1、专题06 力学中圆周运动模型(1)模型界定本模型只局限于力学范围内的圆周运动,(一)讨论圆周运动中的传动及水平面内的匀速圆周运动,(二)讨论竖直平面内的圆周运动及天体的圆周运动问题.本模型不涉及电磁学范围内的圆周运动，电磁学范围内的圆周运动另有等效重力场、动态圆模型等进行专题研究.模型破解1. 圆周运动中的传动问题(i)共轴传动中物体上任意一点的角速度相同;任意一点的线速度vr、向心加速度ar2都与半径成正比.(ii)摩擦传动、皮带传动、链条传动、齿合传动中(摩擦传动与皮带传动时要求不打滑)轮缘处线速度大小相等;两轮的角速度与其半径成反比;轮缘处各点的向心加速度与其半径成反比;采用齿合或链条传
2、动时，齿数与半径成正比，角速度与齿数成反比.(iii)向心加速度的一个有用的表达式:例1.图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是。（填入选项前的字母，有填错的不得分）例1题图A. 从动轮做顺时针转动B.从动轮做逆时针转动C. 从动轮的转速为nD.从动轮的转速为n例2.某种变速自行车,有六个飞轮和三个链轮.如图所示,链轮和飞轮的齿数如下表所示,前、后轮直径约为660 mm,人骑该车行进速度为4 m/s时,脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为例2题图名称链轮飞轮齿数N/个4838281516182
3、12428A.1.9 rad/s B.3.8 rad/s C.6.5 rad/s D.7.1 rad/s模型演练.如图所示，A点为轮子上边缘处一点，B点为轮子上轮子边缘处一点，C点为轮子上某半径的中心，则A和C两点线速度_，角速度=_，向心加速度=_。练1图.如图所示为一皮带传送装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，它到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中皮带不打滑，则（）abcd练图A a点与b点的线速度大小相等Ba点与b点的角速度大小相等Ca点与c点的线速度大小相等Da点与d点的向心加速
4、度的大小相等2.圆周运动中运动学的多解问题圆周运动具有周期性,与平抛运动、自由落体运动、匀速及匀变速直线运动等其他运动形式结合时,往往形成多解,解题时需抓住两物体运动时间的联系、运动时间与圆周运动周期的联系.例3.在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板作匀速圆周运动，当圆板半径OA与初速度方向一致时抛出，如图所示。要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0为多大？圆板转动的角速度为多大？例3题图例4.A、B两物体的质量均为m，它们以相同的初速度Vo从如图所示的位置出发，A绕O点做匀速圆周运动，半径为r。B受到一个水平恒力的作用，那么对B施加的水平恒力的大小、方
5、向必须满足什么条件，才可使A、B两物体在某一时刻的速度相同?例4题图模型演练.如图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以的初速度由A点开始向B点滑行，AB=5R，并滑上光滑的半径为R的圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方。若滑块滑过C点后P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度应满足什么条件？练图.图中M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动。设
6、从N筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行) 不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒。从s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而取某一合适的值，则练图A有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s 缝平行的窄条上B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如 b处一条与s缝平行的窄条上C有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c 处与s缝平行的窄条上D只要时间足够长，N筒上将到处有微粒 .如图所示，一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端O的水平轴在竖直平面内转动。杆开始时在外力作用下保持水平静止，杆上距O点为a处有一小物体静
7、止于杆上。此杆突然在外力作用下以匀角速度顺时针转动，结果经一段时间后小物体刚好与杆的A端相碰，设小物体在空气中运动时没有翻转。试计算杆转动的角速度应取何值？练5图3.圆周运动中的动力学问题(i)水平面内的匀速圆周运动匀速圆周运动的动力学特征物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。解决匀速圆周运动问题的方法(I)明确物体做匀速圆周运动时轨迹所在有平面、圆心所在的位置(II)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象，分析其受力(III)选取物体运动轨迹的半径所在直线及垂直于半径两个方向建立正交坐标系(IV)在半径方向上由Fn=mv2/R或Fn=m2R或Fn=mR列方程、在垂直于半径方向上列出平衡方向
8、联立求解。(V)当物公受两个力作用时,也可用合成法作出平行四边形,由图中几何关系列出平衡方向及动力学方程.水平面内匀速圆周运动的几种典型组成元素情景(如图1所示)图1(I)图乙中包括套在水平杆上的球,将甲乙情景相结合的情景最常见(II)丙图中还有由两根绳控制的圆锥摆情形(III)丁图中所示是接触面光滑或是一种无摩擦的临界状态丁图中包括汽车(或火车)转弯、物体在球形槽内的匀速圆周运动等(IV)己图中也有用平行于锥面的绳约束物体的情形.水平面内匀速圆周运动的临界状态(I)绳形成的临界状态有两种:张力最小时(等于零)的即将松弛状态与张力最大时即将断裂的状态.(II)接触面形成的临界状态也有两种:一是
9、即将分离时的弹力为零状态;二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态.动态分析方法(I)分析物体受力,在沿半径方向上列出动力学方程,在垂直于半径方向上列出平衡方程.(II)确定方程中的不变量与变化量(III)由两个方程分析变量的变化情况,需注意变量的取值范围.类双星运动两个物体在相互间力的作用下，绕着它们的中心连线上某一点做匀速圆周运动,与天体运动中的双星模型类似。（I）两个物体做匀速圆周运动的周期T相同、频率f相同、角速度相同.(II)两物体运动的轨迹半径与其质量成反比,从而线速度大小、向心加速度大小也与其轨迹半径成反比.圆锥摆模型细线一端系
10、一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”.由图1 丙可得:、由此可知：(I)当悬线长度l一定时，即悬线与竖直方向的夹角随着小球角速度的增大而增大、悬线中张力增大。(II)若悬线的长度l和悬线与竖直方向的夹角均不相同，但是l和cos的乘积l cos相同，则角速度就相同，乘积l cos实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m和悬线长度l各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度就一定相同。 (III)小球做圆锥摆运动的角速度有一个最
11、小值。当悬线与竖直方向的夹角00时，得到角速度0，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当0时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果0，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图2所示）。图2 图3 (IV)在图3中,由竖直方向上的平衡方程及水平方向上的动力学方程可得:当时,小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，类似于图2;当时,细线AB将被拉紧，而细线BC则处于松弛状态,细线AB中张力随增大而增大;当时,图中
12、AB、BC两线都被拉紧.两线中张力随的变化情况是:增大时,AB线中张力甲图中增大、乙图中减小、丙图中不变;BC线中张力都增大.当时,甲丙两图中两线仍是拉紧的,乙图中BC拉紧AB松弛.拉紧的线中张力都是随的增大而增大的.例5.如图所示，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距=0.1m。长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球。小球的初始位置在AB连线上A的一侧。把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动。由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上。若细线能承受的最大张力，则从开始运动到细线断裂历时多长？例5题图 例6.如图所示，两物块A、B套
13、在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐缓慢增大，在绳子从处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是 例6题图AB受到的静摩擦力一直增大BB受到的静摩擦力是先增大，后保持不变CA受到的静摩擦力是先增大后减小DA受到的合外力一直在增大例7.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO/转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A
14、点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：例题图当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度 例8 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系例8题图例9.如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg，当AC和BC均拉直时ABC=90,ACB=53,ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动，求：例9题图（1）当m的线速度增大时，AC和BC（BC=1 m）哪条绳先断？（2）一条绳被拉断后，m的速率继续增加，整个运动状态会发生什么变化？例10.甲、乙两名滑冰运动员，m甲80 kg，m乙40 kg，面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为864 N，下列判断中正确的是例10题图A两人的线速度相同，约为40 m/sB两人的角速度相同，为6 rad/s C两人的运动半径相同，都是0.45 mD两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m 9
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