1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定,八年级数学上（RJ）,1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法 (重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）,导入新课,问题引入,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？,A,B,C,讲授新课,如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2
2、B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,猜想： 点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离分别相等,命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,由此你能得到什么结论？,你能验证这一结论吗？,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB,证明： lAB， PCA =PCB又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB,验证结论,例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂
3、足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为( ),A5cm B10cm C15cm D17.5cm,典例精析,C,解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm， BC352015(cm).故选C.,方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长,练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3,2.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边A
4、C于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .,B,10cm,图,例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.,E,已知：直线AB和AB外一点C .,求作：AB的垂线，使它经过点C .,作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.,（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.,（4）作直线CF.,直线CF就是所求作的垂线.,（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.,（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？,（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？,（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？,想一想：,例3 已知:
5、如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.,证明： 点P在线段AB的垂直平分线MN上， PA=PB. 同理 PB=PC. PA=PB=PC.,结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.,例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.,解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可得出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答 (2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF，再结合（1）即可解答,证明：(1
6、)ADBC，ADCECF. E是CD的中点，DEEC. 又AEDCEF， ADEFCE， FCAD. (2)ADEFCE， AEEF，ADCF. BEAE，BE是线段AF的垂直平分线， ABBFBCCF. ADCF， ABBCAD.,想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？,合作探究,已知：如图，PA =PB 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上,证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C 则PCA =PCB =90 在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC 又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平
7、分线上,C,知识要点,线段垂直平分线的判定,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,应用格式： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？,与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.,l,应用格式： AB =AC，MB =MC， 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线,这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.,例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECO
8、A,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.,证明：,OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE., OE是CD的垂直平分线.,又OE=OE， RtOEDRtOEC.,DO=CO.,例6 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上.,证明 ： 点O在线段AB的垂直平分线上，, OA=OB.,同理OB=OC., OA=OC., 点O在AC的垂直平分线上.,结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.,当堂练习,1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的
9、是（ ） AAB垂直平分CD； B CD垂直平分AB ； CAB与CD互相垂直平分； DCD平分 ACB ,A,2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC, 则点P是ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点,D,4.下列说法： 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）., ,3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使D
10、ADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共 有 种.,无数,5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.,证明： AC =BC，AD=BD，, CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O，,7.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系,解：AD垂直平分EF. AD平分BAC，DEAB，DFAC， EADFAD，AEDAFD=90. 又AD
11、AD， ADEADF， AEAF，DEDF. A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.,F,8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系,解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段； (2)由条件可证明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.,拓展提升：,解：(1)AB、CD互相垂直平分， OCOD，AOOB，且ACBCADBD； (2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中， AC=AD，AOAO，OCOD，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,
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