1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点三 含导函数的抽象函数的构造一、含导函数的抽象函数的构造例1:已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,则不等式的解集为_【答案】【解析】设,则,所以函数是上的减函数,函数是偶函数,函数,函数关于对称,原不等式等价为,不等式等价,在上单调递减,故答案为例2:已知,曲线在处的切线方程为(1)求,的值;(2)求在上的最大值;(3)证明:当时,【答案】(1),;(2);(3)证明见解析【解析】(1),由题设得,解得,(2)由(1)知,在上单调递减,在上单调递增,所以,所以在上单调递增,所以(3)因为,又由(2)知,过点,且在处的切线方程为,
2、故可猜测:当,时,的图象恒在切线的上方下证:当时,设,则,由(2)知,在上单调递减,在上单调递增,又,所以,存在,使得,所以,当时,;当时,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,当且仅当时取等号,故,由(2)知,即,所以,即成立,当时,等号成立对点增分集训一、选择题1设函数在定义域内可导,的图像如图所示,则导函数的图像可能为( )ABCD【答案】D【解析】由函数的图象可知,当时,单调递减,所以时,符合条件的只有D选项,故选D2曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是( )ABCD【答案】C【解析】,则,曲线在点处的切线方程为,令,解得曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是,故选C3已知函数的导
3、函数为,且满足,则( )ABCD【答案】D【解析】依题意,令,得,所以,所以,故选D4曲线在点处的切线方程是( )ABCD【答案】C【解析】求导,则曲线,在点处的切线的斜率,由点斜式可得,即切线方程为,故选C5函数的极小值点是( )ABCD【答案】A【解析】,由,得或函数在上为增函数,上为减函数,上为增函数,故在处有极小值,极小值点为故选A6函数在处有极值,则的值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意得:,在处有极值,解得经检验满足题意,本题正确选项C7若函数,则函数的单调递减区间为( )ABCD【答案】C【解析】函数的定义域为,因为,令并且,得,所以函数的单调递减区间为故本题正确答案为C8
4、己知,为导数,则( )ABCD 【答案】A【解析】,故本题选A9函数的导数为( )ABCD【答案】A【解析】,故选A10已知函数在点处的切线经过原点,则实数( )ABCD【答案】D【解析】函数,切线方程为,故,解故选D11设函数,则( )A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点【答案】D【解析】函数,则函数,令,解得,当,解得,函数在单调递增;由,解得,函数在上单调递减函数在取得极小值,故选D12若在区间上单调递减,则的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】令,则,配方得,故对称轴为,如图所示:由图象可知,当对称轴时,在区间上单调递减,又真数,二次函数在上单调递减,故只需当
5、时,若,则时,真数,代入,解得,所以的取值范围是故选A二、填空题13已知,则_【答案】【解析】,令,则,故故填14曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】因为,所以,又切点为,所以在点处的切线方程为15如图,函数的图象在点处的切线方程是,则_【答案】【解析】由题意可知,故三、解答题16已知函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)若,求的最大值【答案】(1);(2)【解析】(1)因为,所以,因为,所以,切线方程为,即(2)令,得或,由,所以,因为,所以的最大值为17已知函数在上是奇函数,且在处取得极小值(1)求的解析式;(2)求过点且与曲线相切的切线方程【答案】(1);(2)【解析】(1)是定义
6、在上的奇函数,则,解得(2)设切点坐标为,则在处切线斜率,又,解得,过的切线方程为,即18设函数在时取得极值(1)求的值;(2)求函数的单调区间【答案】(1);(2)的单调递增区间为,;单调递减区间为【解析】(1),当时取得极值,则,即,解得,经检验,符合题意(2)由(1)得:,令,解得或;令,解得,的单调递增区间为,;单调递减区间为19已知函数,且曲线在点处的切线与直线垂直(1)求函数的单调区间;(2)求的解集【答案】(1)在为增函数;(2)【解析】(1),曲线在点处的切线与直线垂直,令,当时,为增函数;当时,为减函数,所以,所以,所以在为增函数(2),令,因为在为增函数,所以在为增函数,因为,所以不等式的解集为20函数,(1)当时,求的极值;(2)当时,恒成立,求实数的最大值【答案】(1)极小值为,无极大值;(2)【解析】(1)时,则,令,解得当时,单调递减;当时,单调递增,极小值为,无极大值(2)当时,由,得,令,则,令,解得,当时,单调递减;当时,单调递增,实数的最大值为11