1、第八篇 平面解析几何专题8.08抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离
2、心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线
3、截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程yax2(a0)可化为x2y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.【教材衍化】2.(选修21P72A1改编)顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是_.【答案】y2x或x2y【解析】设抛物线的标准方程是y2kx或x2my，代入点P(2，3)，解得k，m，所以y2x或x2y.3. (选修21P67A3改编)抛物线y28x上到其
4、焦点F距离为5的点的个数为_.【答案】2【解析】设P(x1，y1)，则|PF|x125，得x13，y12.故满足条件的点的个数为2.【真题体验】4.(2019黄冈联考)已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为()A.5 B.3或5 C.2或6 D.6【答案】B【解析】抛物线y24x的焦点为F(1，0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，m3或5.5.(2019北京海淀区检测)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P
5、作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.6.(2019宁波调研)已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.【答案】1，1【解析】设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1.【考点聚焦】考点一抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019厦门外国语
6、模拟)已知抛物线x22y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则y1xy2x()A.4 B.6 C.8 D.10(2)若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2 B. C. D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由抛物线定义知|AF|y1，|BF|y2，|AF|BF|y1y22，又知x2y1，x2y2，xx2(y1y2)4，y1xy2x(y1y2)(xx)246.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线
7、与抛物线相离，点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x4y70的距离，即2.【规律方法】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.(2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.【答案】(1)y24x(2)6【解析】(1)设动圆的圆心坐标为(x，y
8、)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018晋城模拟)抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，AMF的面积为()A.1 B. C.2
9、 D.2(2)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()A.y2x B.y2xC.y2x D.y2x【答案】(1)C(2)C【解析】(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则，则cos AMP，又0MAP0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d，解得k2，由得或把代入抛物线方程，得2p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x.【规律方法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.
10、在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.(2)(2019济宁调研)已知点A(3，0)，过抛物线y24x上一点P的直线与直线x1垂直相交于点B，若|PB|PA|，则P的横坐标为()A.1 B. C.2 D.【答案】(1)y23x(2)C【解析】(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为，故|AC|2|AA1
11、|6，从而|BF|1，|AB|4，故，即p，从而抛物线的方程为y23x.(2)由抛物线定义知：|PB|PF|，又|PB|PA|，所以|PA|PF|，所以xP2(PFA为等腰三角形).考点三直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【答案】见解析【解析】(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有
12、两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.又x22py得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，切线AN的方程为yANx，同理切线BN的方程为yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.【规律方法】1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采
13、用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为，故l1：yk(x1)，l2：y(x1).由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线定义可
14、知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|84k28216.当且仅当k2，即k1时取等号.故|AB|DE|的最小值为16.【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；|AB|x1x2p；(3)若F为抛物线焦点，则有.【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0
15、)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.【核心素养提升】【数学抽象】活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角).(4)为定
16、值(F是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B. C.5 D.6【一般解法】【答案】B【解析】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.【应用结论】法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|A
17、F|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.法二因为|AF|2|BF|，1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.【例2】 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.【一般解法】【答案】D【解析】由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.应用结论由2p3，及|AB|得|AB|12.原点到直线A
18、B的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.【例3】 (2019益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A.5 B.6C. D.【一般解法】【答案】C【解析】如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，可得y12，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的
19、斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故选C.【应用结论】法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.法二因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y4x2的焦点到准线的距离为()A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由y4x2得x2y，所以2p，p，则抛物线的焦点到准线的距离为.2.(2019抚顺模拟)已知点F是抛物线y22x的焦点，M，
20、N是该抛物线上的两点，若|MF|NF|4，则线段MN的中点的横坐标为()A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】点F是抛物线y22x的焦点，F，准线方程为x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x1x24，x1x23，线段MN中点的横坐标为.3.设抛物线C：y23x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角为()A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】如图，作AHl于H，则|AH|FA|3，作FEAH于E，则|AE|3，在RtAEF中，cosEAF，又0EAF，EAF，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.4.(2019德州调研
21、)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若12，则抛物线C的方程为()A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.5.(2019河南中原联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，且l过点(2，3)，M在抛
22、物线C上，若点N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由题意知2，即p4.过点N作准线l的垂线，垂足为N，交抛物线于点M，则|MN|MF|，则有|MN|MF|MN|MT|MN|MN|NN|1(2)3.二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽_米.【答案】2【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米.7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，
23、准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.若直线AF的斜率k，则线段PF的长为_.【答案】6【解析】由抛物线方程为y26x，所以焦点坐标F，准线方程为x，因为直线AF的斜率为，所以直线AF的方程为y，当x时，y3，所以A，因为PAl，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，根据抛物线的定义可知|PF|PA|6.8.已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.【答案】x216y【解析】因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以，所以渐近线方程为xy0，因为抛物线C2：x2
24、2py(p0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以p8，所以抛物线C2的方程为x216y.三、解答题9.(2019天津耀华中学模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，即m1时，x1，222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为xy70.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y28x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|BF|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】设|AF|m，|BF|n，
25、|AF|BF|AB|，|AB|2，mn|AB|2，在AFB中，由余弦定理得cos AFB，AFB的最大值为.12.(2019武汉模拟)过点P(2，1)作抛物线x24y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则PEF与OAB的面积之比为()A. B. C. D.【答案】C【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x2(yy1)，x2x2(yy2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，1)，则所以lAB：x1y，即lAB过定点(0，1)，则.13.已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动
26、点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_.【答案】1【解析】如图，过A作AHl，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn1，连接AF，则|AF|AH|mn1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即，即mn的最小值为1.14.(2019泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)因为点A在C上，|AO|AF|
27、，所以点A的纵坐标为，所以，所以p2，所以C的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb(b0)，代入抛物线方程，可得x24kx4b0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，所以y1y24k22b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2b1，即2k21b0，所以0b1，SOPQb|x1x2|bbb(00，函数单调递增，所以b1时，OPQ的面积最大，最大值为2.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于()A. B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为点M，则易得|MM|MF|，所以cosNMM，则kAMtanNMM2，则直线AM的方程为y22x，令y0得抛物线的焦点坐标F(1，0)，则p212，故选B.19
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