1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.01两个基本计数原理【考试要求】了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.【知识梳理】1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤
2、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【微点提醒】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一
3、个单独的步骤都能完成这件事.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.【教材衍化】2.(选修23P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A.24种 B.30种C.36种 D.48种【答案】D【解析】需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共
4、有432248(种).3.(选修23P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_.【答案】9【解析】从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是Nm1m2m34329.【真题体验】4.(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
5、()A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径.故选B.5.(2019杭州模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10种 B.25种 C.52种 D.24种【答案】D【解析】每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.6.(2019菏泽六校联考)椭圆1的焦点在x轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为_.【答案】10【解析】因为焦点在
6、x轴上，mn，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择.由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个.【考点聚焦】考点一分类加法计数原理的应用【例1】 (1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法.(2)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_.【答案】(1)12(2)13【解析】(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种
7、方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有82212(种)方法.(2)当a0时，b的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a0时，要使方程ax22xb0有实数解，需使44ab0，即ab1.若a1，则b的值可以是1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a1，则b的值可以是1，0，1，(a，b)的个数为3；若a2，则b的值可以是1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为443213.【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件
8、事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a0这一类.【训练1】 (1)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6 B.5C.3 D.2(2)从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8【答案】(1)B(2)D【解析】(1)5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.(2)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4
9、，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所求的数列共有2(211)8(个).考点二分步乘法计数原理的应用【例2】 (1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种.【答案】(1)100(2)4554【解析】(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为554100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，
10、可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.【规律方法】1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.【训练2】 已知a1，2，3，b4，5，6，7，则方程(xa)2(yb)24可表示不同的圆的个数为()A.7 B.9 C.12 D.16【答案】C【解析】得到圆
11、的方程分两步：第一步：确定a有3种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3412(个).考点三两个计数原理的综合应用【例3】 (1)(2017天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答).(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48 B.18 C.24 D.36【答案】(1)1 080(2)D【解析】(1)当不含偶数时，有A120(个)，当含有一个偶数时，有C
12、CA960(个)，所以这样的四位数共有1 080个.(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.【规律方法】1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.【训练3】 (1)(2019衡水调研)用0，1，9十个数字，可以组成有重复数
13、字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279(2)(一题多解)(2019青岛质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种 B.48种C.24种 D.12种(3)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).【答案】(1)B(2)A(3)40【解析】(1)0，1，2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个).(2)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，
14、B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有432372种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种).(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32840(个).【反思与感悟】1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
15、在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.【易错防范】1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于
16、要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.【分层训练】【础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()A.30 B.42 C.36 D.35【答案】C【解析】因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数.2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40 B.16 C.13 D.10【答案】C【解析】分两类情况讨论：第1类，直
17、线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面.3.(2019济南调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A.8种 B.9种 C.10种 D.11种【答案】B【解析】设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3339(种)不同的监考方法.4.(2019宁波质检)
18、将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A.1种 B.3种 C.6种 D.9种【答案】C【解析】因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色，故有3216(种)涂色方案.5.某电话局的电话号码为139，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A.20 B.25 C.32 D.60【答案】C【解析】依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.6.集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，
19、9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21【答案】B【解析】当x2时，xy，点的个数为177.当x2时，由PQ，xy.x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7714(个).7.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A.12种 B.10种 C.9种 D.8种【答案】A【解析】第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C6
20、(种)选派方法；由分步乘法计数原理可知，不同的选派方案共有2612(种).8.从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A.32个 B.34个 C.36个 D.38个【答案】A【解析】将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C2种，共有2222232(个).二、填空题9.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有_种.【答案】7【解析】因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地
21、到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有437(种).10.乘积(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展开后的项数为_.【答案】60【解析】从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N34560(项).11.在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有_种.【答案】20【解析】设两个不同的小球为A，B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；当A放入2，3
22、，4，5号盒时，B有3种不同的放法，一共有423420种不同的放法.12.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是_.【答案】36【解析】另两边长用x，y(x，yN*)表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取11时，x可取1，2，3，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2，3，10，有9个三角形；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.所以所求三角形的个数为119753136.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相
23、邻区域的颜色不相同，则涂色方法有()A.360种 B.720种C.780种 D.840种【答案】B【解析】由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2，3，4，5，有A种方法，故一共有6A720种.14.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A.18个 B.15个 C.12个 D.9个【答案】B【解析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为2
24、20，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计363315(个).15.从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_.【答案】17【解析】当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A20(个)对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93.综上可知，共有201417(个)不同的对数值.16.已知集合M1，2，3，4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xy恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对
25、”共有_个.【答案】17【解析】A1时，B有231种情况；A2时，B有221种情况；A3时，B有1种情况；A1，2时，B有221种情况；A1，3，2，3，1，2，3时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7313317个.【新高考创新预测】17.(试题创新)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是_.【答案】60【解析】第一步在六个螺栓中随机选择一个固定，有6种不同的选法，不妨以选择位置1的螺栓为例，第二步，选择一个与1不相邻的位置的螺栓固定，此时有两类：位置4或位置3，5，当选择位置4时，第三个固定的螺栓位置可以为2，6中的一个，第四个固定的螺栓的位置相应有两种情况，此时第五个固定和第六个固定的位置相应确定；当选择位置3，5时，不妨以位置3为例，此时第三个固定的螺栓的位置可以为5，6中的一个，若第三个固定的位置为5，则第四个固定的位置只有2一种选择，第五个固定的位置有两种选择，第六个固定的位置相应确定，若第三个固定的位置为6，则第四个固定的位置只能为4，第五个固定的位置只能为2，第六个固定的位置相应确定.综上所述，不同的固定螺栓方式的种数为6222(21)60.11
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