1、2017-2018学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A2，3，Ba，5，若集合AB中有3个元素，则a（）A2B3C5D2或32（5分）已知点A（2，1），B（2，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A2xy+20Bx+2y40C2x+y20D2xy+103（5分）函数f（x）+ln（32x）的定义域为（）A1，）B（1，）C1，D（，+）4（5分）已知x，yR且xy0，则（）A0Bx3y3C（）x（）y0Dlgx+lgy05（5分）若直线l：xy10始终平分圆M：
2、x2+y22ax+4y30的周长，则a的值为（）A2B1C2D46（5分）已知函数f（x）ex（）x（e2.71828），则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数7（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）AB3CD8（5分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABBC，ADDC2，CB，动点P从点A出发，按照ADCB路径沿边运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y，则函数yf（x）的图象大致是（）ABCD9（5分）我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂
3、势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AOB的半径为3，圆心角为90，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A3B6C9D2710（5分）已知函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（0，1C（1，）D（0，11（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：AC平面ADF；平面AGF平面BCED；动点
4、A在平面ABC上的射影在线段AF上；异面直线AE与BD不可能垂直其中正确命题的个数是（）A1B2C3D412（5分）已知点P（x，y）是直线2xy+40上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2+2y0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）A2BC2D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在空间直角坐标系中，已知A（1，2，1），B（3，2，5），P是AB的中点，则点P到坐标原点的距离为 14（5分）给定集合A2，1，2，B1，2，5，6，定义一种新运算：ABx|xA或xB，且xAB，试用列举法写出AB
5、15（5分）已知点A（3，0），B（1，2），若圆C：（x3）2+（y4）2r2（r0）与以线段AB为直径的圆相外切，则实数r的值是 16（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：2.13，3.13，已知函数f（x），则函数yf（x）的值域是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知集合Ax|（xa）（xa+1）0，Bx|（x2）（xb）0（b2），Cx|12x35（1）若AB，求b的
6、值；（2）若ACC，求a的取值范围18（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（4，3），C（1，2）（1）在ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求ABC的面积19（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示销售单价/元66.577.588.5日均销售量/桶480460440420400380请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？20（12分）已知四边形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，ADDC，ABDC，ABADDC（1）证明：B
7、C平面BDE；（2）M为线段AD上的点，且AMMD，N是线段DE上一点，且DNNE，求证：MN平面BCE21（12分）已知函数f（x）（mR）（1）当m3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当m1时，判断并证明函数f（x）在R上的单调性22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay0（a0），直线l：x7y20，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B（1）若a4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2，求圆M的方程2017-2018学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60
8、分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A2，3，Ba，5，若集合AB中有3个元素，则a（）A2B3C5D2或3【分析】由并集和元素的互异性可得【解答】解：集合AB中有3个元素，a2或3故选：D【点评】此题考查了并集及其运算，集合的三要素，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）已知点A（2，1），B（2，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A2xy+20Bx+2y40C2x+y20D2xy+10【分析】根据经过两点直线的斜率公式，算出AB的斜率k，从而得到垂直平分线的斜率k12再利用线段的中点坐标公式算出AB的中点为（0，2），由直线的点斜式方程列式并
9、化简，即可得到线段AB的垂直平分线的方程【解答】解：设线段AB的垂直平分线为l，点A（2，1），B（2，3），AB的斜率k，AB的中点坐标为（2+），（1+3），即（0，2）直线l经过AB的中点与AB垂直，直线l的斜率k121，可得l的方程为y22x，化简得2xy+20即线段AB的垂直平分线的方程是2xy+20故选：A【点评】本题给出线段AB的坐标，求线段的垂直平分线的方程着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系及其应用等知识，属于基础题3（5分）函数f（x）+ln（32x）的定义域为（）A1，）B（1，）C1，D（，+）【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围
10、即可【解答】解：要使f（x）有意义，则；解得；f（x）的定义域为故选：B【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，区间表示集合的方法4（5分）已知x，yR且xy0，则（）A0Bx3y3C（）x（）y0Dlgx+lgy0【分析】x，yR，且xy0，可得：0，x3y3，（）x（）y0，lgx+lgy与0的大小关系不确定，即可判断出结论【解答】解：x，yR，且xy0，则0，x3y3，（）x（）y0，lgx+lgy与0的大小关系不确定故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）若直线l：xy10始终平分圆M：x2+y22ax+4y30
11、的周长，则a的值为（）A2B1C2D4【分析】把圆M化为标准方程，可得圆心坐标，再把圆心坐标代入直线l求解即可【解答】解：圆M：x2+y22ax+4y30可化为（xa）2+（y+2）2a2+7，由题意可得，直线l：xy10始终经过圆心（a，2），把圆心（a，2）代入直线l：xy10中，解得a1故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题6（5分）已知函数f（x）ex（）x（e2.71828），则f（x）（）A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）exex，则有f（x
12、）exex（exex）f（x），则可得函数的奇偶性，求出函数的导数，结合函数的导数与函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）ex（）xexex，则f（x）exex（exex）f（x），则函数f（x）为奇函数，f（x）ex+ex0，则函数f（x）为增函数；故选：B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，注意单调性的判断方法，属于基础题7（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）AB3CD【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，计算四个侧面的面积进行比较【解答】解：作出三棱锥PABC的直观图如图所示，过A作ADBC，垂足为D，连结PD由三视图可知PA平
13、面ABC，BDAD1，CDPA2，BC3，PDAC，ABBCPDSABC，SABP，SACP，SBCP三棱锥PABC的四个面中，侧面PBC的面积最大故选：C【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，面积计算，作出直观图是解题关键，属于中档题8（5分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABBC，ADDC2，CB，动点P从点A出发，按照ADCB路径沿边运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y，则函数yf（x）的图象大致是（）ABCD【分析】结合P点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可；【解答】解：P点在AD上时，APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增；排除C，D，
14、P点在DC上时，APB是底边AB不变，高不变，图象是水平一条直线；P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数，故选：D【点评】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题9（5分）我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AOB的半径为3，圆心角为90，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A3B6C9D
15、27【分析】阴影部分旋转后所得几何体是以OA3为半径的半球减去以OA3为底面图半径，以OB3为高的圆锥体的体积，由此能求出不规则几何体的体积【解答】解：阴影部分旋转后所得几何体是以OA3为半径的半球减去以OA3为底面图半径，以OB3为高的圆锥体的体积，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为：V9故选：C【点评】本题考查不规则几何体的体积的求法，考查祖暅原理、球、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（5分）已知函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（0，1C（1，）D（0，【分析】根据分段函数
16、的值域为R，具有连续性，由ylog2x是增函数，可得yax4a+3也是增函数，故得2a4a+3log22，可得答案【解答】解：函数f（x）的值域为R，由ylog2x是增函数，yax4a+3也是增函数，故得a0，解得：a2，函数f（x）的值域为R，2a4a+3log22，解得：a1实数a的取值范围是（0，1故选：B【点评】本题考察了分段函数的性质的运用能力和计算能力属于中档题11（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：AC平面ADF；平面AGF平面BCED；动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；异面直线AE与
17、BD不可能垂直其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】由题意，判断AC平面ADF，正确；判断平面AGF平面BCED，正确；判断A在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；（AE）2+EF2（AF）2时异面直线AE与BD垂直，错误【解答】解：由题意知，ACDF，AC平面ADF，DF平面ADF，AC平面ADF，正确；平面AGF过平面BCED的垂线，恒有平面AGF平面BCED，正确；ADAE，ABC是正三角形，A在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；当（AE）2+EF2（AF）2时，异面直线AE与BD垂直，错误；综上，正确的命题序号是故选：C【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定
18、理的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题12（5分）已知点P（x，y）是直线2xy+40上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2+2y0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）A2BC2D4【分析】当PC与直线2xy+40垂直时，PA最小，故而四边形PACB的面积最小【解答】解：由x2+y2+2y0，得x2+（y+1）21，则圆C的半径为r1，圆心为C（0，1），PA，又P在直线2xy+40上，PC的最小值为C到直线2xy+40的距离d，PA的最小值为2，四边形PACB的面积的最小值为2122故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离
19、公式的应用，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在空间直角坐标系中，已知A（1，2，1），B（3，2，5），P是AB的中点，则点P到坐标原点的距离为【分析】根据中点坐标公式求出点P的坐标，再求P到坐标原点的距离【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，1），B（3，2，5），P是AB的中点，则点P（2，0，3）P到坐标原点的距离为|OP|故答案为：【点评】本题考查了中点坐标公式与两点间的距离公式应用问题，是基础题14（5分）给定集合A2，1，2，B1，2，5，6，定义一种新运算：ABx|xA或xB，且xAB，试用列举法写出AB2，5，6【分析】根据题意求
20、出AB，再用列举法写出AB【解答】解：集合A2，1，2，B1，2，5，6，AB1，2，用列举法写出AB2，5，6故答案为：2，5，6【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题15（5分）已知点A（3，0），B（1，2），若圆C：（x3）2+（y4）2r2（r0）与以线段AB为直径的圆相外切，则实数r的值是5【分析】根据题意，设AB的中点为M，求出M的坐标以及|AB|的值，分析可得以线段AB为直径的圆的圆心为M，半径R|AB|，由圆与圆的位置关系可得r+Rr+5，计算可得r的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设AB的中点为M，点A（3，0），B（1，2），则M的坐标为（1，1），|AB|
21、2，以线段AB为直径的圆的圆心为M，半径R|AB|，若圆C：（x3）2+（y4）2r2（r0）与以线段AB为直径的圆相外切，则有r+Rr+5，则r5；故答案为：5【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析以线段AB为直径的圆的圆心与半径，属于基础题16（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：2.13，3.13，已知函数f（x），则函数yf（x）的值域是1，0，1【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数yf（x）的值域【解答】解：f（x）（，）当x（，0）
22、时，yf（x）1；当x0，1）时，yf（x）0；当x1，）时，yf（x）1函数yf（x）的值域是1，0，1故答案为：1，0，1【点评】本题考查了新定义的理解和应用，训练了分离常数法求函数的值域，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知集合Ax|（xa）（xa+1）0，Bx|（x2）（xb）0（b2），Cx|12x35（1）若AB，求b的值；（2）若ACC，求a的取值范围【分析】（1）先求出Aa，a1，B2，b，从而由AB得出或，这样即可求出b；（2）先求出Cx|2x4，由ACC即可得到AC，从而得出，解出a的取值范围即可【解答】
23、解：（1）Aa，a1，B2，b；若AB则，或；b1，或3；（2）Cx|2x4；ACC；AC；3a4；a的取值范围是（3，4）【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，集合相等的概念，并集及子集的概念18（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（4，3），C（1，2）（1）在ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求ABC的面积【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而得到BC边上的高线斜率，由此能求出BC边上的高线所在的直线方程（2）求出|BC|和直线BC的方程，再求出A到直线BC的距离，由此能求出ABC的面积【解答】解：（1）直线BC的斜率kB
24、C1BC边上的高线斜率k1，BC边上的高线方程为：y2（x+3），BC边上的高线所在的直线方程为x+y+10（2）B（4，3），C（1，2），|BC|5，由B（4，3），C（1，2）得直线BC的方程为：xy10A到直线BC的距离d3，ABC的面积S15【点评】本题考查直线方程、三角形面积的求法，考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题19（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示销售单价/元66.577.588.5日均销售
25、量/桶480460440420400380请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【分析】根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，求出x的范围，利用y（52040x）x20040x2+520x200，0x13，求出函数的最值即可【解答】解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为48040（x1+52040x，由于x0，且5204x0，即0x13，于是，可得y（52040x）x20040x2+520x200，0x13，易知，当x65时，
26、y有最大值，所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润【点评】本题考查函数与方程的综合应用，实际问题的解决方法，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力20（12分）已知四边形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，ADDC，ABDC，ABADDC（1）证明：BC平面BDE；（2）M为线段AD上的点，且AMMD，N是线段DE上一点，且DNNE，求证：MN平面BCE【分析】（）推导EDDC，ED平面ABCD，EDBC取DC的中点G，连接BG，推导出四边形ABGD为平行四边形，求出DBBC，由此能证明BC平面BDE（）取DC的中点G，连接AG，在DC上取点P，使，连接NP，推导出PN
27、面BCE，连接MP，推导出MPAG由此能证明MN平面BCE【解答】证明：（）平面ABCD平面CDEF，平面ABCD平面CDEFCD，在正方形CDEF中，EDDC，ED平面ABCD，EDBC取DC的中点G，连接BG，DGDC，在四边形ABCD中，ABDC，AB，四边形ABGD为平行四边形，ABAD，BGDC，点B在以DC为直径的圆上，DBBC，又EDBDD，BC平面BDE（）如图，取DC的中点G，连接AG，在DC上取点P，使，连接NP，PNEC，PN面BCE，连接MP，G为DC中点，MPAG又ABCG，ABCG，ABCG为平行四边形，AGBC，MPBC，MP面BCE，又MPNPP，平面MNP平面
28、BCEMN平面MNP，MN平面BCE【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题21（12分）已知函数f（x）（mR）（1）当m3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当m1时，判断并证明函数f（x）在R上的单调性【分析】（1）根据题意，当m3时，f（x），求出f（x）的解析式，分析f（x）与f（x）的关系，即可得结论；（2）根据题意，设x1x2，用作差法分析f（x1）f（x2）0，结合函数单调性的定义分析可得结论【解答】解：（1）当m3时，f（x），f（x）为R上的奇函数证明如下：f（x），其定义域为R，则f（x）f（x），故函数f
29、（x）为奇函数；（2）当m1时，函数f（x）在R上单调递减，证明如下：f（x）1+，设x1x2，则f（x1）f（x2）（1+）（1+），又由x1x2，则0，则有f（x1）f（x2）0，即函数f（x）为R上的减函数【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，注意先分析函数的定义域，属于基础题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay0（a0），直线l：x7y20，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B（1）若a4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2，求圆M的方程【分析】（1）通过求圆心到直线距离，利用垂径定理即可得弦长；（2）直线l与圆联立得50y2+（28+a）y+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理代入求解即可【解答】解：（1）由题意知，a4时圆心M坐标为（0，2），半径为2，圆心到直线距离d，弦|AB|；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得50y2+（28+a）y+40（28+a）216500，则，于是a2圆的方程为x2+y2+2y0【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式以及韦达定理的应用，是中档题
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