1、13.4 课题学习 最短路径问题,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（RJ）,1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）,导入新课,复习引入,1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？,最短，因为两点之间，线段最短,2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,PC最短，因为垂线段最短,3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边.,4.如图，如何做点A关于直线
2、l的对称点？,l,讲授新课,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.,如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.,问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？,l,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.,连
3、接AB,与直线l相交于一点C.,问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？,想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？,l,利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.,方法揭晓,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC
4、+BC,在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即 AC +BC 最短,练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）,D,例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ） A7.5 B5 C4 D不能确定,解析：ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线
5、段CE的长即为BF+EF的最小值.,B,方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.,例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（ ） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0）,解析：作B点关于y轴对称点B，连接AB，交y轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可,B,C,E,A,方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点
6、所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？,B,A,折,移,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1.把A平移到岸边.,2.把B平移到岸边.,3.把桥平移到和A相连.,4.把桥平移
7、到和B相连.,B,A,A,B,1.把A平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了,2.把B平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了,B,A,3.把桥平移到和A相连.,4.把桥平移到和B相连.,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,理由:另任作桥M1N，连接AM，BN，AN.,由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在ANB中，因为A1N1+BN1A1B.,因此 AM+MN+BN.,A,证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD
8、=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.,解决最短路径问题的方法,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.,当堂练习,1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下
9、面的说法正确的是（ ）,AP是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点 BQ是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点 CP、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 DP、Q都是m上到A、B距离相等的点,A,2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP= 10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（ ）A10 B15C20 D30,A,3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.,1000,4
10、.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P,B,P,5.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ,EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ,D.作DD,EE即为桥.,理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD， 则四边形AFDD为平行四边形， 于是AD=FD, 同理，BE=GE， 由两点之间线段最短
11、可知， GF最小.,6.（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由 （2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由 （3）如图，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,拓展提升,图,图,图,图,图,图,C,P,P,P,E,F,M,N,E,F,图,图,图,课堂小结,原理,线段公理和垂线段最短,牧马人饮马问题,解题方法,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”平移,最短路径问题,轴对称知识+线段公理,解题方法,
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