1、第二篇 函数及其性质专题2.01函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值
2、叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分
3、类讨论.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数y1与yx0是同一个函数.()(2)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(3)f(x)是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)错误.函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域CB，不一定有CB.(3)错误.f(x)中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y
4、2，则函数yf(x)的图象可能是()【答案】B【解析】A中函数定义域不是2，2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0，2.3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()A.y()2 B.y1C.y1 D.y1【答案】B【解析】对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域xR不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019北京海淀区期中)已知f(x5)lg x，则f(2)()A.lg
5、 2 B.lg 5 C.lg 2 D.lg 3【答案】A【解析】令x52，则x2，f(2)lg 2lg 2.5.(2019河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)ln(x4)的定义域为_.【答案】(4，1【解析】f(x)有意义，则解得40，且xk(kZ).1x1且kxk，kZ，可得x1.则函数的定义域为.(2)因为yf(x)的定义域为0，2，所以要使g(x)有意义应满足解得0x1.所以g(x)的定义域是0，1).【规律方法】1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问
6、题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出.(2)若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域.【训练1】 (1)(2019深圳模拟)函数y的定义域为()A.(2，1) B.2，1C.(0，1) D.(0，1(2)(2019山西名校联考)设函数f(x)lg(1x)，则函数ff(x)的定义域为()A.(9，) B.(9，1)C.9，) D.9，1)【答案】(1)C(2)B【解析】(1)要使函数有意义，则解得函数的定义域是(0，1).(2)易知ff(x)flg(1x)l
7、g1lg(1x)，则解得9x1)(2)x2x2(3)【解析】(1)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1).(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx1，所以即f(x)x2x2.(3)在f(x)2f1中，将x换成，则换成x，得f2f(x)1，由解得f(x).【规律方法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再
8、构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).【训练2】 (1)(2019杭州检测)已知函数f(x)axb(a0)，且ff(x)4x3，则f(2)_；(2)若f(x)满足2f(x)f(x)3x，则f(x)_.【答案】(1)3(2)3x【解析】(1)易知ff(x)a(axb)ba2xabb，a2xabb4x3(a0)，因此解得所以f(x)2x1，则f(2)3.(2)因为2f(x)f(x)3x，所以将x用x替换，得2f(x)f(x)3x，由解得f(x)3x.考点三分段函数角度1分段函数求值【例31】 (2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则ff(
9、15)的值为_.【答案】【解析】因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2，2上，f(x)所以f(15)f(1)，因此ff(15)fcos .角度2分段函数与方程、不等式问题【例32】 (1)设函数f(x)若f4，则b()A.1 B. C. D.(2)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.【答案】(1)D(2)【解析】(1)f3bb，若b时，则f f 3b4，解得b，不合题意舍去.若b1，即b，则2b4，解得b.(2)当x0时，f(x)f(x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当01，该式恒成立，当x时，f(x)f2x2x，又
10、x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.【规律方法】1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019合肥模拟)已知函数f(x)则ff(1)()A. B.2 C.4 D.11(2)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_.【答案】(1)C(2)【解析】(1)由题意知f(1)1223，因此ff(1)f
11、(3)34.(2)当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a1，f(log212)2(log212)12log266，因此f(2)f(log212)369.5.(2019西安联考)已知函数f(x)x24x，xm，5的值域是5，4，则实数m的取值范围是()A.(，1) B.(1，2C.1，2 D.2，5【答案】C【解析】f(x)x24x(x2)24.当x2时，f(2)4.由f(x)x24x5，得x5或x1.要使f(x)在m，5上的值域是5，4，则1m2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人
12、数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y B.yC.y D.y【答案】B【解析】代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y.7.(2017山东卷)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由已知得0a0，则实数a的取值范围为()A.(1，) B.(2，)C.(，1)(1，) D.(，2)(2，)【答案】D【解析】当a0时，显然不成立.当a0时，不等式af(a)f(a)0等价于a22a0，解得a2.当a
13、0等价于a22a0，解得a2.综上所述，a的取值范围为(，2)(2，).二、填空题9.函数f(x)ln的定义域为_.【答案】(0，1【解析】要使函数f(x)有意义，则00，则|log2x|，解得x2或x2.故x的集合为.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：yx；yln ；y其中满足“倒负”变换的函数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于，f(x)ln ，则fln f(x)，不满足；对于，f即f则ff(x).所以满足“倒负”变换的函数是.14.(2019河南八市联考
14、)设函数f(x)若对任意的aR都有ff(a)2f(a)成立，则的取值范围是()A.(0，2 B.0，2C.2，) D.(，2)【答案】C【解析】当a1时，2a2.ff(a)f(2a)22a2f(a)恒成立.当a0，所以flog2x，则f(x)log2log2x.16.(2019绍兴调研)设f(x)则f(f(1)_；不等式f(x)2的解集为_.【答案】1(1，2)(，)【解析】f(1)2e02，f(f(1)f(2)log3(41)1.当x2时，f(x)2即ex11e0，x1，1x2.当x2时，f(x)2即为log3(x21)2log332，x210，即x或x，x.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f(x)满足：f(f(x)x0恒成立，则f(x)的解析式不可能是()A.f(x) B.f(x)exC.f(x)x2 D.f(x)lg【答案】ACD【解析】A中，f(f(x)fx(x0)恒成立，所以f(f(x)x0不恒成立，A正确；B中，因为exx，所以eexexx，所以f(f(x)eexx恒成立，B错误；C中，f(f(x)x4x，此方程有x0或x1两个根，所以f(f(x)x0不恒成立，C正确；D中，x0时，f(f(x)x成立，所以f(f(x)x0不恒成立，D正确.13
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