1、第二篇 函数及其性质专题2.08函数与方程【考试要求】1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理【知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210【
2、微点提醒】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()【教材衍化】2.(必
3、修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点【真题体验】4.(2019德州质检)若函数f(x)x22xa没有零点，则实
4、数a的取值范围是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)5.(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数是_.6.(2019上海黄浦区月考)方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围是_.【考点聚焦】考点一函数零点所在区间的判定【例1】 (1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)(2)设函数yx3与y的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.【规律方法】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间
5、a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)(2)函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)考点二确定函数零点的个数【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)的零点个数为()A.3
6、 B.2 C.1 D.0(2)(2019安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【规律方法】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【训练2】 (1)函数f(x)3x|ln x|1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D
7、.4(2)(2019淄博调研)设函数f(x)2|x|x23，则函数yf(x)的零点个数是()A.4 B.3 C.2 D.1考点三函数零点的应用【例3】 (1)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A.(，1) B.(，1)C.(1，0) D.1，0)(2)(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)【规律方法】1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知
8、函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【训练3】 (2018浙江卷)已知R，函数f(x)(1)当2时，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.【反思与感悟】1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(
9、x)图象公共点的个数来判断.【易错防范】1.若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，则函数yf(x)一定有零点.特别是，当yf(x)在a，b上单调时，它仅有一个零点.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B.2，0 C. D.02.(2019岳阳二模)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是
10、()A.0 B.1 C.2 D.33.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)4.函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)5.(2019湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.6.已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零点依次为a，b，c，则()A.abc B.acbC.bca D.ba0，函数f(x)若关于x的方程
11、f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019永州模拟)已知函数f(x)alog2(x2a)(a0)的最小值为8，则实数a的取值范围是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)14.(2019天津河东区一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x1，1时，f(x)x2.令g(x)f(x)kxk，若在区间1，3内，函数g(x)0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是()A.(0，) B.C. D.15.(2019济南质检)已知函数f(x)exex4，若方程f(x)kx4(k0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3_.16.若曲线ylog2(2xm)(x2)上至少存在一点与直线yx1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为_.【新高考创新预测】17.(多填题)已知函数f(x)若f(x)是单调函数，则实数a的取值范围是_；若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有三个零点，则实数a的取值范围是_.10
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