1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.02空间点、直线、平面的位置关系【考试要求】1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.【知识梳理】1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图
2、形语言符号语言a，b是异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.【微点提醒】1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于
3、两异面直线所成的角，也可能等于其补角.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误
4、.【教材衍化】2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90【答案】C【解析】连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】B【解析】如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又FGBD，所以EFG或其补角为A
5、C与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形.【真题体验】4.(2019聊城调研)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行【答案】D【解析】依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.5.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【答案】A【解析】法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的
6、中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.6.(2018宁波月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条.【答案】无数【解析】在EF上任意取一点M，如图，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个
7、交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.【考点聚焦】考点一平面的基本性质及应用【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.【答案】见解析【解析】证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B.又因为A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定
8、一个平面.所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面.(2)由(1)知，EFCD1，且EFCD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交.设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD且P平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.【规律方法】1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再
9、证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【训练1】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【答案】见解析【解析】证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面.(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与
10、平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线.考点二判断空间直线的位置关系【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直【答案】(1)D(2)C【解析】(
11、1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)折起前ADBC，折起后有ADBD，ADDC，所以AD平面BCD，所以ADBC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.【规律方法】1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格
12、的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)(2018湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A. B.C. D.(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能【答案】(1)
13、C(2)D【解析】(1)由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与MN共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.考点三异面直线所成的角角度1求异面直线所成的角或其三角函数值【例31】 (一题多解)(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB
14、1所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】法一如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1.所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.法二以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以(1，0
15、，)，(1，1，).则cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.角度2由异面直线所成角求其他量【例32】 在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_.【答案】或【解析】如图，取BC的中点O，连接OE，OF.因为OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.【规律方法】用平移法求异面直线所成角的一般步骤：(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(
16、2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练3】 (2019杭州模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，M是AD的中点，MOAN，BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角.设三棱锥ABCD的所有棱长为2，则ANBMDN，则MOANNODN，则BO.在BMO中，由余弦定理得cosBMO，异面直线BM与AN所成角的余弦值为.【反思与感悟】1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个
17、平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.【易错防范】1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面
18、直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A. B.C. D.【答案】B【解析】显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，错.命题中，两个平面重合或相交，错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题正确.2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线【答案
19、】C【解析】由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾.3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A.12对 B.24对 C.36对 D.48对【答案】B【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对).4.下列命题中正确的个数为()若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条
20、直线共面；空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】在中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与的交线上，即P，Q，R三点共线，故正确；在中，因为ab，所以a与b确定一个平面，而l上有A，B两点在该平面上，所以l，即a，b，l三线共面于；同理a，c，l三线也共面，不妨设为，而，有两条公共的直线a，l，所以与重合，故这些直线共面，故正确；在中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故错.5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成
21、角的余弦值为()A. B.C. D.【答案】D【解析】连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.二、填空题6.给出下列四个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是_.【答案】【解析】正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.正确，a，b有交点，则两平面
22、有公共点，则两平面相交.正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.错误，这三条直线可以交于同一点，但不一定在同一平面内.7.(2019西安模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.【答案】【解析】如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.8.矩形ABCD中，AB，BC1，将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(
23、包含初始状态)为_.【答案】【解析】根据题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，当BD时，ADDB，ADDC，且DBDCD，所以AD平面DBC，又BC平面DBC，故ADBC，直线AD与BC成的角为，所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为.三、解答题9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【答案】见解析【解析】(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1CA就是AC与A1D所成的角.因为AB1ACB1C，所以B1CA
24、60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.【答案】见解析【解析】证明如图，连接BD，B1D1，则BDACO，BB1綉DD1，四边形BB1D1D为平行四边形.又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.故D1，H，O三点共
25、线.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019青岛质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.因此l1与l4的位置关系不能确定.12.(2019
26、珠海模拟)如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】取AD的中点N，连接PN，MN.M是AC的中点，MNCD，且MNCD，四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，PBCD，且PBCD，MNPB，且MNPB，四边形PBMN为平行四边形，MBPN，APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角.在RtAPN中，tanAPN，异面直线BM与PA所成角的正切值为.13.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确
27、的是_(填序号).ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；B1EBC1.【答案】【解析】因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误.14.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.【答案】见解析【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，即DE2EM2MD2，DEM为直角三角形，且DEM90，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.【新高考创新预测】15.(多选题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论正确的有()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线【答案】CD【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误，易得C，D正确.19
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