2018-2019学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、2018-2019学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3分）已知（a0，b0），下列变形正确的是（）ABCD2（3分）在RtABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边，则（）ABCD3（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A掷一枚骰子，朝上一面的点数为5B任意画一个三角形，它的内角和是178C任意写一个数，这个数大于1D在纸上画两条直线，这两条直线互相平行4（3分）如图，点A、B、C在O上，ACB40，则（）AAOB80，的度数为80BAOB80，的度数为40C

2、AOB40，的度数为80DAOB40，的度数为405（3分）关于二次函数y3x26，下列叙述正确的是（）A当x3时，y有最大值6B当x3时，y有最小值6C当x0时，y有最大值6D当x0时，y有最小值66（3分）如图，直线l1l2l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE3，则DF的长是（）AB4CD77（3分）已知圆心角为120的扇形的弧长为6，该扇形的面积为（）A18B27C36D548（3分）如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DEBC，DFAC，若ADE与四边形DBCE的面积相等，则DBF与ADE的面积之比

3、为（）ABCD9（3分）在平面直角坐标系中有两点A（2，4）、B（2，4），若二次函数yax22ax3a（a0）的图象与线段AB只有一个交点，则（）Aa的值可以是Ba的值可以是Ca的值不可能是1.2Da的值不可能是110（3分）如图，AB是O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF1.25DF，则tanABD的值为（）ABCD二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是 12（4分）计算：cos245tan30sin60 13（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO16.5米，

4、CO1.25米，当栏杆C端下降的垂直距离（CD）为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离（AB）为 米14（4分）函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示：当y0时，x的取值范围是 ；方程ax2+bx+c3的解是 15（4分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面 米16（4分）如图在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，点E、F分别在边AB、AC上，将AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上若BDE是直角三角形，则CF的长为 三、解答题17（6分）已知二次函数y2x2+bx+1的图象过点（2，3）（1

5、）求该二次函数的表达式；（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标18（8分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5h行驶到达B处，这时小岛O在船的北偏东30方向36海里处（1）求轮船从A处到B处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？19（8分）把9个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有1个红球，1个白球（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（

6、2）用列表法或画树状图，解决下列问题：从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率20（10分）如图，在ABC中，AB8，AC6点D在边AB上，AD4.5ABC的角平分线AE交CD于点F（1）求证：ACDABC；（2）求的值21（10分）如图，四边形ABCD内接于O，BCCD，C2BAD（1）求BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若O的半径为r，ODA45，求ABD的面积（用含r的代数式表示）22（12分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆

7、围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长（1）若a6按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0a6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由23（12分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F（1）求证：ODBE（2）若DE，AB6，求AE的长（3）若CDE的面积是OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由2018-2019学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末

8、数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3分）已知（a0，b0），下列变形正确的是（）ABCD【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可【解答】解：A、由得：2a3b，故选项A不正确；B、由得：3a2b，故选项B正确；C、由得：2a3b，故选项C不正确；D、由得：ab6，故选项D不正确；故选：B【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解2（3分）在RtABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边，则（）ABCD【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论【解答】解：C90，

9、a、b、c分别是A、B、C的对边，sinA，cosA，sinB，tanB，故选：C【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的正弦，记作sinA锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cosA锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tanA3（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A掷一枚骰子，朝上一面的点数为5B任意画一个三角形，它的内角和是178C任意写一个数，这个数大于1D在纸上画两条直线，这两条直线互相平行【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解【解答】解：A掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；B任意画一个三角形，

10、它的内角和是178是不可能事件；C任意写一个数，这个数大于1是随机事件；D在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；故选：B【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键4（3分）如图，点A、B、C在O上，ACB40，则（）AAOB80，的度数为80BAOB80，的度数为40CAOB40，的度数为80DAOB40，的度数为40【分析】利用圆周角定理即可解决问题【解答】解：AOB2ACB，ACB40，AOB80，的度数为80，故选：A【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考掌考题型5（3分）

11、关于二次函数y3x26，下列叙述正确的是（）A当x3时，y有最大值6B当x3时，y有最小值6C当x0时，y有最大值6D当x0时，y有最小值6【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案【解答】解：y3x26，抛物线开口向上，对称轴为x0，顶点坐标为（0，6），当x0时，y有最小值6；D正确，故选：D【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ya（xh）2+k中，对称轴为xh，顶点坐标为（h，k）6（3分）如图，直线l1l2l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE3，则DF的长是（

12、）AB4CD7【分析】由直线l1l2l3可得出，结合，ACAB+BC可得出的值，进而可得出EFDE，再将其代入DFDE+EF中即可求出结论【解答】解：直线l1l2l3，ACAB+BC，EFDE，DFDE+EF故选：C【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键7（3分）已知圆心角为120的扇形的弧长为6，该扇形的面积为（）A18B27C36D54【分析】设扇形的半径为r利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可【解答】解：设扇形的半径为r由题意：6，r9，S扇形27，故选：B【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解

13、题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型8（3分）如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DEBC，DFAC，若ADE与四边形DBCE的面积相等，则DBF与ADE的面积之比为（）ABCD【分析】根据矩形的性质得到DECF，根据相似三角形的性质得到（）2，求得，设DEk，BC2k，得到BF2kk，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：DEBC，DFAC，四边形DFCE是平行四边形，DECF，ADE与四边形DBCE的面积相等，DEBC，ADEABC，（）2，设DEk，BC2k，BF2kk，DFAC，BDFBAC，DBFADE，（）2（）232，故选：D【点评】本题考

14、查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键9（3分）在平面直角坐标系中有两点A（2，4）、B（2，4），若二次函数yax22ax3a（a0）的图象与线段AB只有一个交点，则（）Aa的值可以是Ba的值可以是Ca的值不可能是1.2Da的值不可能是1【分析】先把B（2，4）代入yax22ax3a得a，此时抛物线与线段AB有两个公共点，所以当抛物线与线段AB只有一个交点时，a；把A（2，4）代入yax22ax3a得a，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a，然后利用a的范围对各选项解析式判断【解答】解：把B（2，4）代入yax22ax3a得4a4a3a4，解得a

15、，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a；把A（2，4）代入yax22ax3a得4a+4a3a4，解得a，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定10（3分）如图，AB是O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF1.25DF，则tanABD的值为（）ABCD【分析】由ADFBDA，推出AD2DFDB，由BF1.25DF，可以假设DF4m，则BF5m，BD9m，可得AD6m，根据tanABD计

16、算即可解决问题【解答】解：，DAFDBA，ADFADB，ADFBDA，AD2DFDB，BF1.25DF，可以假设DF4m，则BF5m，BD9m，AD236m2，AD0，AD6m，AB是直径，ADB90，tanABD，故选：A【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是【分析】根据概率公式可得【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，所得的点数能

17、被3整除的概率为，故答案为：【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数12（4分）计算：cos245tan30sin600【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：cos245tan30sin600，故答案为：0【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键13（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO16.5米，CO1.25米，当栏杆C端下降的垂直距离（CD）为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离（AB）为6.6米【分析】由ABOCDO90、AOBCOD知ABOCDO，利用相似三角

18、形的性质解答即可【解答】解：ABBD，CDBD，ABOCDO90，又AOBCOD，ABOCDO，则，即，解得：AB6.6米，故答案为：6.6【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质14（4分）函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示：当y0时，x的取值范围是x5或x1；方程ax2+bx+c3的解是x14，x20【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；抛物线与y轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（4，0），从而得到方程ax2+bx+c3的解【解答】解

19、：抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而抛物线的对称轴为直线x2，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），当y0时，x的取值范围是x5或x1；方程ax2+bx+c3的解为x14，x20故答案为x5或x1；x14，x20【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质15（4分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面6.3米【分析】连接OA由垂径定理可知ADDB2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题【解答

20、】解：连接OAODAB，ADDB2.1米，在RtAOD中，OD2.8（米），CDOC+OD6.3（米）故答案为6.3【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个16（4分）如图在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，点E、F分别在边AB、AC上，将AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上若BDE是直角三角形，则CF的长为或【分析】分两种情况：BED90，过点F作FMAE，根据折叠性质可知AEFDEF45，设FCa，

21、则AF3a，在RtAMF中用a表示出AE，从而得到BE5AE，在RtBED中，根据三角函数用a表示BE，则构造出关于a的方程；BDE90，证明ADFC，根据三角函数找到FC和DF关系即可【解答】解：当BED90时，过点F作FMAE，根据折叠性质可知AEFDEF45，设FCa，则AF3a，在RtAMF中，sinA，MFMEcosA，AMAEAM+MFDE则BEABAE5在RtBED中，tanB，BE5，解得a；当EDB90时，根据折叠性质可知AFFD，AEDF，EDAC，EDFDFCADFCcosAcosDFC，设FCx，则AF3xDF，解得x综上所述CF长为或【点评】本题主要考查折叠的性质、勾

22、股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想三、解答题17（6分）已知二次函数y2x2+bx+1的图象过点（2，3）（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；（2）把点P（m，m2+1）代入函数解析式，解方程即可得到结论【解答】解：（1）二次函数y2x2+bx+1的图象过点（2，3），38+2b+1，b3，该二次函数的表达式为y2x23x+1；（2）点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，m2+12m23m+1，解得：m10，m23，点P的坐标为（0，1）或（3，

23、10）【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键18（8分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5h行驶到达B处，这时小岛O在船的北偏东30方向36海里处（1）求轮船从A处到B处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【分析】（1）过O作OCAB交AB的延长线于C，解直角三角形即可得到结论；（2）设还需经过x时间轮船才恰好位于小岛的东南方向D处，由题意得，DOC45，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）过O作OCA

24、B交AB的延长线于C，根据题意得，OAB60，OBC30，OB36海里，AOBBOCOAB30，OABAOB，ABOB36，24海里/小时；答：轮船从A处到B处的航速是24海里/小时；（2）设还需经过x时间轮船才恰好位于小岛的东南方向D处，由题意得，DOC45，在RtOBC中，OBC60，OB36，BC18，OC18，在RtDOC中，OCD45，OC18，DCOC18，BD18+18，（小时），答：还需经过小时轮船才恰好位于小岛的东南方向D处【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键19（8分）把9个只有颜色不

25、同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有1个红球，1个白球（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是；（2）画树状图如下：由树状图知，共有1

26、2种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有3种结果，摸出的两个小球都是红球的概率为；画树状图如下：由树状图知，共有24种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9种结果，摸出的三个小球是一红二白的概率为【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20（10分）如图，在ABC中，AB8，AC6点D在边AB上，AD4.5ABC的角平分线AE交CD于点F（1）求证：ACDABC；（2）求的值【分析】（1）由AB，AC，AD的长可

27、得出，结合CADBAC即可证出ACDABC；（2）利用相似三角形的性质可得出ACDB，由AE平分BAC可得出CAFBAE，进而可得出ACFBAE，再利用相似三角形的性质即可求出的值【解答】（1）证明：AB8，AC6，AD4.5，又CADBAC，ACDABC；（2）解：ACDABC，ACDBAE平分BAC，CAFBAE，ACFBAE，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出ACDABC；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出ACFBAE21（10分）如图，四边形ABCD内接于O，BCCD，C2BA

28、D（1）求BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若O的半径为r，ODA45，求ABD的面积（用含r的代数式表示）【分析】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；（2）连接OC，证明BOC和DOC都是等边三角形，进而即可证明结论；（3）分别计算BOD，AOD和AOB的面积，再求和即可【解答】解：（1）四边形ABCD内接于O，C+BAD180，C2BAD，C120，BAD60，BOD2BAD120；（2）如图1连接OC，BCCD，BOCDOC60，OBOCOD，BOC和DOC都是等边三角形，OBOCODBCDC，四边形OBCD是菱形，（3）如图2，

29、连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，BOD120，OBOD，ODM30，BOMDOM，OMBD，OMr，DMr，BD2DM，ODA45，OAOD，OADODA45，AOD90，BOD120，AOD90，AOB150，AON30，ANOAr，SAOBr2，ABD的面积为r2+r2+r2（+）r2【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键22（12分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙

30、中AD的长大于墙长（1）若a6按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0a6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由【分析】（1）设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设ABx，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答【解答】解：（1）设AB的长是x米，则AD203x，根据题意得，x（203x）25，解得：x15，x2，当x时，AD156，x5，AD5，答：AD的长是5米；设BC的长是x米，矩形花圃的最

31、大面积是y平方米，则AB20x（x6），根据题意得，yx（）x2+x（x6），当x时，y有最大值为答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；（2）设BCx，能围成的矩形花圃的面积为S，按图甲的方案，Sxx，在xa10时，S的值随x的增大而增大，当xa的最大值n时，S的值最大，为S；按图乙方案，S20x（xa）x，当x时，S的值最大为S，此时a取最大值n时，S的值最大为S；，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答23（12分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分

32、别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F（1）求证：ODBE（2）若DE，AB6，求AE的长（3）若CDE的面积是OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由【分析】（1）连接AD根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及圆的有关性质即可证明；（2）先证CDECAB得，据此求得CE的长，依据AEACCEABCE可得答案；（3）由BDCD知SCDESBDE，证OBFABE得（）2，据此知SABE4SOBF，结合知SABE6SCDE，SCAB8SCDE，由CDECAB知（）2，据此得出，结合BDCD，ABAC知，从而得出答案【解答】解：（1）连接AD，AB是直径，AE

33、BADB90，ABAC，CADBAD，BDCD，ODBE；（2）AEB90，BEC90，BDCD，BC2DE2，四边形ABDE内接于O，BAC+BDE180，CDE+BDE180，CDEBAC，CC，CDECAB，即，CE2，AEACCEABCE4；（3）BDCD，SCDESBDE，BDCD，AOBO，ODAC，OBFABE，（）2，SABE4SOBF，SABE4SOBF6SCDE，SCABSCDE+SBDE+SABE8SCDE，CDECAB，（）2，BDCD，ABAC，即ACBC【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题