可得结论【解答】解：（1）根据题意，函数f（x），则f（x）（）f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）证明：根据题意，函数yf（x），变形可得ax，又由ax0，则有0，解可得：1y1，故对任意xR，都有1f（x）1【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的值域，属于基础题18（16分）如图所示，某企业在一边靠墙的地方（原有墙足够长），用建墙来围成一块矩形场地，根据场地内不同功能的需要，在场地中间要再建3道隔墙，把所围场地分成4个面积相等的小矩形，设所建墙的总长度为
21、200米，如果新建墙的人工费为100元/米，场地内地面整理费50元/米2，用原有墙的部分无人工费，所建墙的宽度忽略不计，设与原有墙垂直的矩形的一边长为x米，建场地的总人工费为y元（1）写出y（单位：元）关于边长x（单位：米）的函数解析式，并求出定义域；（2）是否存在人工费为95000元的建墙方案？并说明理由；（3）该企业至少需要预备多少人工费，才能保证无论怎么建墙都够这项支出？【分析】（1）结合题意求出y关于边长x的函数解析式即可，求出定义域；（2）代入y的值，求出对应的x的值即可；（3）求出函数的对称轴，求出函数的最大值即可【解答】解：（1）y200100+50x（2005x）250x2+1
22、0000x+20000，x应满足，故定义域是（0，40）；（2）令y95000，化简得x240x+3000，解得：x10或x30，故x10或x30时人工费为95000元；（3）函数的对称轴是x20，故最大值是120000，故至少应预备120000元【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及函数的应用，是一道常规题19（16分）已知数f（x）lnx，g（x）2（1）当x2，+）时，求函数yfg（x）的值域；（2）证明：函数h（x）f（x）+g（x）有唯一零点【分析】（1）运用反比例函数和对数函数的单调性可得所求值域；（2）判断h（x）在x0递增，计算h（1），h（）的符号，结合
23、函数零点存在定理即可得证【解答】解：（1）由f（x）lnx，g（x）2，可得fg（x）ln（2），由x2，+），可得2，2），可得fg（x）的值域为ln，ln2）；（2）证明：函数h（x）f（x）+g（x）lnx+2，x0时，ylnx+2，y都为增函数，即有h（x）在x0递增，且h（1）ln1+2110，h（）ln+2e0，可得h（x）在x0有且只有一个零点【点评】本题考查函数的值域和两点个数问题，考查对数函数的单调性和函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于基础题20（16分）已知函数f（x）x2+ax+b，x1，1（1）当ba时，求f（x）的最小值g（a）；（2）设|f（x）|的最大值为
24、，求a，b的值【分析】（1）讨论对称轴x与区间1，1的端点的三种位置关系；（2）根据绝对值不等式的性质：|f（1）+f（1）2f（0）|f（1）|+|f（1）|+2|f（0）|2（当且仅当|f（1）|f（0）|f（1）|时取等【解答】解：（1）f（x）x2+ax+a，对称轴为x，当1即a2时，g（a）f（1）1；当1，即a2时，g（a）f（1）1+2a；当11即2a2时，g（a）f（）a；综上，g（a），（2）注意到f（1）+f（1）2f（0）2，所以|f（1）+f（1）2f（0）|2，又因为|f（1）+f（1）2f（0）|f（1）|+|f（1）|+2|f（0）|2（当且仅当|f（1）|f（0）|f（1）|时取等，所以|f（1）|f（1）|f（0）|，即|a+b+1|a+b1|b|，解得a0，b【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属中档题
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