1、第三篇 导数及其应用专题3.02利用导数研究函数的单调性【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象
2、形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【微点提示】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f
3、(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的
4、最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修22P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修22P32A5(4)改编)函数f(x)2xxln x的极值是()A. B. C.e D.e2【答案】C【
5、解析】因为f(x)2(ln x1)1ln x，令f(x)0，所以xe，当f(x)0时，解得0xe；当f(x)e，所以xe时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.【真题体验】4.(2019青岛月考)函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【答案】D【解析】易知f(x)sin x1，x(0，)，则f(x)0，所以f(x)cos xx在(0，)上递减.5.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()【答案】D【解析】设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2
6、，x3，由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10x2x3)，所以函数f(x)在(，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.6.(2019豫南九校考评)若函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，则常数c的值为()A.4 B.2或6C.2 D.6【答案】C【解析】函数f(x)x(xc)2的导数为f(x)3x24cxc2，由题意知，在x2处的导数值为128cc20，解得c2或6，又函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，故导数在x2处左侧为负，右侧为正，而当e6时，f(x)x(x6)2在x2处
7、有极大值，故c2.【考点聚焦】考点一求函数的单调区间【例1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.【答案】见解析【解析】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)x(x1)(x4)ex.令g(x)0，即x(x1)(x4)0，解得1x0或x0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x
8、)的单调递增区间为，.考点二讨论函数的单调性【例2】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，0.【规律方法】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依
9、据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练2】 已知f(x)aln x，aR，求f(x)的单调区间.【答案】见解析【解析】因为f(x)aln x，x(0，)，所以f(x)x.(1)当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为单调递增函数.(2)当a0时，f(x)，则有当x(0，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，).综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0
10、，)，无单调递减区间.当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，).考点三函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.ffC.ff D.ff(2)已知函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)，则不等式F(x)的解集为()A.(，1) B.(1，)C.(1，e) D.(e，)【答案】(1)B(2)B【解析】(1)令g(x)，则g(x).由解得x；由解得0x，所以
11、gg，所以，即ff.(2)F(x)，又f(x)f(x)0，知F(x)0，F(x)在R上单调递减.由F(x)1，所以不等式F(x)0.h(x)ax2.(1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，则a恒成立，设G(x)，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等
12、号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.【规律方法】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f(x)是定义在区间
13、(0，)内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(2019淄博模拟)若函数f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.C.2，) D.【答案】(1)B(2)B【解析】(1)设函数g(x)(x0)，则g(x)g(2)，即，所以4f(1)f(2).(2)由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，等价于f(x)k0在(2，)上恒成立，由于k，而00，f(x)0(f(x)0；在(0，)上，f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的单调递增区间是(e1，).3.(2
14、019青岛二中调研)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.k3或1k1或k3B.不存在这样的实数kC.2k2D.3k1或1k3【答案】D【解析】由f(x)x312x，得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2或x2，只要f(x)0的解有一个在区间(k1，k1)内，函数f(x)在区间(k1，k1)上就不单调，则k12k1或k12k1，解得3k1或1kf(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)【答案】D【解析】f(x)的定义域是(0，)，f(x)，x(0，e)，f(x)0，x(e，)，
15、f(x)f(3)f(2).5.(2019济宁一中模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)【答案】B【解析】由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增.又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1.二、填空题6.已知函数f(x)(x22x)ex(xR，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为_.【答案】(，)【解析】
16、因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，).8.若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_.【答案】【解析】对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.三、解答题9.已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【答案】见解析【解析】(1)
17、对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x0).则f(x).令f(x)0，且x0，x5(x1舍去).当x(0，5)时，f(x)5时，f(x)0.所以函数f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).10.(2019成都七中检测)设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.【答案】见解析【解析】(1)解：由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x
18、)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x【答案】A【解析】设函数g(x)exf(x)，对于A，g(x)ex2x，在定义域R上为增函数，A正确.对于B，g(x)exx2，则g(x)x(x2)ex，由g(x)0得x0，g(x)在定义
19、域R上不是增函数，B不正确.对于C，g(x)ex3x在定义域R上是减函数，C不正确.对于D，g(x)excos x，则g(x)excos，g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确.12.(2019上海静安区调研)已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f2f(1)的解集为()A.(e，) B.(0，e)C.(1，e) D.【答案】D【解析】f(x)xsin xcos xx2是偶函数，所以ff(ln x)f(ln x).则原不等式可变形为f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得x0时，f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增.|ln x|11ln x1x0时，
20、f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数.(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点.由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.m9.即实数m的取值范围是.【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.则m_，f(x)的单调递减区间为_.【答案】3(0，2)【解析】由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，所以g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.因为g(x)的图象关于y轴对称，所以0，所以m3，代入得n0，所以f(x)3x26x3x(x2).由f(x)0，得0x2，所以f(x)的单调递减区间是(0，2).
浙公网安备33030202001339号