1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十四 外接球一、构造正方体与长方体的外接球问题例1：已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为（ ）ABCD【答案】C【解析】，直三棱柱的底面为直角三角形，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线就是球的直径，即球的半径为二、与正棱锥有关的外接球问题例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）ABCD 【答案】C【解析】正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，球心是底面三角形的中心，球的半径为，底面三角形的边长为，即该正三棱锥的体积为三
2、、其他柱体、锥体的外接球问题例3：已知是球的球面上的两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设球的半径为，则，当平面时，三棱锥的体积最大，此时，解得，所以球的表面积为对点增分集训一、选择题1一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为，棱柱的体积为，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱柱的高为，体积为，则底面面积为，即底面正方形的边长为，正四棱柱的对角线长即球的直径为，即球的半径为，球的表面积为2一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则几何体的外
3、接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】把原来的几何体补成以，为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，3直三棱柱中，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】在直三棱柱中，为棱构造一个正方体，则外接球的半径，故表面积为4点，在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】设的中心为，过点作平面的垂线，则有题意可知，点在直线上，的面积为由体积的最大值可得，则由题意易知，外接球的球心在上，设球心为点，半径的外接圆半径满足，即，在中，即，解得据此可得这个球的表面积为5一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个
4、球面上，则此球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是，正方体的体对角线长为，即此球的半径，故球的表面积6已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为，则其外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为为等腰三角形，所以为截面圆的直径，即该三棱锥的外接球的球心在截面中的射影为的中点，当，三点共线且，位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为，所以，解得，设外接球的半径为，则，在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为7已知四面体中，平面，则四面体外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】在中，由，可
5、得，则，又平面，故，则8已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，9已知，是同一个球面上的四个点，其中是正三角形，平面，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】把，扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与的距离为球的半径，是正三角形，所以，所以球的体积为10已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，即，解得，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，即球的表面积为11如图，在四面体中，点是点在平面上的投影，且则四面体的外接球的体积为（ ）ABC
6、D【答案】A【解析】在四面体中，点是点在平面上的投影，且，由题意知四面体的外接球的球心在线段上，解得四面体的外接球的体积为12已知四面体的外接球球心恰好在棱上，且，则这个四面体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】，外接圆的直径为，球心为的中点球心恰好在侧棱上，面，又外接球球心恰好在棱上，所以为中点，所以即面，则四面体的体积为二、填空题13一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 【答案】【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为，的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，设该三棱锥的外接球半径为，外接球的表面积为14已知点，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形，若，则的面积为 【答案】【解析】是边长为正方形，平面，15在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积 【答案】【解析】由题的直三棱柱的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心和下底面外接圆的圆心的连线的中点在三角形中，由余弦定理得，由正弦定理得，在直角三角形中，球的表面积为16已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为的正方形，则该球的表面积是 【答案】【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以，所以球的表面积为10
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