1、2018-2019学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的）1（5分）（）ABCD2（5分）sin140cos10+cos40sin350（）ABCD3（5分）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为4（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行如图所示的茎叶图是两
2、位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A甲的平均数大于乙的平均数B甲的中位数大于乙的中位数C甲的方差大于乙的方差D甲的极差小于乙的极差5（5分）要得到函数y2cos2x+sin2x的图象，只需将函数y2sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位6（5分）如图给出的是计算+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）Ai102Bi102Ci100Di1007（5分）如图所示，在ABC内机选取一点P，则PBC的面积不超过四边形ABPC面积的概率是（）ABCD8（5分）若sin（），则cos（+2）（）ABCD9（5分）已知边长为1的
3、菱形ABCD中，BAD60，点E满足，则的值是（）ABCD10（5分）已知，（0，），cos，cos（+），则角（）ABCD11（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F满足2，2，EF与AC交于点G，设，则（）ABCD12（5分）设f（x）asin2x+bcos2x，ab0，若f（x）|f（）|对任意xR成立，则下列命题中正确的命题个数是（）（1）f（）0；（2）|f（）|f（）|；（3）f（x）不具有奇偶性；（4）f（x）的单调增区间是kx+，kx+（kZ）；（5）可能存在经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分
4、）13（5分）平面向量，的夹角为120，若|2，|1，则|3| 14（5分）在ABC中，若，则C 15（5分）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本据中的最大值是 16（5分）如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|AC|1，A120，E，F分别是AB，AC上的点，且，（其中，（0，1），且+41，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则|的最小值为 三、
5、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知平面向量（2，2），（x，1）（）若，求x（）若（2），求与所成夹角的余弦值18（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，角与（0）的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于P、Q两点，点P的横坐标为（）求；（）若，求sin19（12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米）1.82.63.14.35.56.1火灾损失费用y（千元）17.819.627.531.336.04
6、3.2如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：（）求相关系数r（精确到0.01）；（）求线性回归方程（精确到0.01）；（ III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）参考数据：yi175.4，：xiyi764.36，（xi）（yi）80.30，（xi）214.30，（yi）2471.65，82.13参考公式：相关系数r，回归方程+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，x20（12分）已知函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求f（x）的解析式及对称中心坐标（）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标
7、伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数yg（x）在x（0，）上的单调区间及最值21（12分）近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国属目，无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a4b（I）求a，b 的值；（）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；（）若按照分层抽样从50，60），60，70）中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2
8、人，求至少有1人的分数在50，60）的概率22（12分）已知向量（cosx，cosx），（sinx，cosx），0且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为（）求f（x）的解析式及f（）的值；（）若函数g（x）a+1f（x）在x0，上恰有两个零点，求实数a的取值范围2018-2019学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的）1（5分）（）ABCD【分析】直接利用向量的加法及减法法则写出结果即可【解答】解：由向量加法及减法的运算法则可知：向量故选：B【点评】本题考查向量的基本运算，基
9、本知识的考查，是基础题2（5分）sin140cos10+cos40sin350（）ABCD【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：sin140cos10+cos40sin350sin40cos10cos40sin10sin30故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，是基本知识的考查3（5分）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为【分析】根据抽样
10、的定义和性质进行判断即可【解答】解：无论采用哪种抽样方法，每个人入选的概率相同，都为，故选：C【点评】本题主要考查抽样的应用，结合每个个人被抽到的概率相同是解决本题的关键4（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行如图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A甲的平均数大于乙的平均数B甲的中位数大于乙的中位数C甲的方差大于乙的方差D甲的极差小于乙的极差【分析】根据茎叶图，分别分析甲乙的平均数，中位数，方差和极差即可【解答】解：依题意，甲的平均数（11+12+14+24+26+32+38+45+59）29，乙的平均数（1
11、2+20+25+27+28+30+34+43+51）30，故A错误，根据茎叶图甲的中位数为26，乙的中位数为28故B错误，根据茎叶图可知，甲的得分比较分散，乙的得分相对集中，故C正确甲的极差为591247，乙的极差为511239，故D错误故选：C【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题5（5分）要得到函数y2cos2x+sin2x的图象，只需将函数y2sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【分析】先将y2cos2x+sin2x化简，然后利用函数yAsin（x+）的图象变换可得结果【解答】解：y2co
12、s2x+sin2x要得到函数y2cos2x+sin2x的图象，只需将函数y2sin2x的图象向左平移个单位故选：C【点评】本题考查了三角恒等变换和函数yAsin（x+）的图象变换规律，考查了转化思想，属基础题6（5分）如图给出的是计算+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）Ai102Bi102Ci100Di100【分析】根据程序框图，模拟运行，依次计算S和i的值，直到输出S+，此时的i不满足判断框中的条件，即可得到答案【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S0+，i4，第二圈：S+，i6，第三圈：S+，i8，依此类推，第51圈：S+，i104，退出循环，其中判断框内应
13、填入的条件是：i102，故选：B【点评】本题考查了程序框图，主要是根据运行的结果，求解判断框中的条件，解题的关键是根据程序框图中的运算，按顺序求解，判断i的成立条件和不成立条件属于基础题7（5分）如图所示，在ABC内机选取一点P，则PBC的面积不超过四边形ABPC面积的概率是（）ABCD【分析】由几何概型中的面积型可得：P（A），得解【解答】解：由在ABC内机选取一点P，则PBC的面积不超过四边形ABPC面积，则PBC的面积不超过ABC的面积的一半，取AB，AC的中点F，E，则点P在区域BCEF内运动，记“PBC的面积不超过四边形ABPC面积”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选
14、：D【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题8（5分）若sin（），则cos（+2）（）ABCD【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（），再利用二倍角的余弦公式进一步化为21，把已知条件代入运算求得结果【解答】解：coscos（）2121，故选：C【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题9（5分）已知边长为1的菱形ABCD中，BAD60，点E满足，则的值是（）ABCD【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，计算的值【解答】解：菱形ABCD中，AB1，BAD60，点E满足，如图所示；则A（，0），B（0，），C（，0），D（0，），E（，），（
15、，），（0，1），0故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题10（5分）已知，（0，），cos，cos（+），则角（）ABCD【分析】由题意求出+的范围，由条件和平方关系分别求出sin、sin（+），由角之间的关系和两角差的余弦函数求出cos，由的范围和特殊角的三角函数值求出【解答】解：，（0，），+（0，），cos，sin，cos（+），sin（+），coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin，故选：A【点评】本题考查两角差的余弦函数，平方关系，以及变角在三角函数求值中的应用，注意角的范围，考查化简、计算能力11（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F
16、满足2，2，EF与AC交于点G，设，则（）ABCD【分析】由平面向量基本定理及共线向量得：因为E，G，F三点共线，则m+（1m），则，所以，所以，即，得解【解答】解：因为E，G，F三点共线，则m+（1m），设，则，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，即，即，故选：C【点评】本题考查了平面向量基本定理及共线向量，属中档题12（5分）设f（x）asin2x+bcos2x，ab0，若f（x）|f（）|对任意xR成立，则下列命题中正确的命题个数是（）（1）f（）0；（2）|f（）|f（）|；（3）f（x）不具有奇偶性；（4）f（x）的单调增区间是kx+，kx+（kZ）；（5）可能存在经过点（a，b）
17、的直线与函数的图象不相交A1个B2个C3个D4个【分析】利用三角函数的图象和性质逐一分析四个答案结论的真假，可得答案【解答】解：设f（x）asin2x+bcos2xsin（2x+），ab0，若f（x）|f（）|对任意xR成立，则若f（x）|f（）|，2+k+；k+；kZ；f（x）sin（2x+k+ ）sin（2x+ ）；（1）f（）sin（2+ ）0；（1）正确（2）代入计算|f（）|f（）|；（2）错误（3）f（x）不具有奇偶性；（3）正确（4）f（x）的单调增区间是kx+，kx+（kZ）；（4）错误（5）要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行
18、，且|b|，此时平方得b 2a 2+b 2这不可能，矛盾，不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交；故（5）错 误故：正确故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）平面向量，的夹角为120，若|2，|1，则|3|【分析】利用向量的模的运算法则化简求解即可【解答】解：平面向量，的夹角为120，若|2，|1，则|3|故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目14（5分）在ABC中，若，则C60【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三
19、角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可【解答】解：由可得tan（A+B）因为A，B，C是三角形内角，所以A+B120，所以C60故答案为：60【点评】本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是18015（5分）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本据中的最大值是10【分析】由题意得：x1+x2+x3+x4+x535，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）
20、+（x57）4，由此能求出样本据中的最大值【解答】解：由题意得：x1+x2+x3+x4+x535，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）+（x57）4，两式整理，得：265，设x1x2x3x4x5，由此推导出（x5）max10样本据中的最大值是10故答案为：10【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题16（5分）如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|AC|1，A120，E，F分别是AB，AC上的点，且，（其中，（0，1），且+41，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则|的最小值为【分析】由向量的数量积公式求出，连接AM、AN，
21、利用三角形中线的性质得出，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得2+，结合二次函数的性质可得最小值【解答】解：连接AM、AN，等腰三角形ABC中，ABAC1，A120，|cos120AM是AEF的中线，（+）（+）同理，可得（+），由此可得（1）+（1）（1）+（1）2（1）2+（1）（1）+（1）2（1）2（1）（1）+（1）2，+41，可得14，代入上式得（4）24（1）+（1）22+，（0，1），当时，的最小值为，此时|的最小值为故答案为：【点评】本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于难题
22、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知平面向量（2，2），（x，1）（）若，求x（）若（2），求与所成夹角的余弦值【分析】（）由平面向量的共线定理列方程求出x的值；（）根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x，再计算与所成夹角的余弦值【解答】解：（）平面向量（2，2），（x，1）若，则2（1）2x0，解得x1；（）若（2），则（2）20，即（22+22）2（2x2）0，解得x3，（3，1），与所成夹角的余弦值为cos【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题18（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，角与（0）的顶点与
23、坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于P、Q两点，点P的横坐标为（）求；（）若，求sin【分析】（）由题意知cos，求得sin，再计算的值；（）由题意知（，），（cos，sin），由和同角的三角函数关系求得sin的值【解答】解：（）由题意知，cos，0，sin，；（）（，），（cos，sin），cos+sin，cossin，sin2+cos2sin2+sin2sin+1，化简得75sin230sin230，解得sin或sin（不合题意，舍去）；即sin【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题19（12分）保险公司统计的资料表明：居民住
24、宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米）1.82.63.14.35.56.1火灾损失费用y（千元）17.819.627.531.336.043.2如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：（）求相关系数r（精确到0.01）；（）求线性回归方程（精确到0.01）；（ III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）参考数据：yi175.4，：xiyi764.36，（xi）（yi）80.30，（xi）214.30，（yi）2471.65，82.13参考公式：相关系数r，回归
25、方程+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，x【分析】（）利用相关系数计算公式，即可求得r；（）利用回归方程+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式，即可求得线性回归方程；（III）由（）可知当x10时，代入即可评估一下火灾的损失【解答】解：（）（2分）（）依题意得（3分）（4分），所以，（6分）又因为（7.32，7.33均给分）（8分）故线性回归方程为（+7.32或7.33均给分）（9分）（ III）当x10时，根据回归方程有：（63.52或63.53均给分），发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，火灾的损失63.51千元（12分）【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查相关系数
26、公式，考查计算能力，属于中档题20（12分）已知函数f（x）Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求f（x）的解析式及对称中心坐标（）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数yg（x）在x（0，）上的单调区间及最值【分析】（）由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f（x）的解析式再根据正弦函数的图象的对称性对称中心坐标（）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性和最值，得出结论【解答】解：（）根据函数f（x）
27、Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象，可得B1，A2，2再根据五点法作图可得2+，f（x）2sin（2x+）1令2x+k，求得x，kZ，故函数的对称中心为（，1），kZ（）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y2sin（2x+）12sin2x1的图象；再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y2sinx1的图象；最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）2sinx 的图象，在x（0，）上，sinx（，1，g（x）（1，2，故函数yg（x）在x（0，）上有最大值为2，此时，xg（x）的增区间，即ysinx的增区间，为2k，2k+，结合x（0，），可得增区间为（0，；g（x）的减区
28、间，即ysinx的减区间，为2k+，2k+，结合x（0，），可得减区间为，）【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象的对称性；函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性和最值，属于中档题21（12分）近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国属目，无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布
29、直方图，其中a4b（I）求a，b 的值；（）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；（）若按照分层抽样从50，60），60，70）中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在50，60）的概率【分析】（）根据题目频率分布直方图频率之和为1，已知其中a4b，可得答案（）利用矩形的面积等于频率为0.5可估算中位数所在的区间利用估算中位数定义，矩形最高组估算纵数可得答案；（）利用古典概型的定义找出概率的分子分母求概率即可【解答】解：研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图的频率分布直方图，其中a4b，（）（b+0.008+a+0.027+
30、0.035）101，其中a4b，解得：a0.024，b0.006；（）随机抽取了1000名市民进行调查，则估计被调查的市民的满意程度的平均数：550.08+650.24+750.35+850.27+950.0674.9，众数：75，中位数：由题中位数在70到80区间组，0.035x0.50.080.240.18；x5.14，中位数：70+5.1475.14（）若按照分层抽样从50，60），60，70）中随机抽取8人，则50，60）共80人抽2人，60，70）共240人抽6人，再从这8人中随机抽取2人，则共有C8228种不同的结果，其中至少有1人的分数在50，60）共C51C21+C5213种不
31、同的结果，所以至少有1人的分数在50，60）的概率为：p；【点评】本题考查由频数分布直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图的应用，属于中档题22（12分）已知向量（cosx，cosx），（sinx，cosx），0且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为（）求f（x）的解析式及f（）的值；（）若函数g（x）a+1f（x）在x0，上恰有两个零点，求实数a的取值范围【分析】（）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和即可（）求出函数G（x）的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可【解答】解：（）向量（cosx，cosx），（sinx，cosx），0，则f（x）sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin（2x），且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为，T2，1，f（x）sin（2x），f（）sin（2）1；（）函数g（x）a+1f（x）a+1sin（x）+，令g（x）0，得asin（x）1，当0x时，x，当x且x时，ysin（x）才有两个交点，此时sin（x）1，则sin（x），即0sin（x），1sin（x）11，即1a1，即实数a的取值范围是1，1）【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质应用问题，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解题的关键
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