1、2018-2019学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|0x3，则AB（）A0，3）B（1，3）C（0，1D（0，1）2（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（）A1BCD23（5分）设ln2xlnx20的两根是、，则log+log（）ABCD4（5分）设x，y，z为大于1的正数，且log2xlog3ylog5z，则，中最小的是（）ABCD三个数相等5（5分）已知：f（x）ax3+bx+2，若f（2）3，则f（2）（）A1B2C3D46（5分）
2、如图所示，A'B'C'是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及线段AD中，最长的线段是（）AABBADCBCDAC7（5分）已知矩形ABCD，AB4，BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是（）A9B16C25D与的大小有关8（5分）已知原点到直线l的距离为1，圆（x2）2+（y）24与直线l相切，则满足条件的直线l有多少条？（）A1条B2条C3条D4条9（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、CD的中点，则异面直线AF和D1E所成角的大小为（）A30B45C60D901
3、0（5分）已知函数，且a+b0，b+c0，c+a0，则f（a）+f（b）+f（c）的值（）A恒为正B恒为负C恒为0D无法确定11（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A4BCD212（5分）已知函数，且g（x）f（x）mx+2m在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卷中的横线上）13（5分）ln（2x1）0的解集为 14（5分）若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为 15（5分）已知函数（0x2）的图象与函数f（x）l
4、og2x及函数g（x）2x的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则的值为 16（5分）已知函数f（x）x2+bx，若函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知直线l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1l2，求m的值18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PAAC，PADDAC（1）求证：ADPC；（2）若PAD为等边三角形，PA2，平面
5、PAD平面ABCD，求四棱锥PABCD的体积19（12分）（1）利用函数单调性定义证明：函数，是减函数；（2）已知当x2，1时，函数y4xm2x+5的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围20（12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别为AC和A1D上的点，且EFAC，EFA1D（1）求证：EFBD1；（2）求证：BE、D1F、DA三条直线交于一点21（12分）已知二次函数yx24x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点，（1）求经过这三个交点的圆C的标准方程；（2）当直线y2x+m与圆C相切时，求实数m的值；（3）若直线y2x+m与圆C交于M、N两点，且|MN|2，求此时实数m的值2
6、2（12分）已知函数f（x）log2x，x（0，+）（1）解不等式：f2（x）+3f（x）4；（2）若函数F（x）f2（x）+3f（x）m在区间1，2上存在零点，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的反函数为G（x），且G（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，试比较g（1）与h（1）的大小2018-2019学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|0x3，则AB（）A0，3）B（1，3）C（0，1D（0，1）【分析】求解定义
7、域简化集合B，然后直接利用交集运算得答案【解答】解：1x0，x1，Bx|x1，ABx|0x3x|x1x|0x1，故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，考查了定义域的求法，是基础题2（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（）A1BCD2【分析】由已知可得2rl，从而l2r，由此能求出其母线与底面半径之比【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个半圆，由已知可得2rl，l2r，故其母线与底面半径之比为：故选：D【点评】本题考查圆锥的母线与底面半径之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题3（5分）设ln2xlnx2
8、0的两根是、，则log+log（）ABCD【分析】根据方程的根以及根与系数的关系，求得ln+ln和lnln的值，再利用换底公式计算log+log的值【解答】解：ln2xlnx20的两根是、，ln和ln是方程t2t20的两个根，则ln+ln1，lnln2；log+log+故选：D【点评】本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题，也考查了换底公式应用问题，是基础题4（5分）设x，y，z为大于1的正数，且log2xlog3ylog5z，则，中最小的是（）ABCD三个数相等【分析】令log2xlog3ylog5zk（k0），则，对以上三式两边同时乘方，能求出结果【解答】解：令log2xlog3yl
9、og5zk（k0），则x2k，y3k，z5k，所以，对以上三式两边同时乘方，则，最小故选：C【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用5（5分）已知：f（x）ax3+bx+2，若f（2）3，则f（2）（）A1B2C3D4【分析】根据f（2）3即可得出8a+2b1，从而可求出f（2）8a+2b+21【解答】解：f（2）3；8a2b+23；8a+2b1；f（2）8a+2b+21+21故选：A【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法6（5分）如图所示，A'B'C'是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及线
10、段AD中，最长的线段是（）AABBADCBCDAC【分析】根据题意，分析可得：在ABC中，ABBC，AC为斜边，进而可分析出ABC的三边及中线AD中，最长的线段【解答】解：，A'B'C'是水平放置的ABC的直观图，则在ABC中，ABBC，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：D【点评】本题考查平面图形的直观图的作法，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于简单题7（5分）已知矩形ABCD，AB4，BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是（）A9B16C25D与的大
11、小有关【分析】根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，从而矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径RAC，由此能求出折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积【解答】解：矩形ABCD，AB4，BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径RAC，折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积：S425，故选：C【点评】本题考查四面
12、体外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题8（5分）已知原点到直线l的距离为1，圆（x2）2+（y）24与直线l相切，则满足条件的直线l有多少条？（）A1条B2条C3条D4条【分析】由题意，满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆（x2）2+（y）24的公切线，利用这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，即可得出结论【解答】解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆（x2）2+（y）24的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切
13、线故选：C【点评】本题考查圆的切线方程，本题解题的关键是得出满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆（x2）2+（y）24的公切线9（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、CD的中点，则异面直线AF和D1E所成角的大小为（）A30B45C60D90【分析】由空间角及运算：建立空间直角坐标系，列点，求坐标运算即可：A（1，0，0），F（0，0），D1（0，0，1），E（，1，0），所以（1，0），1（，1，1），设，1的夹角为，则cos0，即，即异面直线AF和D1E所成角的大小为90，得解【解答】解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，
14、z轴，DA长为单位长度，则A（1，0，0），F（0，0），D1（0，0，1），E（，1，0），所以（1，0），1（，1，1），设，1的夹角为，则cos0，即，即异面直线AF和D1E所成角的大小为90，故选：D【点评】本题考查了空间角及运算，属中档题10（5分）已知函数，且a+b0，b+c0，c+a0，则f（a）+f（b）+f（c）的值（）A恒为正B恒为负C恒为0D无法确定【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可【解答】解：若x0，则x0，则f（x）lglg（1+x）f（x），若x0，则x0，f（x）lg（1x），f（x）lglg（1x），
15、则f（x）f（x），f（0）lg10，综上f（x）f（x），即f（x）是奇函数，当x0时，f（x）lg（x+1）为增函数，f（x）在R上单调递增的函数，由a+b0，b+c0，c+a0可得ab，bc，ca，所以f（a）f（b），f（b）f（c），f（c）f（a），即f（a）+f（b）0，f（b）+f（c）0，f（c）+f（a）0，等式两边相加得，所以2f（a）+f（b）+f（c）0，所以f（a）+f（b）+f（c）0，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键11（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A4BCD2【分析】几
16、何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥SABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM，AM，SA2由对称性可知SBSA2几何体最长的棱为2故选：B【点评】本题考查了常见几何体的结构特征与三视图，属于基础题12（5分）已知函数，且g（x）f（x）mx+2m在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）ABCD【分析】由g（x）f（x）mxm0，即f（x）m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由函数，g（x）f（x）mx+2m0，即f
17、（x）m（x2），分别作出函数f（x）和yh（x）m（x2）的图象如图：由图象可知f（1）1，h（x）表示过定点A（1，1）的直线，当h（x）过（1，1）时，m1，此时两个函数有两个交点当直线yh（x）m（x2）经过B时，有1个交点，B（0，），此时满足条件的m的取值范围是m，g（x）f（x）mx+2m在（1，1内有且仅有两个不同的零点，m1，）故选：C【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卷中的横线上）13（5分）ln（2x1）0的解集为（，1）【分析】根据对数函数的定义与性质，求
18、解即可【解答】解：不等式ln（2x1）0化为02x11，x1，不等式的解集为故答案为：【点评】本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题，是基础题14（5分）若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为x2y0或x+y30【分析】当直线过原点（0，0）可设方程为ykx，当直线不过原点，可设方程为，分别代入点的坐标可求【解答】解：当直线过原点（0，0）可设方程为ykx，代入（2，1）可得k，故直线方程为yx，即2x+5y0；当直线不过原点，可设方程为，代入（2，1）可得a3，故直线方程为，即x+y30，故答案为：x2y0或x+y30【点评】本题考查直线的截距式方程，和化为一
19、般式方程的能力，体现了分类讨论的思想15（5分）已知函数（0x2）的图象与函数f（x）log2x及函数g（x）2x的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则的值为4【分析】结合同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于yx对称，进行求解即可【解答】解：f（x）log2x及函数g（x）2x的图象关于yx对称，由图象知A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线yx对称，则有y1x2，y2x1，则x12+y12，A在函数（0x2）的图象，x12+y124，故答案为：4【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用互为反函数的图象关于yx对称，利用数形结合是解决本题的关键16（5分）已知函
20、数f（x）x2+bx，若函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是b|b2或b0【分析】首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值yf（f（x）它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数 y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于【解答】解：由于f（x）x2+bx，xR则当x时，f（x）min，又函数yf（f（x）的最小值与函数yf（x）的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即，得到b0或b2，所以b的取值范围为b|b2或b0故答案为：b|b2
21、或b0【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知直线l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1l2，求m的值【分析】（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出（2）由m（m2）30，解得：m3或1经过验证m3时两条直线重合，舍去【解答】解：（1）m0时，两条直线不垂直，舍去m0时，l1l2，1，解得m综上可得：m（2）由m（m2）30，解得：m3或1经过验证m3时两条直线重合，舍去m1时，l1l2【
22、点评】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PAAC，PADDAC（1）求证：ADPC；（2）若PAD为等边三角形，PA2，平面PAD平面ABCD，求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）作PEAD，连接EC，利用全等，易得线面垂直，进而得证；（2）利用（1）中的PE为高，结合题中条件可知底面为菱形，求解不难【解答】解：（1）证明：作PEAD于E，连结CE，PAAC，PADDAC，AE是公共边，PAECAE，PEACEA，PEAD，CEAD，又PE平面PEC，CE平面PEC，且PE
23、CEE，AD平面PEC，又PC平面PEC，ADPC；（2）平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCDAD，又PEAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，又PAD为等边三角形，PA2，易知PADCAD，故平行四边形ABCD为有一个角为60的边长为2的菱形，故四棱锥PABCD的体积【点评】此题考查了线面垂直，棱锥体积等，难度适中19（12分）（1）利用函数单调性定义证明：函数，是减函数；（2）已知当x2，1时，函数y4xm2x+5的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围【分析】（1）利用函数的单调性的定义，化简证明即可（2）令t2x，函数化为yt2mt+50在上恒成立，即在上恒成立求解函数的最小
24、值，推出结果即可【解答】解：（1）证明：任取x1，x2且x1x2，则f（x1）f（x2）（x1+）（x2+）（x1x2）+；0x1x2，x1x20，0x1x25，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数在上为减函数；注：不是利用定义证明不得分6分（2）解：令t2x，因为x2，1，所以，则yt2mt+50在上恒成立，即在上恒成立由（1）知10分故12分【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别为AC和A1D上的点，且EFAC，EFA1D（1）求证：EFBD1；（2）求证：BE
25、、D1F、DA三条直线交于一点【分析】（1）连结AB1和B1C，A1DB1C，从而EFB1C，EFAC，进而EF平面AB1C，B1C平面BC1D1，B1CBD1，同理可证B1ABD1，从而BD1平面AB1C，由此能证明EFBD1（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），由EFBD1知，直线D1F和BE必相交，设BED1FG，推导出GAD，由此能证明BE、D1F、DA三条直线交于一点【解答】证明：（1）连结AB1和B1C，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1DB1C，EFA1D，EFB1C，又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，3分又在正方体ABCDA1B1C1D1中，B
26、1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，B1C平面BC1D1，又BD1平面BC1D1B1CBD1，同理可证，B1ABD1，B1AB1CB1，BD1平面AB1C，6分故EFBD18分（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），由（1）EFBD1知，直线D1F和BE必相交，9分不妨设BED1FG，则G平面AA1D1D，G平面ABCD，又平面AA1D1D平面ABCDAD，GAD，故BE、D1F、DA三条直线交于一点12分【点评】本题考查线线平行的证明，考查三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（1
27、2分）已知二次函数yx24x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点，（1）求经过这三个交点的圆C的标准方程；（2）当直线y2x+m与圆C相切时，求实数m的值；（3）若直线y2x+m与圆C交于M、N两点，且|MN|2，求此时实数m的值【分析】（1）求出三个交点的坐标，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，将三个点坐标代入求解即可得圆C的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求出实数m的值；（3）点C到直线y2x+m的距离为d，求解即可实数m的值【解答】解：（1）当x0时，y3；当y0时，x24x+30，得x1或x3三个交点分别为（0，3），（1，0），（3，0），设圆C的方程为x2+y2+
28、Dx+Ey+F0，将三个点坐标代入得：，解得：，即圆C的方程为x2+y24x4y+30，其标准方程为：（x2）2+（y2）25；（2）由（1）知C（2，2），由题意，解得：m3或m7；（3）设点C到直线y2x+m的距离为d，则，则，解得：【点评】本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题22（12分）已知函数f（x）log2x，x（0，+）（1）解不等式：f2（x）+3f（x）4；（2）若函数F（x）f2（x）+3f（x）m在区间1，2上存在零点，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的反函数为G（x），且G（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函
29、数，试比较g（1）与h（1）的大小【分析】（1）求出函数值的不等式，然后利用对数函数的性质求解即可（2）利用换元法，结合二次函数的性质转化求解即可（3）化简函数的解析式利用函数的奇偶性，转化求解即可【解答】解：（1）由f2（x）+3f（x）4得，f（x）1或f（x）4，即log2x1或log2x4，因此，不等式的解集为4分（2）令F（x）0，得mf2（x）+3f（x），令tf（x）log2x，因为x1，2，所以t0，1即mt2+3t，其中t0，1故m0，48分（3）G（x）2x，即g（x）+h（x）2x因此，因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数得，解之得：，10分所以，因此，g（1）h（1）12分另法：h（1）g（1）h（1）+g（1）G（1）20，所以，g（1）h（1）【点评】本题考查函数与方程的应用，不等式的解法函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力
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