1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.4 圆周角,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角, BOC.,导入新课,问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?,A,BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.,复习引入,视频引入,思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的
2、角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.,（2）,（1）,（3）,（5）,（6）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边AC没有和圆相交,如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.,测量与猜测,圆心O 在BAC的 内部,圆心O在BAC的一边上,圆心O在BAC 的外部,推导与论证,圆心O在BAC的一边上
3、（特殊情形）,OA=OC,A= C,BOC= A+ C,圆心O在BAC的内部,圆心O在BAC的外部,圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；,要点归纳,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,互动探究,BAC=BDC,相等,问题2 如图，若 A与B相等吗？,相等,想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？,(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？,同弧或等弧所对的圆周角相等.,知识要点,试一试： 1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35
4、.,(1)BOC= ，理由 是 ; (2)BDC= ，理由是 .,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,(1)完成下列填空：1= .2= .3= .5= .,2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.,4,8,6,7,想一想,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？,解：OA=OB=OC， AOC、BOC都是等腰三角形., OAC=OCA，OBC=OCB.,又 OAC+OBC+ACB=180., ACB=OCA+OCB=1802=
5、90.,圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.,知识要点,典例精析,例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.,解：AB是O的直径， ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）,ABC=180-A-ACB=180-90-80=10.,例2 如图，分别求出图中x的大小.,60,x,30,20,x,解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.,A,D,B,E,C,(2)连接BF，,F,同弧所对圆周角相等，,ABF=D=20，FBC=E=30.,x=ABF+FBC=50.,例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；,（2）若ADC的平分线
6、交O于B, 求AB、BC的长,B,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，,(2) AC是直径, ABC=90.BD平分ADC,ADB=CDB. 又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB,AB=BC.,如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为( ) A30 B45 C60 D75,解析：BD是O的直径， BCD90. CBD30， D60，AD60.故选C.,方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,练一练,C,例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P, ACD=60,ADC=70.求APC的度数.,解:连接BC,则ACB=90,DC
7、BACBACD 9060=30.,又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100.,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.,探究性质,猜想：A与C, B与D之间 的关系为：,A+ C=180， B+ D=180,想一想： 如何证明你的猜想呢？, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,证明猜想,归纳总结,推论：圆的内接四边形的对角互补.,C,O,D,B,A, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理B
8、D180，,E,延长BC到点E，有,BCDDCE180.,ADCE.,想一想,图中A与DCE的大小有何关系？,归纳总结,推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.,C,O,D,B,A,E,1四边形ABCD是O的内接四边形，且A=110，B=80，则C= ，D= . 2O的内接四边形ABCD中，ABC=123 ，则D= .,70,100,90,练一练,例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G. 求证：FGDADC.,证明：四边形ACDG内接于O，FGDACD. 又AB为O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD， ACAD， ADCACD， FGDADC.,方法总
9、结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是( ) A120 B100 C80 D60,解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.,练一练,A,解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，,例6 在圆内接四边形ABCD中， A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.,四边形ABCD内接于圆，, A+ C=B+D=180，,2x+6x=180，, x=22.5., A=45， B=67.5， C =135，D=180-67.5=112.5.,1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2
10、）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ）,当堂训练,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50, ABC=47, 则AOB= ,166,3.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60,A,【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.,4.如图，四边形ABCD内接于O,如果BOD=130,则BCD的度数是（ ） A 115 B 130 C 65 D 50 5.如图，等边三角形ABC内接于O，P是AB上的一点，则AP
11、B= .,C,120,6.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角 ACB= ，ADB= .,130,50,7.如图，ABC的顶点A、B、C 都在O上，C30 ，AB2， 则O的半径是 .,解：连接OA、OB,C=30 ，AOB=60 ,又OA=OB ，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2，即半径为2.,2,ACB=2BAC,证明：,8. 如图，OA，OB，OC都是O的半径，AOB= 2BOC. 求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC，,9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危
12、险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？,解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外） ，与两个灯塔的夹角小于“危险角”.,拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： .,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC， BD=CD.,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.,解:BD=CD.理由是:连接AD,圆心角,类比,圆周角,圆周角定义,圆周角定理,课堂小结,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.,1.90的圆周角所对的弦是直径； 2.圆内接四边形的对角互补.,1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）,圆周角与直 线的关系,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.,见学练优本课时练习,课后作业,
浙公网安备33030202001339号