1、一方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列中的恒成立问题【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析
2、】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得， 则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，则，即，解得或.故选:A.【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得，借助裂项相消法得到，又，问题等价于对任意的，恒成立.【举一反三】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A类型二 数列中的最值问题【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，则使的正整数的最小值是（ ）A2018B2019C2020D2021【答案】C【解析】令,则,所以，
3、从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，从而,因此,选C.【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，且，若恒成立，则的最小值为（ ）ABC49D【答案】B【解析】当时，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，由于是单调递增数列，.故的最小值为，故选B.类型三 数列性质的综合问题【例3】【江苏省扬州中学2019届高三
4、下学期3月月考】已知等差数列的前n项和为，若13，36，则的取值范围是_【答案】【解析】在等差数列中，又，由得，即，即的取值范围是故答案为：【指点迷津】1.本题先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】数列的首项，则：常数
5、故数列是以为首项，3为公差的等差数列则：首项符合通项故：，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：类型四 数列与函数的综合问题【例4】已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对任意的实数x，yR，f（x）f（y）f（x+y）恒成立，取xy0，则f（0）f（0）f（0），解得f（0）0或f（0）1当f（0）0时，得余题意不符，故舍去.所以f（0）1取yx0，则f（x）f（x）1，f（x），设x1x2，则f（x1x2）f（x1）f（x2）1，f（x1）f（x2）函数f（x）在R上单调递减数列满足f（a
6、n+1）f（）1f（0）0，a1f（0）1，2，1，1，2f（）1，f（）f（1）1f（）f（）而f（）f（），f（）1f（），f（）f（）f（）f（2），因此只有：C正确故选：C【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2
7、019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B类型五 数列与其他知识综合问题【例5】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和若，则下列说法中一定正确的是（ ）A. B. 不存在，使得C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对【答案】C【解析】 由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时， ， 所以当，且时， 是成立的，故选C.【例6】斐波那契数列满足： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前
8、项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C ,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.【举一反三】1.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）A. 220 B. 216 C. 212 D. 208【答案】B
9、2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为_【答案】【解析】当为偶数时， ；当为奇数时， ， ，故答案为. 类型六 数列与基本不等式结合的问题【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为ABCD【答案】A【解析】因为数列是正项等比数列，所以，所以，因为，所以，当且仅当时“=”成立，所以的最小值为，故选A.【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，
10、基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可知：令又于是有 因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：三强化训练一、选择题1【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）ABC3D【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为q（q0），a9a8+2a7，a7q2a7q+2a7，q2q20，q2或q=-1（舍），存在两项am，an使得， ， 故选C.2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为，且
11、满足，若，则的最小值为（ ）ABCD0【答案】B【解析】由，得，且，所以数列是以为首项、2为公差的等差数列，则，即，令，得，又，由，则的最小值为.故选：B3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为（ ）A10B11C12D13【答案】C【解析】解：正项等比数列中，.，解可得，或（舍），.整理可得，经检验满足题意，故选：C4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】，故当n为奇数，-a2+,又2+单调递减，故2+，故- a2，解a当n为偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a故选：D5已知各项均为
12、正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】 ，时，化为：，即，时，解得数列为等差数列，首项为1，公差为1.记，.所以为增数列，,即.对任意的，恒成立，解得实数的取值范围为故选：C6【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比，其前n项的和为，则与的大小关系是ABCD【答案】A【解析】根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差故选：A7已知，并且，成等差数列，则的最小值为A16B9C5D4【答案】A【解析】解：根据题意，a0，b0，且，成等差数列，则21；则a+9b（a+9b）（）1010+216；当且
13、仅当，即=时取到等号，a+9b的最小值为16；故选：A8【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设，点，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意知sin，随n的增大而增大，,，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，正整数的最小值为3.二、填空题 9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以当时，；当时，也满足上式；当时，当时，综上，；因为是中的最大值，所以有且，解得.故答案为10【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，当时，若 恒成立，则正数
14、的取值范围为_【答案】【解析】由可知，数列是一个公差的等差数列，首项为，所以，所以故当时， 显然当时，也满足上式所以所以，所以 ，由题意恒成立，所以，解得又，所以的取值范围为11【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_【答案】5【解析】因为可得：两式相减可得：化简可得：即所以数列是以为首项，公比为2的等比数列当n=1时，求得 所以即所以即解得 所以成立的的最大值是5故答案为512【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，记，则使得成立的最大正整数为_【答案】9【解析】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所
15、以使得成立的最大正整数为9.故答案为：913.已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为_.【答案】80【解析】在上取点，使得，则在线段上 ， 三点共线， ，即 故答案为：8014.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，n是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t的取值范围为 _【答案】【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角，则：，据此可得： 结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为. 15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若对一切，恒有，则m能取到的最大正整数是_【答案】7【解析】解：设数列的公差为，由题意得，解得，且，令，则，即，则随着的增大而增大，即在处取最小值，对一切，恒有成立，即可，解得，故能取到的最大正整数是716. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为，且，若，则n的最大值为_【答案】63【解析】由数列的前n项和为，又，故，则的偶数项成等差数列，则,（n为偶数）又， 为等差数列，首项为3，公差为4，当n为偶数时，设数列的前n项和为，可得，则 +若，无解舍去当n为奇数时， -(=,又所以解n又则n的最大值为63，故答案为：63 20
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