1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.04直线、平面垂直的判定及性质【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.【知识梳理】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的
2、锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面
3、互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l【微点提醒】1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另
4、一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.【教材衍化】2.(必修2P66练习改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()A.b B.bC.b或b D.b与相交【答案】
5、C【解析】据线面关系可知。3.(必修2P67练习2改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正确.【真题体验】4.(2019上海静安区质检)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且【答案】C【解析】由线线平行性质的传递性和
6、线面垂直的判定定理，可知C正确.5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC【答案】C【解析】如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a，b，则abB.若a，b，ab，则C.若a，ab，则bD.若a，ab，则b或b【答案】C【解析】对于A，若
7、a，则a，又b，故ab，故A正确；对于B，若a，ab，则b或b，存在直线m，使得mb，又b，m，.故B正确；对于C，若a，ab，则b或b，又，所以b或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确.【考点聚焦】考点一线面垂直的判定与性质【例1】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.【答案】见解析【解析】(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB
8、AC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.【规律方法】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本
9、思想.【训练1】 (2019青岛调研)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：BC1平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥EABC的体积为，求线段CE的长.【答案】见解析【解析】(1)证明AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，由余弦定理得BCBC2CC2BCCC1cosBCC11222212cos 603，BC1，BC2BC1CC12BCBC1，又AB，BC平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.(2)解AB平面BB1C1C，VEABCVAEB
10、CSBCEABSBCE1，SBCECEBCsinBCECE，CE1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【答案】见解析【解析】证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD
11、，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.【规律方法】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 (2018泸州模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，
12、ABDC，ABC90，ADSD，BCCDAB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面 SAB的面积.【答案】见解析【解析】(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，则BDa，CBD45，所以ABDABCCBD45，在ABD中，ADa，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)解由(1)可知ADSDa，在SAD中，SDA120，SA2S
13、Dsin 60a.作SHAD，交AD的延长线于点H，则SHSDsin 60a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCDaa2，解得a1.由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB2.又AB2，SA，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为，则SAB的面积为.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；
14、(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.【答案】见解析【解析】证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DE
15、FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.【规律方法】1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin
16、60，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.故存在满足条件的点M，且.【规律方法】1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一
17、般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例33】 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】见解析【解析】 (1)解如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，PD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以，异面直线AP与BC所成角的余
18、弦值为.(2)证明由(1)知ADPD，又因为BCAD，所以PDBC.又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解过点D作DFAB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.在RtDCF中，可得DF2.在RtDPF中，可得sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.【规律方法】1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由ADBC，ADPD，得PDBC，进而利用线
19、面垂直的判定定理证明PD平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG.(2)求二面角PADC的正切值.(3)求直线PA与直线FG所
20、成角的余弦值.【答案】见解析【解析】(1)证明因为PDPC且点E为CD的中点，所以PEDC.又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG.(2)解由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD，PECDE，AD平面PDC，ADPD，PDC为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，PD4，DE3，PE，tanPDC.故二面角PADC的正切值为.(3)解如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角PAC.在RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5.又PC4.AC2
21、CD2AD236945，AC3.又cosPAC.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.【反思与感悟】1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4
22、.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.【核心素养提升】【直观想象、逻辑推理】立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是直线
23、CD、AB上的动点，点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为，若的最小值为，则点P的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分【答案】B【解析】把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选B.【例2】 (2018石家庄一模)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的
24、正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图象是()【答案】C【解析】过M作MNAB，交AB于N，则MN平面ABCD，过N作NQAD，交CD于Q，过Q作QHPD，交PC于H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面，由题意得，解得MN42x，由.即，解得QH(2x)，过H作HENQ，在RtHEQ中，EQ2x，NE2(2x)x，MHx.yf(x)x24(0x0)，则BD，因为ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，AC平面ADC，所
25、以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，因为BDDC，E为BC的中点，所以DE，所以SADE1.因为DC平面ABD，所以VABCDVCABDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d.则由dSADEVBADEVABDEVABCD，得d，即点B到平面ADE的距离为.【新高考创新预测】15.(多选题)在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法正确的是()A.当AEPB时，AEF一定为直角三角形B.当AFPC时，AEF一定为直角三角形C.当EF平面ABC时，AEF一定为直角三角形D.当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形【答案】ACD【解析】因为AP平面ABC，BC平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB内两条相交直线，则BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE，又PBBCB，当AEPB时，AE平面PBC，又EF平面PBC，则AEEF，AEF一定是直角三角形，A正确；当EF平面ABC时，EF在平面PBC内，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EFBC，则EFAE，AEF一定是直角三角形，C正确；当PC平面AEF时，又AE平面AEF，AEPC，又AEBC，PCBCC，则AE平面PBC，又EF平面PBC，所以AEEF，AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明.28
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