1、22.3 实际问题与二次函数,第二十二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 商品利润最大问题,1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）,导入新课,情境引入,在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.,如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？,讲授新课,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.,探究交流,18000,6000,数
2、量关系,（1）销售额= 售价销售量;,（2）利润= 销售额-总成本=单件利润销售量;,（3）单件利润=售价-进价.,例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,涨价销售 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：,20,300,20+x,300-10x,y=(20+x)(300-10x),建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.,6000,自变量x的取值范围如何确定？,营销规律是价格上涨，销
3、量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.,涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？,y=-10x2+100x+6000，,当 时,y=-1052+1005+6000=6250.,即定价65元时，最大利润是6250元.,降价销售 每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：,20,300,20-x,300+18x,y=(20-x)(300+18x),建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，,即：y=-18x2+60x+6000.,例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期
4、少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,6000,综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.,自变量x的取值范围如何确定？,营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.,涨价多少元时，利润最大，是多少？,当 时,即定价57.5元时，最大利润是6050元.,即：y=-18x2+60x+6000，,由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出1
5、80件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？,每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：,10,180,10+x,180-10x,y=(10+x)(180-10x),1800,建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.,营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x 0，因此自变量的取值范围是 x 18.,涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？,y=-10x2+80x+1800=-10(
6、x-4)2+1960.,当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.,答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.,自变量x的取值范围如何确定？,知识要点,求解最大利润问题的一般步骤,（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量”,（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；,（3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.,例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每
7、月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.,（1）当售价在4050元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？,解：由题意得：当40x50时，Q = 60(x30)= 60x1800 y = 60 0，Q随x的增大而增大当x最大= 50时，Q最大= 1200答：此时每月的总利润最多是1200元.,（2）当售价在5070元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？,解：当50x70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,线段过(50，60)和(70，20).,50k+b=60 70k+b=20,y =2x +
8、160（50x70）,解得：,k =2 b = 160,y =2x +160（50x70）,Q=(x30)y =(x30)(2x + 160)=2x2 + 220x 4800=2(x55)2 +1250 (50x70) a = 20，图象开口向下， 当x = 55时，Q最大= 1250 当售价在5070元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.,解：当40x50时， Q最大= 12001218当50x70时， Q最大= 12501218售价x应在5070元之间.令：2(x55)2 +1250=1218解得：x1=51，x2=59当x1=51时，y1=2x+160=251+160=
9、 58(件)当x2=59时，y2=2x+160= 259+160= 42(件) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.,（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？,变式：(1)若该商品售价在4070元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？,解：Q与x的函数关系式为：,60x1800 （40x50 ） 2(x55)2 + 1250 （50x70）,Q =,由例3可知： 若40x50
10、， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50x70， 则当x=55时，Q最大= 1250 12001250 售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.,（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；,解：当40x50时，Q最大= 12001218，此情况不存在.,当50x70时，Q最大= 12501218，令Q = 1218，得 2(x55)2 +1250=1218解得：x1=51，x2=59由Q = 2(x55)2 +1250的图象和性质可知:当51x59时，Q1218 若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51x59.,x,Q,
11、0,55,1218,59,51,1250,（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？,解：由题意得：,51x59 30 (2 x +160)1620,解得：51x53,Q=2(x55)2 +1250的顶点不在51x53范围内， 又a =20， 当51x53时 ，Q随x的增大而增大 当x最大 = 53时，Q最大= 1242 此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元.,x,Q,0,55,1242,53,51,1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x 30)出售，可卖出
12、（30020x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.,25,当堂练习,2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.,y=2000-5(x-100),w=2000-5(x-100)(x-80),3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考
13、虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？,w=12+2(x1)804(x1)=(10+2x)(844x)=8x2+128x+840=8(x8)2+1352.,解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则,当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.,答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352.,4. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？,解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75,-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最 大，为25元；,（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？,(2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.,课堂小结,最大利润问题,建立函数关系式,总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.,确定自变量取值范围,涨价:要保证销售量0； 降件：要保证单件利润0.,确定最大利润,利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.,见学练优本课时练习,课后作业,
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