1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.01角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长
2、公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若，则tan sin .2.角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)小于
3、90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角的终边过点P(8m，3)，且cos ，则m的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得m0且，解得m.3.(必修4P4例1改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的角构成的集合为_.【答案】675，315【解析
4、】所有与角终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ).解得k2或k1，675或315.【真题体验】4.(2019衡水模拟)若sin cos 0，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由0，得0，故cos 0.又sin cos 0，所以sin 0，所以为第四象限角.5.(2019日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_.【答案】【解析】设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.6.(2019石家庄模拟)已知角的终边在直线
5、yx上，且cos 0，则tan _.【答案】1【解析】如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.【考点聚焦】考点一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.【答案】(1)C(2)【解析】(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：
6、，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.【规律方法】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_.【答案】(1)B(2)【解析】(1)由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045
7、k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.(2)在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为.考点二弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10 cm，求扇形的面积.【答案】见解析【解析】由已知得，R10，S扇形R2102(cm2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由
8、已知得，l2R20，即l202R(0R10).所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019青岛质检)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆
9、弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米【答案】B【解析】法一如图，由题意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，于是矢422.由ADAOsin 42，得弦AB2AD4.所以弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(平方米).法二由已知，可得扇形的面积S1r242，AOB的面积S2OAOBsin AOB44sin 4.故弧田的面积SS1S249(平方米).考点三三角函数的概念【例3】 (1)在
10、平面直角坐标系中，若角的终边经过点P，则sin()()A. B. C. D.(2)若sin tan 0，且0，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】(1)B(2)C【解析】(1)易知sin ，cos ，则P.由三角函数的定义可得sin ，则sin()sin .(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角；由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.【规律方法】1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)
11、已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos()的值为()A. B. C.0 D.(2)满足cos 的角的集合为_.【答案】(1)A(2)【解析】(1)由三角函数的定义可得cos ，sin ，cos ，sin .所以cos()cos cos sin sin .(2)作直
12、线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|r一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防范】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35
13、分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确.40036040，从而正确.31536045，从而正确.2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)【答案】C【解析】与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.3.(2019北京朝阳区模拟)已知角的终边经过点(，)，若，则m的值
14、为()A.27 B. C.9 D.【答案】B【解析】tan m，m13327，m，故选B.4.已知点M在角终边的反向延长线上，且|OM|2，则点M的坐标为()A.(2cos ，2sin ) B.(2cos ，2sin )C.(2cos ，2sin ) D.(2cos ，2sin )【答案】C【解析】由题意知，M的坐标为(2cos()，2sin()，即(2cos ，2sin ).5.设是第三象限角，且cos ，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0且sin ，解得m3.10.已知扇形的圆心角
15、为，面积为，则扇形的弧长等于_.【答案】【解析】设扇形半径为r，弧长为l，则解得11.(2019许昌调研)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.【答案】【解析】因为是第二象限角，所以cos x0，即x0，则实数a的取值范围是_.【答案】(2，3【解析】cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.2a3.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是
16、第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知只有正确.14.(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A. B. C. D.1【答案】B【解析】由题意可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(
17、ba)2，则|ba|.15.函数y的定义域为_.【答案】(kZ)【解析】2sin x10，sin x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x(kZ).16.已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求的终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号.【答案】见解析【解析】(1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由(1)知2k2k，kZ，故kk，kZ，故的终边在第二、四象限.(3)当在第二象限时，tan 0，cos 0，所以tan sin cos 取正号；当在第四象限时，tan 0，sin 0，所以tan sin cos 也取正号.综上，tan sin cos 取正号.【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d_(其中t0，60)；d的最大值为_cm.【答案】10sin10【解析】根据题意，得AOB2，故d25sin10sin(t0，60).t0，60，0，当t30时，d最大为10 cm.14
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