1、第一篇 集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与
2、存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p，读作“非p”) 名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，p(x0)xM，p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的
3、否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知p：x1和q：x1，则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()【教材衍化】2.(选修21P26A3改编)命题“xR，x2x0”的否定是()A.x0R，x02x00 B.x0R，x02x00C.xR，x2x0 D.xR，x2x2n，则p为()A.nN，n22n B.nN，n22nC.nN，n22n D.nN，n22n5.(2018天津卷)设xR，则“”是
4、“x31是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求m的取值范围.【迁移探究1】 本例条件不变，若xP是xS
5、的必要不充分条件，求m的取值范围.【迁移探究2】 本例条件不变，若xP的必要条件是xS，求m的取值范围.【迁移探究3】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】 (2019临沂月考)
6、设p：实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31】 (1)命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且f(n)nB.nN*，f(n) N*或f(n)nC.n0N*，f(n0) N*且f(n0)n0D.n0N*，f(n0) N*或f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()A.xR，1f(x)2B.x0R，12D.xR，f(x)1或f(x)2角度2含有量词(、)的参数取值问题【例32】 (经典母题)已知f(x)ln(x2
7、1)，g(x)m，若对x10，3，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_.【迁移探究】 若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 (2019衡水调研)已知命题p：xR，log2(x2xa)0恒成立，命题q：x02，2，2a2x0，若命题p和q都成立，则实
8、数a的取值范围为_.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)；若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.【核心素养提升】
9、逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)x，若对任意x11，1，总存在x20，2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策
10、略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0)，若存在x10，1及x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A，都存在x
11、2B，使得f(x1)0B.不存在xZ，使x22xm0C.xZ，使x22xm0D.xZ，使x22xm02.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3.设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.(2019焦作模拟)命题p：cos ，命题q：tan 1，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，
12、则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“x0R，x024x0a0”.若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是()A.(4，) B.1，4 C.e，4 D.(，1)7.(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn1 C.a4 D.a4二、填空题9.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.10.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的_条件.11.已知“p：(xm)23(xm)”是“q：x23x4b”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.16.设数列an是等比数列，求证：“an是递增数列”的充要条件为“a1a2b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_(填写一个正确的即可).12
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