1、第二篇 函数及其性质专题2.04 幂函数与二次函数【考试要求】1.通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题【知识梳理】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(xR
2、)不可能是偶函数.()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y2x不是幂函数，(1)错.(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.【教材衍化】2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.3.(必修1P44A9改编)若函数f(x)4x2kx8在1，2上是单调函数，则实数k
3、的取值范围是_.【答案】(，816，)【解析】由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x，所以要使f(x)在1，2上是单调函数，则有1或2，即k8或k16.【真题体验】4.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.caab.5.(2019衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)x22x1 B.f(x)x21C.f(x)2x D.f(x)2x1【答案】A【解析】由存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x0.只有选项A中，f(x
4、)x22x1关于x1对称.6.(2019菏泽检测)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为_.【答案】1【解析】由题意知解得m1.【考点聚焦】考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.cabC.bca D.bac【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0xb，因为y是减函数，所以ac，所以bac.【规律方法】1.对于
5、幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(2019洛阳二模)已知点在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数f(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数(2)(2018上海卷)已知，.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.【答案】(1)A(2)1【解析】(1)由题意得a11，且ab，因此a2且b1.故f(x)x1是奇函数，但在定义域(，0
6、)(0，)不是单调函数.(2)由题意知可取1，1，3.又yx在(0，)上是减函数，0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)x2xa(a0)，已知f(m)0 D.f(m1)0【答案】(1)A(2)C【解析】(1)若0a1，则yloga x在(0，)上是增函数，y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.(2)因为f(x)的对称轴为x，f(0)a0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得1m0，所以f(m1)f(0)0.【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶
7、点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】 一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】A中，由一次函数yaxb的图象可得a0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向上，A错误；B中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向上，对称轴x0，B错误；C中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开
8、口向下，对称轴x0，C正确；D中，由一次函数yaxb的图象可得a0，bxk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函数
9、的解析式就是确定函数式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【易错防范】1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a
10、0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019济宁联考)下列命题正确的是()A.yx0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数yx是奇函数，则yx是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限【答案】D【解析】A中，点(0，1)不在直线上，A错；B中，yx，当0时，图象不过原点，B错；C中，当0，所以f(x)在(，2上是递减的，在2，)上是递增的.3.(2019北京朝阳区模拟)已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A.1 B.0 C
11、.1 D.2【答案】A【解析】f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0，1上单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321.4.(2019岳阳一中)已知函数yax2bx1在(，0是单调函数，则y2axb的图象不可能是()【答案】B【解析】当a0，b0时，y2axb的图象可能是A；当a0时，0b0，y2axb的图象可能是C；当a0时，0b0，y2axb的图象可能是D.5.已知p：|m1|1，q：幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不
12、必要条件【答案】B【解析】p：由|m1|1得2m0，幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，m2m11，且m0，且14ab0，4ab1，且b0.故a4b22，当且仅当a4b，即a1，b时等号成立.所以a4b的取值范围是2，).8.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是_.【答案】0，4【解析】由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.三、解答题9.已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当
13、x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)依题意得：(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0.(2)由(1)得，f(x)x2，当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)，当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)，因p是q成立的必要条件，则BA，则即得0k1.故实数k的取值范围是0，1.10.已知奇函数yf(x)定义域是R，当x0时，f(x)x(1x).(1)求出函数yf(x)的解析式；(2)写出函数yf(x)的单调递增
14、区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)【答案】见解析【解析】(1)当x0，所以f(x)x(1x).又因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x(1x).综上f(x)(2)函数yf(x)的单调递增区间是.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019武汉模拟)幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a()A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐标分别
15、代入yxa，yxb，得alog，blog，alog0.12.已知函数f(x)x2axb(a，bR)，若存在非零实数t，使得f(t)f2成立，则a24b2的最小值为()A. B. C.16 D.4【答案】A【解析】由f(t)f2知，存在实数t0，使a2b0成立，又a24b2的几何意义为坐标原点与点(a，2b)的距离的平方，记2bm，ut，则u24.故a2b0，即uamu20，其表示动点(a，m)的轨迹，设为直线l，则原点与点(a，m)的距离的最小值为原点到直线l的距离，故a24b2.13.已知函数f(x)mx2(2m)xn(m0)，当1x1时，|f(x)|1恒成立，则f_.【答案】【解析】当x1
16、，1时，|f(x)|1恒成立.因此n1，f(0)1，f(1)1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m2，f(x)2x21，f.14.已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1，1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设f(x)ax2bx1(a0)，则f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，又f(0)1，所以c1，因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1，1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1).【新高考创新预测】15.(思维创新)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关.16
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