1、第一篇 集合与不等式专题1.03等式与不等式的性质【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.【知识梳理】1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.等式的性质(1)对称性：若ab，则ba.(2)传递性：若ab，bc，则ac.(3)可加性：若ab，则acbc.(4)可乘性：若ab，则acbc；若ab，cd，则acbd.3.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开
2、方：ab0(nN，n2).【微点提醒】1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分数的性质(1)若ab0，m0，则(bm0).(2)若ab0，且ab1，则ab.()(4)0axb或axb01，但a【解析】()2172，()2172，()2()2，.【真题体验】4.(2018衡阳联考)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2bc2 B. D.a2abb2【答案】D【解析】c0时，A项不成立；0，选项B错；0，选项C错.由ababb2.D正确.5.(2017北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若abc，则abc”说法不
3、正确的一组整数a，b，c的值依次为_.【答案】1，2，3(答案不唯一)【解析】因为abc，所以ac，bc，则ab2c.所以abc不一定正确.因为2c与c的大小关系不确定，当c0时，2cc；当c0时，2cc；当c0时，2cc.不妨令a1，b2，c3，则abc.6.(2019运城模拟)若，则的取值范围是_.【答案】(，0)【解析】由，得a B.acbC.cba D.acb(2)已知a1，a2(0，1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()A.MNC.MN D.不确定(3)(一题多解)若a，b，c，则()A.abc B.cbaC.cab D.ba0，ba，cba.(2)MNa1a2(
4、a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又因为a1(0，1)，a2(0，1)，所以a110，a210，即MN0，所以MN.(3)法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cb0，得0xe；由f(x)e.f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数.f(3)f(4)f(5)，即abc.【规律方法】1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作
5、商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练1】 (1)若a，b为正数，且ab，则a3b3_a2bab2(用符号、填空).(2)若0a(2)a2aba2b20，b0且ab，(ab)20，ab0，(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.(2)0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2.即a2ab1，即a2b2.b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0.考点二不等式
6、的性质【例2】 (1)已知a，b，c满足cba，且acac B.c(ba)0C.cb20(2)(一题多解)若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B. C. D.【答案】(1)A(2)C【解析】 (1)由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立.(2)法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b
7、0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.【规律方法】解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】 (1)(2019东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A
8、.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)设ab1，c；acloga(bc).其中所有正确结论的序号是()A. B. C. D.【答案】(1)A(2)D【解析】(1)a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若ba|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件.(2)由不等式性质及ab1，知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确.考点三不等式及其性质的应用角度1不等式在实际问题中的应用【例31】 (2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同
9、时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_.该小组人数的最小值为_.【答案】612【解析】令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2zxyz，若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1zyx2，不满足条件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyx6，y4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为34512.角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围【例32】 (经典母题)已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.【答
10、案】(4，2)(1，18)【解析】因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以13x2y18.【迁移探究1】 将本例条件改为“1xy3”，求xy的取值范围.【答案】见解析【解析】因为1x3，1y3，所以3y1，4xy4.又因为xy，所以xy0，由得4xy0，故xy的取值范围是(4，0).【迁移探究2】 将本例条件改为“已知1xy4，2xy3”，求3x2y的取值范围.【答案】见解析【解析】设3x2y(xy)(xy)，即3x2y()x()y，于是解得3x2y(xy)(xy).1xy4，2xy3，(xy)2，5(xy)，(xy)(xy).故3x2y的取
11、值范围是.【规律方法】1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg、y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混
12、合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为_.(2)(2019青岛测试)已知实数a(1，3)，b，则的取值范围是_.【答案】(1)(2)(4，24)【解析】(1)x，y所满足的关系为即(2)依题意可得48，又1a3，所以424.【反思与感悟】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.【易错防范】1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立
13、的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.形如例32探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【分层训练】【基础巩固题组】 (建议用时：35分钟)一、选择题1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为()A.v40 km/hC.v40 km/h D.v40 km/h【答案】D【解析】由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40
14、km/h，即v40 km/h，故选D.2.若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)C.f(x)g(x) D.随x的值变化而变化【答案】B【解析】f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x).3.若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】0aba2b2，但由a2b20不能推出0.故选A.4.若a，bR，且a|b|0 B.a3b30C.a2b20 D.ab0【答案】D【解析】由a|b|0知，a|b|，当b0时
15、，ab0成立，当b0时，ab0成立，所以aby”的充要条件是()A.2x2y B.lg xlg yC. D.x2y2【答案】A【解析】因为2x2yxy，所以“2x2y”是“xy”的充要条件，A正确；lg xlg yxy0，则“lg xlg y”是“xy”的充分不必要条件，B错误；“”和“x2y2”都是“xy”的既不充分也不必要条件.6.(2018湖州质检)若实数m，n满足mn0，则()A. B. D.m2mn【答案】B【解析】取m2，n1，代入各选择项验证A，C，D不成立.1只有B项成立.7.已知0aN B.MNC.MN D.不能确定【答案】A【解析】因为0a0，1b0，1ab0，所以MN0.
16、故选A.8.已知函数f(x)x3ax2bxc.且0f(1)f(2)f(3)3，则()A.c3 B.3c6C.69【答案】C【解析】由f(1)f(2)f(3)得解得则f(x)x36x211xc，由0f(1)3，得01611c3，即6”“”或“”).【答案】【解析】分母有理化有2，显然2，所以0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号).【答案】【解析】ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确.故都正确.12.已知a0，b0，ab，则aabb与(ab)的大小关系是_.【答案
17、】aabb(ab)【解析】.当ab0时，1，0，则1，aabb(ab).当ba0时，01，1，aabb(ab).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.已知0a0 B.2abC.log2alog2b2 D.2【答案】C【解析】由题意知0a1，此时log2a0，A错误；由已知得0a1，0b1，所以1b0，又ab，所以1ab0，所以2ab1，B错误；因为0a22，所以2224，D错误；由ab12，得ab，因此log2alog2blog2(ab)n2，所以mn4；结合定义及pq2，可得或即qaab，则实数b的取值范围是_.【答案】(，1)【解析】因为ab2aab，所以a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21bc，求的取值范围.【答案】见解析【解析】因为f(1)0，所以abc0，所以b(ac).又abc，所以a(ac)c，且a0，c，即11.所以解得2.即的取值范围为【新高考创新预测】17.(多选题)下列四个条件，能推出成立的有()A.b0a B.0abC.a0b D.ab0【答案】ABD【解析】运用倒数性质，由ab，ab0可得，B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选A，B，D.12
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