1、第八篇 平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称
2、性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到
3、点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()【教材衍化】2.(选修21P62A6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.3.(选修21P61A1改编)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_.【真题体验】4.(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A.(，0)，(，0)
4、B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)5.(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.6.(2018北京卷)若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.【考点聚焦】考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2()A. B. C. D.(2)(2019济南调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.【规律方法】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，
5、进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若AF1F2的周长为10a，则AF1F2的面积为()A.2a2 B.a2C.30a2 D.15a2(2)(2019杭州质检)双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A.8 B.10 C.43 D.33考点二双曲线的标准方程【例2】
6、(1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【规律方法】1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2.与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0).【训练2】 (1)(20
7、19海南二模)已知双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A.y21 B.1C.x21 D.1(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为_.考点三双曲线的性质角度1求双曲线的渐近线【例31】 (一题多解)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx角度2求双曲线的离心率【例32】 (1)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|
8、PF1|OP|，则C的离心率为()A. B.2 C. D.(2)(2018泰安联考)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C.(1，2) D.(2，)角度3与双曲线有关的范围(最值)问题【例33】 已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，b0)的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相切，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.【反思与感悟】1.与双曲线1 (a0，
9、b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1 (a0，b0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用
10、时：40分钟)一、选择题1.(2019郑州模拟)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.y2x2.双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.3.(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C. D.24.(2019天津和平区一模)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若FOM的面积为，其中O为坐标原点，则
11、双曲线的方程为()A.x21 B.1C.1 D.15.已知F2，F1是双曲线1(a0，b0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx二、填空题6.直线l：y2x10过双曲线1(a0，b0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_.7.设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.8.(2019梅州质检)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，
12、PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的离心率为_.三、解答题9.(2019安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.10.设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019河南适应测试)已知
13、F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()A.y2x B.yxC.yx D.yx12.已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.， B.2，1C.2， D.，113.(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_.14.已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4ee_，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|_.15
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