1、一方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过
2、作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径.二解题策略类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于_【答案】【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又， ，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正
3、方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）ABCD【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，长方体的对角线为，外接球的半径为，外接球的体积为.故选：B【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体
4、，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为ABCD【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为故选：C3、【河南省天一大
5、联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C. 类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A B C D【答案】A【指点迷津】求正棱锥外
6、接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径.【举一反三】1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D4【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最大*网因为ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径rOCCH2.在RtSHO中，OHOC，所以SH1，故所求体积的最大值为2
7、21.2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为_【答案】【解析】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为，过A作ADBC，设等边三角形ABC的中心为O，则，即再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为_【答案】【解析】因为，所以，所以，同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则且，
8、所以，当平面时，平面截球的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为填 类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 .【答案】【解析】在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体
9、积是（ ）A16B15CD【答案】A【解析】由题， ，因为，易知三角形ABC为等腰直角三角形，故三棱柱的高 故体积 故选A2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .【答案】大 三强化训练一、选择题1、九章算木中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该
10、球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为，所以外接球的直径为，所以故选：D2【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C3【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】已知A，B，C
11、为球O的球面上的三个定点，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为，三棱銋O一ABC的体积为，若的最大值为3，则球O的表面积为ABCD【答案】B【解析】由题意，设的外接圆圆心为，其半径为，球的半径为，且依题意可知，即，显然，故，又由，故，球的表面积为，故选B.4【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥SABC中，ABBC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角SACB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：取的中点，连接，.因为，所以 ，可得即为二面角的平面角，故在中，,同理可得，由余弦定理得 ，解得在中，所以
12、，为直角三角形，同理可得为直角三角形，取中点，则，在与中，,所以点E为该球的球心，半径为，所以球的表面积为，故选B.5【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，在同一个球面上，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为ABCD【答案】C【解析】因为球的表面积为，所以,因为所以三角形ABC为直角三角形，从而球心到平面ABC距离为,因此四面体体积的最大值为，选C.6三棱锥PABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）A3BCD【答案】B【解析】设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，则，因
13、为，所以，因为，所以当时，当时，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.7【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）ABCD【答案】C【解析】解：如图，由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，且，把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，外接球的表面积为故选：C8【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典九章算术系统地总结了战
14、国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于ABCD【答案】C【解析】由题意，在三棱锥（鳖臑）中，平面，所以其外接球的直径设，则 ，所以其外接球的体积，解得设四棱锥（阳马）的外接球半径为，则，所以该球的表面积故选C二、填空题9【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】,是正三角形，是等腰直角三角形，设中心为，外心
15、为，则是斜边的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，由余弦定理，设球半径为，球的表面积为，故答案为.10【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_【答案】【解析】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，球表面积为，故答案为.11【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_.【答案】【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图
16、，因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，令为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos, sin，又OF=,可得，计算得， ，所以.故答案为12【陕西省榆林市2019届三模】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则_【答案】【解析】易知三棱锥的外接球的球心为，很明显到底面的距离为1，.13【云南省2019届高三第一次检测】已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，,平面平面，则球的表面积为_.
17、【答案】【解析】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.14【陕西省汉中市2019届高三第二次检测】三棱锥中，侧棱与底面垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积等于_【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.15【山西省吕梁市2019年4月模拟】在四棱锥中，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，则四棱锥的外接球的表面积是_【答案】【解析】解：如图，设等边三角形PAB的中心为G，则 ，设四棱锥PABCD的外接球的球心为
18、O，连接OP，则OP为四棱锥PABCD的外接球的半径，OP2PG2+OG222+125，四棱锥PABCD的外接球的表面积是4520故答案为：2016【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模)】已知是球表面上四点，点为的中点，且，则球的表面积是_【答案】【解析】由题意可知与都是边长为的正三角形，如图，过与的外心分别作平面与平面的垂线，两垂线的交点就是球心，连接，可知，在直角三角形中，所以，连接，所以球的半径为，因此球的表面积是.故答案为17.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期一模】在三棱锥中，是等边三角形，底面， ，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图，为底面中心，为中点，球心平面，所以为中点，在中，可得，故外接球表面积为：故答案为：
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