1、2018-2019学年湖南省长沙一中高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式的解集为（）ABCD2（5分）sin45cos15cos45sin15等于（）A1BCD13（5分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD4（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是（）A，B+C+D+5（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ABycosxCyexDyln|x|6（5分）如图是一个几何体的三视图，图中每个小正方体边长均为，则该几何体的体积是（）A
2、BCD7（5分）函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）ABCD8（5分）已知|2，（+2）（）2，则与的夹角为（）A30B45C60D1209（5分），都是锐角，且，则sin的值是（）ABCD10（5分）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）ABC20D11（5分）定义在R上的函数yf（x）的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且f（1）1，f（0）1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）的值为（）A0B1C673D67312（5分）已知M，N是圆O：x2+y24上两点，点P（1，2），且0，则|的最小值为（）
3、ABCD二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13（5分）已知平面向量的夹角为，则 14（5分）求值：tan20+tan40+tan20tan40 15（5分）点A（1，2）在直线2axby+140（a0，b0）上，且点A始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）225的内部或圆上，那么的取值范围是 16（5分）已知函数，若存在互不相等实数a、b、c、d，有f（a）f（b）f（c）f（d），则a+b+c+d的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、）17（10分）（1）计算：（2）化简：18（12分）如图，在四边形ABCD中，ABC是边长为6的正三角形，设（x，yR）（1）若xy1，求|；（2）若36，54，求x，y19（12分）如图，某网络信息交换系统天监测的瞬时信息流量变化情况近似满足函数：yAsin（x+）+b（A0，0，0）（1）求出A、b的值，写出这段曲线的函数解析式；（2）若瞬时流量超过45GB，则该网络系统会拥堵，求一天中该网络会有多长时间出现拥堵？20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）若PCPA，PDAD，求证：平面BDE平面PAB21（1
5、2分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（xa）2+y24，直线l：yx+3（1）当a1时，若圆C与直线l交于A，B两点，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于D，E两点，求|DE|的值；（2）过直线l上的任意一点P作圆的切线PQ（Q为切点），若平面上总存在定点N，使得PQPN，求圆心C的横坐标的取值范围22（12分）已知aR，函数f（x）log2（+a）（1）当a1时，解不等式f（x）0；（2）若a0，不等式f（x）log2（x+）恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围2018-2019学年湖南省长沙一中高一（下）
6、第一次段考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式的解集为（）ABCD【分析】根据ysinx的图象与性质可得的解集【解答】解：，不等式的解集为：故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和三角不等式的解法，属基础题2（5分）sin45cos15cos45sin15等于（）A1BCD1【分析】根据两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：sin45cos15cos45sin15sin（4515）sin30故选：C【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公
7、式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题3（5分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求【解答】解：直线yx+1的斜率为，直线yx+1的倾斜角满足tan，60故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，属基础题4（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是（）A，B+C+D+【分析】根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则，对选项中的命题进行分析、判断即可【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，且，故A错误；+，且，故B错误；+，+，故C正确；+，故D错误故选：C【点评】本题考查了平行四边形
8、的性质以及平面向量的线性运算问题，是基础题目5（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ABycosxCyexDyln|x|【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可【解答】解：y在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除A；ycosx为偶函数，但在（0，+）上不单调，排除B；yex在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除C；yln|x|的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称，且ln|x|ln|x|，故yln|x|为偶函数，当x0时，yln|x|lnx，在（0，+）上递增，故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法6（5分
9、）如图是一个几何体的三视图，图中每个小正方体边长均为，则该几何体的体积是（）ABCD【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的三视图可知几何体的直观图如图：PA底面ABC，PA2，BC2，ABAC，则该几何体的体积是：故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7（5分）函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）ABCD【分析】由周期求出，由图象关于直线对称求出的值，可得f（x）的解析式中、，再利用函数yAsin（x+）的图象可得对称中心【解答】解：函数，它的最小正周
10、期为，可得：2，2函数图象对称为：2x+k，kZ；x+2k，kZ；由图象关于直线对称，即：+2k，kZ；求得：，函数f（x）Asin（2x），函数f（x）图象的对称中心横坐标为：2xk；kZ；x+；函数f（x）图象的一个对称中心是：（，0）故选：D【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题8（5分）已知|2，（+2）（）2，则与的夹角为（）A30B45C60D120【分析】把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得与的夹角【解答】解：由（+2）（）2，得，又|2，即cos，两向量夹角的范围为0，180，与的夹角为6
11、0故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求斜率的夹角，是中档题9（5分），都是锐角，且，则sin的值是（）ABCD【分析】将化为（+），再利用两角和与差三角函数公式计算即可【解答】解：，都是锐角，+（0，），cos，sin（+）sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin故选：C【点评】本题考查两角和与差三角函数公式，同角的三角函数基本关系式考查转化、计算能力属于中档题10（5分）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）ABC20D【分析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为2，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【
12、解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r，所以球的体积为：；故选：B【点评】本题考查球的小圆的半径、球心到该截面的距离、球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题11（5分）定义在R上的函数yf（x）的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且f（1）1，f（0）1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）的值为（）A0B1C673D673【分析】根据题意，分析可得函数f（x）是周期为3的周期函数，进而可得f（2）f（1）1，f（3）f（0）1，结合函数的对称性可得f（）f（1）1，进而可得f（1）的值，据此分析可得f（1
13、）+f（2）+f（3）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）673，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）满足，则f（x+3）f（x+）f（x），即函数f（x）是周期为3的周期函数，则f（2）f（1）1，f（3）f（0）1，又由函数yf（x）的图象关于点成中心对称，则f（）f（1）1，则f（1）f（）f（1）1，则有f（1）+f（2）+f（3）1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）673673；故选：D【点评】本题考查函数的周期性与对称性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题12（5分）已知M，N是圆O：x2+y24上两点，点P（1，2），且
14、0，则|的最小值为（）ABCD【分析】设R（x，y）是线段MN的中点，则ORMN，得到R（x，y）的轨迹是以C（，1）为圆心，r为半径的圆，结合图象求出其最小值即可【解答】解：如图所示：设R（x，y）是线段MN的中点，则ORMN，0，于是|PR|MN|RN|，在RTORN中，|ON|2，|OR|，|RN|RP|，由勾股定理得：22x2+y2+（x1）2+（y2）2，整理得+（y1）2，故R（x，y）的轨迹是以C（，1）为圆心，r为半径的圆，故|OR|max|OC|+r+，故|MN|min2|NR|min22，故选：B【点评】本题向量问题，考查勾股定理以及圆的性质，考查数形结合思想，转化思想，是
15、一道综合题二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13（5分）已知平面向量的夹角为，则2【分析】由已知求出，开方后得答案【解答】解：向量的夹角为，42故答案为：2【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题14（5分）求值：tan20+tan40+tan20tan40【分析】利用6020+40，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值【解答】解：tan60tan（20+40）tan20+tan40+tan20tan40故答案为：【点评】本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题15（5分
16、）点A（1，2）在直线2axby+140（a0，b0）上，且点A始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）225的内部或圆上，那么的取值范围是，【分析】由点A在直线2axby+140上，分析可得2a2b+140，即a+b7，又由点A（1，2）始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）225的内部或圆上，则有a2+b225；设k，即bak，据此可得，联立消去a，得关于k的不等式，求解即可得答案【解答】解：点A（1，2）在直线2axby+140（a0，b0）上，则有2a2b+140，即a+b7，又由点A（1，2）始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）225的内部或圆上，则有a2+b225，设k，即bak，
17、则有，变形可得，解得：k，即的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的应用，是中档题16（5分）已知函数，若存在互不相等实数a、b、c、d，有f（a）f（b）f（c）f（d），则a+b+c+d的取值范围是（2+e1+e4，1+e3）【分析】先作出函数f（x）的图象，根据图象的对称性进行求解【解答】解：由图可知，不妨设abcd，则a+b2，设f（c）f（d）m（1m2），则2lncm，lnc2m（4，3，e4ce3同理可得e1d1，所以e1+e42a+b+c+de31，故答案为（e1+e42，e31）【点评】本题考查分段函数与方程之间的转化关系，属于中档题目
18、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）计算：（2）化简：【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可【解答】解：（1）；（2）1【点评】本题考查运用诱导公式化简求值和同角三角函数的基本关系，考查了计算能了，属基础题18（12分）如图，在四边形ABCD中，ABC是边长为6的正三角形，设（x，yR）（1）若xy1，求|；（2）若36，54，求x，y【分析】（1）x，y1时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度，即求出的值；（2）可设BDd，DBC，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式
19、组，解该不等式组可求出d的大小，然后对两边平方即可得出；再根据该问的条件可得到方程xy1，这样两式联立即可求出x，y的值【解答】解：（1）如图，若xy1，则；BD过AC的中点E，且BD2BE6；即|；（2）设DBC，则DBA60，设BDd；由36，54得：；解得，cos，d2；即8436x2+36xy+36y2，整理得，x2+xy+y2；且18；x18x18y18；xy1；联立得，y（舍去），x【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及等边三角形的性质，向量数量积的运算及计算公式，消元法解方程组19（12分）如图，某网络信息交换系统天监测的瞬时信息流量变化情况近似满足函数：
20、yAsin（x+）+b（A0，0，0）（1）求出A、b的值，写出这段曲线的函数解析式；（2）若瞬时流量超过45GB，则该网络系统会拥堵，求一天中该网络会有多长时间出现拥堵？【分析】（1）由函数yAsin（x+）+b的部分图象知，A、b和T的值，再计算、，写出函数yf（x）的解析式；（2）令y45，求得x的取值范围，再根据0x24，即可得出满足条件的x的取值范围【解答】解：（1）由函数yAsin（x+）+b的部分图象知，A10，b40，又T2（148），由x8时，f（8）30，8+2k，kZ，解得+2k，kZ，又0，；yf（x）10sin（x+）+40，x0，24；（2）令y45，得sin（x+
21、），解得+2kx+2k，即12kx4+12k，kZ；当k0时，0x4，当k1时，12x16，所以（40）+（1612）8，即一天中该网络会有8小时出现拥堵【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数模型的应用问题，是基础题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）若PCPA，PDAD，求证：平面BDE平面PAB【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OEPC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PADE，再证明PAOE，可得PA平面
22、BDE，从而可得平面BDE平面PAB【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE因为ABCD是平行四边形，所以OAOC（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OEPC（4分）因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE（6分）（2）因为E为PA中点，PDAD，所以PADE（8分）因为PCPA，OEPC，所以PAOE因为OE平面BDE，DE平面BDE，OEDEE，所以PA平面BDE（12分）因为PA平面PAB，所以平面BDE平面PAB（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（xa）
23、2+y24，直线l：yx+3（1）当a1时，若圆C与直线l交于A，B两点，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于D，E两点，求|DE|的值；（2）过直线l上的任意一点P作圆的切线PQ（Q为切点），若平面上总存在定点N，使得PQPN，求圆心C的横坐标的取值范围【分析】（1）当a1时，联立直线与圆的方程求出A，B的坐标，再求出D，E的坐标，就可以算出|DE|；（2）设出P（m，m+3），N（x0，y0），由PQPN得|PQ|2|PN|2，得|PC|24|PN|2，再将此式坐标化，然后先对m恒成立，在对y0有解，就可以求出a的取值范围了【解答】解：（1）a1时，圆C：（x+1）2+y24，与直线l：yx
24、+3的交点A（3，0），B（1，2），直线AD：yx3，直线BE：yx+1，令x0，分别得y3，y1，D（0，3），E（0，1）|DE|4；（2）设P（m，m+3），定点N（x0，y0），由题意可得，PQCQ，|PQ|2|PC|2|CQ|2（ma）2+（m+30）24，|PN|2（mx0）2+（m+3y0）2，依题意对任意的m，都有|PQ|2|PN|2（ma）2+（m+30）24（mx0）2+（m+3y0）2（2x0+2y02a）m+6y0+4a2成立，消去x0并整理得：（3+a）y0+20对y0有解，所以（3+a）2420，解得：a或a故圆心C的横坐标a的取值范围是：（，323+2，+）【点
25、评】本题考查了直线和圆的方程的应用属难题22（12分）已知aR，函数f（x）log2（+a）（1）当a1时，解不等式f（x）0；（2）若a0，不等式f（x）log2（x+）恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围【分析】（1）由log2（0，得01，解得即可；（2）先满足定义域，x+0，再根据条件，即a，（3）分类讨论，分a4，a3，a3且a4进行分析【解答】解：（1）由log2（0，得01，解得x（，1）（2）由题意知，x+0，得x（0，+），又由题意可得，即a，又a，x（0，+），a，即0a4（3）（a4）x+2a5，（a4）x2+（a5）x10，当a4时，x1，经检验，满足题意；当a3时，x1+x21，经检验，满足题意；当a3且a4时，x21，x1x2，x1是原方程的解当且仅当0，即a2；x2是原方程的解当且仅当0，即a1于是满足题意的a1，2综上，a的取值范围为（1，23，4【点评】本题主要考查复合函数的性质，属于中等题
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