1、第九篇 统计专题9.03变量间的相关关系与统计案例【考试要求】1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解22列联表的统计意义，了解22列联表独立性检验及其应用.【知识梳理】1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左
2、下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为x，则，.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心(，).3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一
3、种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R21.其中 (yii)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.4.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两
4、个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(22列联表)为y1y2总计x1Ababx2Cdcd总计acbdabcd则随机变量K2，其中nabcd为样本容量.【微点提醒】1.求解回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本中心点(，).2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.
5、()(2)通过回归直线方程x可以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】根据相关性概念及独立性检验概念可得。【教材衍化】2.(选修23P91探究改编)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A.回归分析 B.均值与方差C.独立性检验 D.概率【答案】C【解析】“近视”与“性别”是两类变量，其
6、是否有关，应用独立性检验判断.3.(选修23P85讲解改编)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的相关指数R2为0.98B.模型2的相关指数R2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25【答案】A【解析】在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.【真题体验】4.(2019临沂模拟)已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为x0.25，据此可以预测当
7、x8时，()A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.45【答案】C【解析】由题意知5，4，将点(5，4)代入x0.25，解得0.85，则0.85x0.25，所以当x8时，0.8580.256.55，故选C.5.(2015全国卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排
8、放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.6.(2019天津和平区检测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K26.705，则所得到的统计学结论是：有_的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.()P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82
9、8A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%【答案】C【解析】因为6.6356.7050，则正相关；r0时，正相关；R；x，y之间不能建立线性回归方程.【答案】(1)C(2)【解析】(1)由y0.1x1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故正确；由散点图知用yc1ec2x拟合比用x拟合效果要好，则RR，故正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.考点二线性回归方程及应用【例2】 (2019日照调研)某
10、地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2 012，zy5得到下表2：时间代号t12345Z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程x，其中，)【答案】见解析【解析】(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2，2.231.21.4，所以1.2t1.4.(2
11、)将tx2 012，zy5，代入1.2t1.4，得y51.2(x2 012)1.4，即1.2x2 410.8.(3)因为1.22 0222 410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.【规律方法】1.(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.(2)回归直线方程x必过样本点中心(，).2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.(2)对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换， 求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.【训练2】
12、(2018全国卷)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，17)建立模型：30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，7)建立模型：9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.5
13、19226.1(亿元).利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：()从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地
14、描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.()从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.考点三独立性检验【例3】 (2019湖南长沙雅礼中河南省实验中学联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(0，50(50，100(100，150(150，200(200，300(300，)空气质
15、量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调
16、查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数112711731根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2，其中nabcd.【答案】见解析【解析】(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，所以空气
17、重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1，由频率分布直方图可知(0.0040.0060.005m)500.11，解得m0.003.(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.30.1521，按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A1，A2，A3，A4，空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B1，B2，从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(
18、A4，B2)，(B1，B2)，共15个，记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A所包含的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9个，故P(A)，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为.(3)22列联表如下：空气质量优、良空气质量污染总计限行前9090180限行后382260总计128112240由表中数据可得，K23.2142.706，所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【规律方法】1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足adbc0.|a
19、dbc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|adbc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表：(2)根据公式K2计算K2的观测值k；(3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断.【训练3】 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_.【答案】5%【解析】K2
20、的观测值k4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【反思与感悟】1.求回归方程，关键在于正确求出系数a，b ，由于a ，b 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.【易错防范】1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出
21、的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.2.独立性检验中统计量K2的观测值k0的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A.r2r40r3r1 B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1 D.r2r40r10，r30，图(2)与图(4)是负相关，故r20，r40，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2r40r3r1，故选A.2.有下列说法：在残差图中，残差点比较均匀地落
22、在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适.用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越接近于1，说明模型的拟合效果越好.比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】根据残差、相关指数、拟合效果的概念可得。3.在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：说谎不说谎总计男6713女8917总计141630根据表中数据，得到如下结论正确的一项是()A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B.在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C.在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有
23、关D.在此调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关【答案】D【解析】由已知得k0.0020.455，所以在犯错误的概率不超过50%的情况下，认为说谎与性别无关，也就是说，在此调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关.4.(2019衡水中学调研)已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是()x681012y6m32A.变量x，y之间呈负相关关系B.可以预测，当x20时，3.7C.m4D.该回归直线必过点(9，4)【答案】C【解析】由0.76.635，可知我们有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.二、填空题6.某单位为了了解
24、用电量y(度)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()1813101用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程x中的2，预测当气温为4 时，用电量约为_度.【答案】68【解析】根据题意知10，40.所以40(2)1060，2x60.所以当x4时，y(2)(4)6068，所以用电量约为68度.7.(2019济南调研)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：
25、人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过_.附表：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】0.025【解析】由列联表计算K2的观测值k5.5565.024.推断犯错误的概率不超过0.025.8.(2019广东深中、华附、省实、广雅四校联考)如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为x1，则_.【答案】0.8【解析】由题图知2，2
26、.6，将(2，2.6)代入x1中，解得0.8.三、解答题9.(2019天津河西区调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：满意不满意男用户3010女用户2020(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.P(K2k0)0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2，nabcd.【答案】见解析【解析】(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为
27、.所以在满意产品的用户中应抽取女用户202(人)，男用户303(人).抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.故所求的概率为P0.6.(2)由题意，得K2的观测值为k5.3335.024.又P(K25.024)0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.10.调查某公司的五名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：推销员ABCDE工作年限x(年)23578年推销金额y(万元)33
28、.546.58(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程；(3)利用(2)中的回归方程，预测工作年限为10年的推销员的年推销金额.附：，.【答案】见解析【解析】(1)年推销金额关于工作年限的散点图如图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此， 工作年限与年推销金额正相关，即工作年限越长，年推销金额越大.(2)由表中数据可得：(23578)5，(33.546.58)5，55，年推销金额关于工作年限的回归直线方程为x.(3)当x10时，10，预测工作年限为10
29、年的推销员的年推销金额为万元.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是()A.若K2的观测值为k6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌B.由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误D.以上三种说法都不正确【答案】C【解析】独立性检验得出的结论是带有概率性质的
30、，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误.故选C.12.(2019承德期末)某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：)的数据，绘制了下面的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是()A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差(最
31、高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 的月份有4个【答案】D【解析】在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0 的月份有3个，故D错误.故选D.13.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是3.2x40，
32、且mn20，则其中的n_.【答案】10【解析】8，6.回归直线一定经过样本中心(，)，即63.240，即3.2mn42.又因为mn20，即解得故n10.14.(2019山东、湖北部分重点中学模拟)某地级市共有200 000名中小学生，其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为532，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1 000元、1 500元、2 000元.经济学家调查发现，当地人均可支配收入较上一年每增加有n%，一般困难的学生
33、中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“国家精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y(万元)近似满足关系式yC12C2x，其中C1，C2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)(ki)2(yi)2(xi)(yi)(xi)(ki)2.31.23.14.621其中kilog2 yi，ki.(1)估计该市2018年人均可支配收入；(2)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约
34、为多少.附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线方程u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.20.720.320.121.721.821.90.60.81.13.23.53.73【答案】见解析【解析】(1)因为(1314151617)15，所以 (xi)2(2)2(1)202122210.由klog2 y得klog2 C1C2x，所以C2，log2 C1C21.2150.3，所以C120.30.8，所以y0.82.当x18时，y0.821.80.83.52.8(万元).即该市2018年人均可支配收入为2.8万元.(2)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生有200 0007%14 000人，一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7 000人、4 200人、2 800人，2018年人均可支配收入比2017年增长20.110.110%，所以2018年该市特别困难的中学生有2 800(110%)2 520人.很困难的的学生有4 200(120%)2 80010%3 640人，一般困难的学生有7 000(130%)4 20020%5 740人.所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5 7401 0003 6401 5002 5202 00016 240 000(元)1 624(万元).22
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