1、一模型界定本模型主要是指带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由于粒子的速度不同、入射位置不同等因素而引起粒子在磁场中运动轨迹的差异,从而在有界磁场中形成不同的临界状态与极值问题的一类物理情景.二模型破解1. 处理“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本知识点 (i)圆心位置的确定 利用速度的垂线； 利用弦的中垂线； 利用两速度方向夹角的角平分线； 利用运动轨迹的半径大小.具体来说,如图1所示:已知两位置的速度,分别过两位置作速度的垂线,交点处为运动轨迹的圆心已知一点的速度与另一点的位置,过已知速度的点作该点速度的垂线,再作两点连线的中垂线,交点处为运动轨迹的圆心已知一点的速度与另一不知位置的点的
2、速度方向,过已知速度的点作该点速度的垂线,再作两速度夹角的平分线,交点处为运动轨迹的圆心已知一点的速度与粒子运动的轨迹半径,过该点作速度的垂线,再在垂线上取一点,使其到已知点间距离等于粒子运动的轨迹半径,该点即为运动轨迹的圆心已知不知位置的两点的速度方向与粒子运动的轨迹半径,作两速度的夹角平分线,再在平分线上取一点,使其到两已知两已知速度所在直线间的距离等于粒子运动的轨迹半径,该点即为运动轨迹的圆心已知一不知位置的点的速度方向与粒子运动的轨迹半径,可确定粒子运动的轨迹圆心位置在与该速度所在直线相平行且距离等于轨迹半径的直线上已知运动轨迹上三点的位置,连接其中两点所得任两条弦,作此两条弦的中垂线
3、,交点处为运动轨迹的圆心已知运动轨迹上两点的位置与粒子运动的轨迹半径,作连接两已知点所得弦的中垂线,再在中垂线上取一点,使其到已知点间距离等于粒子运动的轨迹半径,该点即为运动轨迹的圆心(ii)两个重要几何关系粒子速度的偏向角等于回旋角，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的2倍，即：2t.相对的弦切角相等,与相邻的弦切角互补,即(iii)两个重要的对称性如图2所示,带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；图2如图3所示,在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出;不沿半径射入的粒子必不沿半径射出,但
4、速度方向与入射点、出射点所在半径之间的夹角相等,入射速度与出射速度的交点、轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心都在弧弦的中垂线上图3(iV)两类重要的临界状态与极值条件刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切当粒子运动的速率一定(即在磁场中运动的轨迹半径一定)时,通过的弧长越长,转过的圆心角越大,粒子在有界匀强磁场中运动的时间越长.由图1可以看到,粒子在磁场中转过一个劣弧时,对应的弦长越长,转过的圆心角越大,运动时间越长;粒子在磁场中转过一个优弧时则相反.2.动态圆的问题处理方法(i)旋转半圆法处理速率相同的动态圆问题如图4所示,对于大量的同种粒子,从空间同一位置以相同的速率沿不
5、同的方向垂直进入某匀强磁场时,由于速度方向的差异,引起粒子在空间运动轨迹的不同,它们在空间运动的基本特征是:图4所有粒子运动的轨迹半径相同所有粒子运动轨迹平面都在垂直于磁场的同一平面内所有粒子运动轨迹的圆心都在以入射点为圆心、R为半径的圆周上所有粒子的运动轨迹所覆盖的空间区域是以入射点为圆心、2R圆形区域同一时刻射入的粒子在经过相同时间后，每个粒子速度方向改变的角度（偏向角）、转过的圆心角度相同，；到入射点的距离l相同，即位于以射点为圆心、以l为半径的同一圆周上，其中。图5旋转半圆法:在粒子所有可能的入射方向中首先选定向一特殊方向发射的粒子，作出其运动轨迹半圆，此半圆与粒子的入射方向是唯一对应
6、的,且每一入射方向与对应的半圆是一一对应的.然后让粒子的入射方向旋转，同时对应的半圆也就同步旋转，在旋转半圆的过程中确定临界状态与极值条件,结合题意画出我们要解决问题的半圆，最后由几何关系、圆周运动的物理公式解决待求的问题。在作出粒子运动轨迹所在的半圆时,要注意粒子运动的轨迹半径与有界磁场边界之间的相对关系.例1.如图所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。许多相同的离子，以相同的速率v，由O点沿纸面向各个方向（y0）射入磁场区域。不计离子所受重力，不计离子间的相互影响。图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N,且OM =O
7、N =L。由此可判断 yxONM例1题图A. 这些离子是带负电的B. 这些离子运动的轨道半径为LC. 这些离子的荷质比为D. 当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点例1 答图【答案】D例2.如图所示，在0xa、0y范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在090范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
8、例2题图（1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.【答案】（1）（2）设该粒子在磁场运动的时间为t,依题意t=T/4，得 OCA=设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系可得Rsin=RRsin+Rcos= a 又sin2+cos2=1由式得 R=由式得v=由式得sin=(ii)放缩圆法处理初速度方向相同的动态圆问题如图6所示,对于大量的同种粒子,从空间同一位置以相同的方向、不同的速率垂直进入某匀强磁场时,由于速度大小的差异,引起粒子在空间运动轨迹的不同,它们在空间运动的基本特征是:图6所有粒子运动轨迹平面都在垂直于磁场的同一平面内所有粒子运动的轨迹都相切于
9、入射点所有粒子运动轨迹的圆心都在过入射点垂直于初速度的直线上所有从通过入射点的同一直线边界上穿出的粒子,在磁场中转过圆心角度相等、在磁场中运动时间相等所有粒子的运动轨迹所覆盖的空间区域是以入射速度所在直线为界、初始时刻洛伦兹力所指的一侧的半个平面内.图7若入射速率在范围内时,粒子的运动轨迹所覆盖的空间区域在相切于入射点的、半径分别为、的两圆所围的区域内.如图7所示，粒子在通过经过入射点的直线时速度方向都相同，即当粒子从经过入射点的边界出射时，平行出射,每个转过圆心角相同，经历的时间相同，即同一时刻入射的粒子经过相同时间时位于同一条通过入射点的直线上：放缩圆法过入射点作与入射速度相切的一个运动轨
10、迹所在半圆(或根据需要画出某一优弧),根据题目中的边界条件适当放缩半圆,以确定临界状态与极值条件,需注意粒子运动的轨迹半径与边界之间的关系以及题目中可能出现的速率范围以确定粒子运动半径所满足的要求.例3.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形abc，一束带正电的粒子以不同的速度v沿bc从b点射入磁场，不计粒子的重力，关于粒子在磁场中的运动情况下列说法中正确的是例3题图A入射速度越大的粒子，其运动时间越长B入射速度越大的粒子，其运动轨迹越长C从ab边出射的粒子的运动时间都相等D从ac边出射的粒子的运动时间都相等例3答图【答案】C同,在磁场运动时间相等,速度越大运动轨迹越长;从ac边出射的粒子,速度
11、越大时转过的圆心角度越小、运动时间越短,运动轨迹的长度也是越短的,故只有C正确. 例4.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角 = 30、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，abcdOv0例4题图求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围.（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.【答案】（1）v0 （2）（1）若粒子速度为v0，则qv0B =，所以有R =，设圆心在O1处的粒子相应速度为v
12、01，则R1R1sin =，将R1 =代入上式可得，v01 =类似地，设圆心在O2处的粒子的相应速度为v02，则R2R2sin =，将R2 =代入上式可得，v02 =所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足v0(iii)平移半圆法处理入射位置不同的动态圆问题图6如图6所示,对于大量的同种粒子,从空间不同位置以相同的速度垂直进入某匀强磁场时,由于入射位置的差异,引起粒子在空间运动轨迹的不同,它们在空间运动的基本特征是:所有粒子运动轨迹平面都在垂直于磁场的同一平面内所有粒子运动的轨迹半径都相同在边界为直边界时,所有粒子运动轨迹的圆心都在平行于边界的直线上.在边界为直边界时,所有粒子的运动轨迹所覆盖
13、的空间区域是平行于边界的两平行线之间的区域内.平移半圆法过入射点作与入射速度相切的一个运动轨迹所在半圆(或根据需要画出某一优弧或劣弧),沿磁场边界平移半圆,以确定临界状态与极值条件,需注意粒子运动的轨迹半径与边界之间的关系以及题目中可能出现的入射点位置范围以确定粒子运动半径所满足的要求.由于运动是相对的,在应用平移法处理此类动态问题时,在不涉及带电粒子运动轨迹所覆盖区域的问题中,也可通过适当的平移磁场边界来确定粒子运动中所能达到的临界状态或出现极值所应满足的条件.例5.如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的
14、距离OO1=2R，圆筒轴线与磁场平行圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电现有范围足够大的平行电子束以速度v0从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为eONMO1r0例5题图（1）若电子初速度满足，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O1两侧的范围是多大？（2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势和电子到达圆筒时速度v（取无穷远处或大地电势为零） OO1O2O3PQ例5答图如图所示，作出运动轨迹的圆心在O1处的电子运动轨迹半圆,再上下平移该半圆,可确定与圆筒相切
15、的两运动轨迹半圆的圆心位置分别在图中O2与O3处.从O1上方P点射入的电子刚好擦过圆筒,由图几何关系有同理可得到O1下Q点距离例6.如图所示，有一垂直于纸平面向外的磁感应强度为B的有界匀强磁场(AC边界上有磁场)， 其边界为一边长为L的正三角形，A、B、C为三角形的顶点今有一质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力)，以速度从AB边上某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则： 例6题图 A. B.C. D.【答案】AD (iV)移动边界法处理解决磁场运动的动态圆问题针对单一的粒子以不变的速度从固定的位置开始运动，当有界磁场区域平
16、移或转动时，可能会引起带电粒子在磁场中的运动轨迹发生变化，在空间的特征有粒子在磁场中运动的周期、轨迹半径都不变当磁场运动时，若粒子在磁场中运动的入射点不变，则粒子在空间的运动轨迹不变移动磁场法首先按照磁场的初始位置，确定粒子在磁场中运动的入射位置、出射位置、圆心位置、运动轨迹等，然后按题目要求移动磁场，再确定入射点、出射点、圆心、运动轨迹等随磁场运动的变化情况，进而确定磁场运动中引起的临界状态与极值现象以及能完成题目要求的磁场位置、磁场大小等由运动的相对性可知，也可沿磁场运动的反方向移动粒子的运动轨迹来代替移动磁场，两种方法的选择要视解决问题的方便而定例.如图所示，磁感应强度大小为B=015T
17、、方向垂直于纸面向里且分布在半径R=010m的圆形磁场区域里，圆的左端和y轴相切于坐标原点O，右端和荧光屏MN相切于x轴上的A点，置于原点O的粒子源可沿x轴正方向发射速度为v30106m/s的带负电的粒子流，粒子重力不计，比荷为q/m=10108C/kg。现在以过O点且垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场缓慢地顺时针旋转了900，问：（提示：）例题图（1）在圆形磁场转动前，粒子通过磁场后击中荧光屏上的点与A点的距离；（2）在圆形磁场旋转过程中，粒子击中荧光屏上的点与A的最大距离；（3）定性说明粒子在荧光屏上形成的光点移动的过程。 甲乙例答图,如图甲所示，由几何关系可知例.如图所示，xoy平面内，在
18、y轴左侧区域内有一个水平宽度为m的方向竖直向下的匀强电场，电场强度为E=1.0104N/C，在y轴右侧有一个圆心位于x轴上，半径为r=0.01m的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B=0.01T，坐标为x0=0.04m处有一垂直于x轴的面积足够大的荧光屏PQ。今有一束带正电的粒子从电场左侧沿+x方向射入电场，穿过电场时恰好通过坐标原点，速度大小为v=2106m/s，方向与x轴成30角斜向下，若粒子的质量为m=1.010-20kg，电量为q=1.010-10C，不计粒子的重力，试求： 例题图 （1）粒子射入电场时的位置坐标和初速度； （2）若圆形磁场可沿x轴移动，圆心O在x轴上的移
19、动范围为，由于磁场位置的不同，导致该粒子打在荧光屏上的位置也不同，试求粒子打在荧光屏上的范围。（3）若要使粒子打不到荧光屏PQ上，可以将这个匀强磁场区域移到恰当的位置且可以调整圆形磁场区域的大小，求这个圆形磁场区域的最小面积(圆形磁场区域只限在y轴的右侧)。【答案】（1） （2）1.15-2.31（3） （3）如图中的虚线圆即为最小面积圆形磁场区域，半径为 其面积为（V）同一时刻的问题例9.如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xoy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范
20、围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。1 求粒子在磁场中做圆周运动的速率v02 假设粒子源在t=0时刻发射的上述粒子在0180范围内均匀分布，求时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比（3）若t=0时刻发射出的上述大量同种带电粒子的速度介于零与之间，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范围内，则时刻粒子所到区域的面积为多少？【答案】（1）（2）（3） （2） 如图所示，时刻仍在磁场中的粒子为圆弧QM（OQ=OM=OP）（3分），所以，时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为（2分）（3） 粒子做圆周运动的半径介于（2分），则t=t0时刻粒子所到区域
21、为图中所示的扇形，（2分）其半径为（2分），面积为（1分）三模型演练1.如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知AOC = 60o，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为练1图 A. T/3 B .T/4 C. T/6 D. T/8【答案】ABC 练1答图其在磁场中的运动轨迹是半个圆弧;过S作O
22、A的垂线与OC相交于D点,则SD为该粒子运动的轨迹直径,即,作出该粒子运动轨迹的半圆如图所示.绕S点逆时针旋转该 半圆,由点到直线垂线段最短可知半圆与OC相交于S在OC上的垂足E时,粒子在磁场中运动时间最短，而,即为等边三角形,故运动时间最短的粒子在磁场中转过的圆心角为600,最短时间为,则从OC边射出的粒子在磁场中运动的时间范围为,选项ABC正确.2.半径为的匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点O，磁感强度，方向垂直纸面向里在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子已知粒子质量，电量，求出粒子通过磁场空间的最大偏角练2图【答案】 3.真空中有一等腰梯形匀强磁场区域ABCD，磁场方向垂
23、直纸面向里，强度为B，且AD=AB=a，BC=2a，如图所示，建立沿DA边为x轴A为原点的直角坐标系，从A点在纸面内沿y轴正方向发射各种速率的电子，设电子间相互作用忽略，已知电子的电量为e，质量为m。练3图（1）在磁场中的转动半径分别为和的电子，在磁场中的运动时间之比为多少？（2）若使所有从A沿y轴正方向出发的电子在磁场中运动时间相同，则电子的速率应满足什么条件？（3）若使电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，速率应满足什么条件？且在x轴上什么范围内能接收到返回的电子？【答案】（1）（2）（3） 【解析】：（1）如图甲所示，由图中几何关系可知在磁场中运动半径为的电子转过的圆
24、心角度为，在磁场中运动半径等于的电子转过的圆心角度为，根据有（3）电子沿x轴负方向出发,在磁场中运动的轨迹圆心都在x轴的正半轴上,作出电子在磁场中运动的轨迹圆,适当放缩,如图丙所示.要使电子全部返回x轴，则电子不能从BC边穿出，由图可知临界状态是电子的运动轨迹与BC边相切，再由图中几何关系可知此时电子运动的轨道半径为，仍由知电子的最大速率，即电子的速率。电子从AB射出时速度方向相同,故在x轴上能接收到电子坐标值最大的是图丙中运动轨迹与BC相切的电子,由图中几何关系可得，则x轴上能接收到电子的范围为。练3答图4.如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧
25、以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为.已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？若角可取任意值，v0的最小值是多少？练图【答案】 0时，v0最小 rrcosd 又r 由得v0 故电子要射出磁场，速率至少应为.由式可知，0时，v0最小，由式知此时半径最小，rmin，也可由轨迹分析得出上述结论5.如图所示，长方形abcd长ad0.6 m，宽ab0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B0.25 T。一群不计重力、质量mkg、电荷量q2103 C的带电粒子以速
26、度v5l02 m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射人磁场区域abcdBveO练5图A从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边D从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边【答案】D.如图所示，xoy平面内，y轴左侧有方向竖直向下，电场强度为E=1.01 04 N的匀强电场。在Y轴右侧有一个边界为圆形的匀强磁场区域，圆心O位于x轴上,半径为r=0.01 m，磁场最左边与Y轴相切于O点，磁感应强度为B=0.01T，方向垂直纸面向里。在坐标xo=0.06m处有垂直于x轴的足够大的荧光屏PQ。一束带正电的粒子从电场中的A点(图中未标出)以垂直于电场的初速度向右运动，穿出电场时恰好通过坐标原点，速度大小为v=2 106ms，方向与x轴正向成300角斜向下。已知粒子的质量为m=1.0l0-2kg，电量为q=1.010-10C，重力不计。 练6图(1)求粒子出发点A的坐标；(2)若圆形磁场可沿x轴向右移动，圆心O仍在x轴上，由于磁场位置的不同，导致该粒子打在荧光屏上的位置也不同，求粒子打在荧光屏上的位置范围；(3)若改变磁场半径,磁场最左边仍然与Y轴相切于O点，当磁场半径至少为多大时，粒子就再也不能打到带屏上?【答案】（1）(,)（2）-（3） 26
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